Identidad de Bézout - Bézout's identity

En la teoría de números elemental , la identidad de Bézout (también llamada lema de Bézout ), que lleva el nombre de Étienne Bézout , es el siguiente teorema :

Aquí el máximo común divisor de 0 y 0 se toma como 0. Los números enteros x e y son llamados coeficientes de Bézout para ( a , b ); no son únicos. Se puede calcular un par de coeficientes de Bézout mediante el algoritmo euclidiano extendido , y este par es uno de los dos pares tales que y . La igualdad se produce sólo si uno de una y b es un múltiplo de la otra. ${\ Displaystyle | x | \ leq | b / d |}$${\ Displaystyle | y | \ leq | a / d |}$

Por ejemplo, el máximo común divisor de 15 y 69 es 3, y 3 se puede escribir como una combinación de 15 y 69 como 3 = 15 × (−9) + 69 × 2, con coeficientes de Bézout −9 y 2.

Muchos otros teoremas de la teoría de números elemental, como el lema de Euclides o el teorema del resto chino , resultan de la identidad de Bézout.

Un dominio de Bézout es un dominio integral en el que se mantiene la identidad de Bézout. En particular, la identidad de Bézout se mantiene en los principales dominios ideales . Todo teorema que resulta de la identidad de Bézout es, por tanto, verdadero en todos los dominios ideales principales.

Estructura de soluciones

Si un y b no son ambos cero y un par de coeficientes de Bézout ( x , Y ) se ha calculado (por ejemplo, usando el algoritmo euclidiano extendido ), todos los pares se pueden representar en la forma

${\ Displaystyle \ left (xk {\ frac {b} {d}}, \ y + k {\ frac {a} {d}} \ right),}$

donde k es un número entero arbitrario, d es el máximo común divisor de un y b , y las fracciones simplificar a números enteros.

Si un y b son ambos distintos de cero, a continuación, exactamente dos de estos pares de pares de coeficientes de Bézout satisfacer

${\ Displaystyle | x | \ leq \ left | {\ frac {b} {d}} \ right | \ quad {\ text {y}} \ quad | y | \ leq \ left | {\ frac {a} { d}} \ right |,}$

y la igualdad se puede producir sólo si uno de unos y b divide los otros.

Esto se basa en una propiedad de la división euclidiana : dado dos números enteros no nulos c y d , si d no divide c , hay exactamente un par ( q , r ) tal que c = dq + r y 0 < r <| d | , y otro tal que c = dq + r y - | d | < r <0 .

Los dos pares de coeficientes de Bézout pequeños se obtienen a partir del dado ( x , y ) eligiendo para k en la fórmula anterior cualquiera de los dos números enteros al lado de . ${\ Displaystyle {\ frac {x} {b / d}}}$

El algoritmo euclidiano extendido siempre produce uno de estos dos pares mínimos.

Ejemplo

Sea a = 12 y b = 42 , entonces mcd (12, 42) = 6 . Luego se tienen las siguientes identidades de Bézout, con los coeficientes de Bézout escritos en rojo para los pares mínimos y en azul para los demás.

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ vdots \\ 12 & \ times ({\ color {blue} {- 10}}) & + \; \; 42 & \ times \ color {blue} {3} & = 6 \ \ 12 & \ times ({\ color {red} {- 3}}) & + \; \; 42 & \ times \ color {red} {1} & = 6 \\ 12 & \ times \ color {red} {4} & + \; \; 42 & \ times ({\ color {red} {- 1}}) & = 6 \\ 12 & \ times \ color {blue} {11} & + \; \; 42 & \ times ({\ color {azul} {- 3}}) & = 6 \\ 12 & \ times \ color {azul} {18} & + \; \; 42 & \ times ({\ color {blue} {- 5}}) & = 6 \\\ vdots \ end {alineado}}}$

Si (x, y) = (18, -5) es el par original de coeficientes de Bézout, entonces se obtienen los pares mínimos vía k = 2 , respectivamente k = 3 ; es decir, (18 - 2 ⋅ 7, -5 + 2 ⋅ 2) = (4, -1) y (18 - 3 ⋅ 7, -5 + 3 ⋅ 2) = (-3, 1) . ${\ displaystyle {\ frac {18} {42/6}} \ in [2,3]}$

Prueba

Dados cualesquiera enteros distintos de cero a y b , sea El conjunto S no está vacío ya que contiene a o - a (con x = ± 1 e y = 0 ). Dado que S es un conjunto no vacío de enteros positivos, tiene un elemento mínimo , según el principio de ordenación bien . Para probar que d es el máximo común divisor de un y b , se debe probarse que d es un divisor común de un y b , y que para cualquier otro divisor común c , uno tiene c ≤ d . ${\ Displaystyle S = \ {ax + por \ mid x, y \ in \ mathbb {Z} {\ text {y}} ax + por> 0 \}.}$${\ displaystyle d = as + bt}$

La división euclidiana de a por d puede escribirse

${\ Displaystyle a = dq + r \ quad {\ text {con}} \ quad 0 \ leq r <d.}$

El resto r está adentro , porque ${\ Displaystyle S \ cup \ {0 \}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} r & = a-qd \\ & = aq (as + bt) \\ & = a (1-qs) -bqt. \ end {alineado}}}$

Por tanto, r tiene la forma , y por tanto . Sin embargo, 0 ≤ r < d , y d es el número entero positivo más pequeño en S : el resto r puede, por lo tanto, no estar en S , lo que hace que r sea ​​necesariamente 0. Esto implica que d es un divisor de a . Del mismo modo d también es un divisor de b y d es un divisor común de una y b . ${\ Displaystyle ax + by}$${\ Displaystyle r \ en S \ cup \ {0 \}}$

Ahora, vamos a c ser cualquier común divisor de un y b ; es decir, existen u y v tales que a = cu y b = cv . Uno tiene así

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} d & = as + bt \\ & = cus + cvt \\ & = c (us + vt). \ end {alineado}}}$

Es decir, c es un divisor de d , y, por lo tanto, c ≤ d.

Generalizaciones

Para tres o más enteros

La identidad de Bézout se puede extender a más de dos enteros: si

${\ Displaystyle \ gcd (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) = d}$

entonces hay enteros tales que ${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$

${\ Displaystyle d = a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n}}$

tiene las siguientes propiedades:

• d es el entero positivo más pequeño de esta forma
• cada número de esta forma es un múltiplo de d

Para polinomios

La identidad de Bézout funciona para polinomios univariados sobre un campo exactamente de la misma manera que para números enteros. En particular, los coeficientes de Bézout y el máximo común divisor pueden calcularse con el algoritmo euclidiano extendido .

Como las raíces comunes de dos polinomios son las raíces de su máximo común divisor, la identidad de Bézout y el teorema fundamental del álgebra implican el siguiente resultado:

Para polinomios univariantes f y g con coeficientes en un campo, existen polinomios a y b tal que af + bg = 1 si y sólo si f y g tienen raíz común en cualquier campo algebraicamente cerrado (comúnmente el campo de los números complejos ).

La generalización de este resultado a cualquier número de polinomios e indeterminados es el Nullstellensatz de Hilbert .

Para los principales dominios ideales

Como se señaló en la introducción, la identidad de Bézout funciona no solo en el anillo de los números enteros, sino también en cualquier otro dominio ideal principal (PID). Es decir, si R es un PID, y un y b son elementos de R , y d es un máximo común divisor de un y b , entonces hay elementos x y y en R tal que ax + by = d . La razón es que el ideal Ra + Rb es principal e igual a Rd .

Un dominio integral en el que se mantiene la identidad de Bézout se denomina dominio de Bézout .

Historia

El matemático francés Étienne Bézout (1730-1783) demostró esta identidad para los polinomios. Sin embargo, esta afirmación para números enteros ya se puede encontrar en el trabajo de un matemático francés anterior, Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638).

Ver también

• Teorema AF + BG , un análogo de la identidad de Bézout para polinomios homogéneos en tres indeterminados
• Teorema fundamental de la aritmética
• Lema de Euclides

Notas

enlaces externos

• Calculadora en línea para la identidad de Bézout.
• Weisstein, Eric W. "Identidad de Bézout" . MathWorld .