Norma de campo - Field norm

En matemáticas , la norma (de campo) es un mapeo particular definido en la teoría de campo , que mapea elementos de un campo más grande en un subcampo.

Definicion formal

Deje que K sea un campo y L un finito de extensión (y por lo tanto una extensión algebraica ) de K .

El campo L es entonces una dimensión finita espacio vectorial sobre K .

Multiplicación por α, un elemento de L ,

${\ Displaystyle m _ {\ alpha} \ dos puntos L \ a L}$

${\ Displaystyle m _ {\ alpha} (x) = \ alpha x}$,

es un K - transformación lineal de este espacio vectorial en sí mismo.

La norma , N _{L / K} ( α ), se define como el determinante de esta transformación lineal .

Si L / K es una extensión de Galois , se puede calcular la norma de α ∈ L como el producto de todos los conjugados de Galois de α:

${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {L / K} (\ alpha) = \ prod _ {\ sigma \ in \ operatorname {Gal} (L / K)} \ sigma (\ alpha),}$

donde Gal ( L / K ) denota el grupo de Galois de L / K . (Tenga en cuenta que puede haber una repetición en los términos del producto)

Para una extensión de campo general L / K , y α diferente de cero en L ,

sean σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) las raíces del polinomio mínimo de α sobre K (raíces enumeradas con multiplicidad y que se encuentran en algún campo de extensión de L ); luego

${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {L / K} (\ alpha) = \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} \ sigma _ {j} (\ alpha) \ right) ^ {[ L: K (\ alpha)]}}$.

Si L / K es separable , entonces cada raíz aparece solo una vez en el producto (aunque el exponente, el grado [ L : K (α)], aún puede ser mayor que 1).

Ejemplos de

Extensiones de campo cuadráticas

Uno de los ejemplos básicos de normas proviene de extensiones de campo cuadráticas donde es un número entero libre de cuadrados. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a}}) / \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle a}$

Entonces, el mapa de multiplicación por en un elemento es ${\ Displaystyle {\ sqrt {a}}}$${\ Displaystyle x + y \ cdot {\ sqrt {a}}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {a}} \ cdot (x + y \ cdot {\ sqrt {a}}) = y \ cdot a + x \ cdot {\ sqrt {a}}.}$

El elemento puede ser representado por el vector ${\ Displaystyle x + y \ cdot {\ sqrt {a}}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}},}$

ya que hay una descomposición de suma directa como un espacio de vectores. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {a}}) = \ mathbb {Q} \ oplus \ mathbb {Q} \ cdot {\ sqrt {a}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

La matriz de es entonces ${\ Displaystyle m _ {\ sqrt {a}}}$

${\ displaystyle m _ {\ sqrt {a}} = {\ begin {bmatrix} 0 & a \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}}}$

y la norma es , ya que es el determinante de esta matriz . ${\ Displaystyle N _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt {a}}) / \ mathbb {Q}} = - a}$

Norma de Q (√2)

En este ejemplo, la norma fue el cuadrado de la norma de distancia euclidiana habitual en . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

En general, la norma de campo es muy diferente de la norma de distancia habitual .

Lo ilustraremos con un ejemplo donde la norma de campo puede ser negativa.

Considere el campo numérico . ${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$

El grupo de Galois de over tiene orden y es generado por el elemento que envía a . ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle d = 2}$${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle - {\ sqrt {2}}}$

Entonces la norma de es: ${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$

${\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {2}}) (1 - {\ sqrt {2}}) = - 1.}$

La norma de campo también se puede obtener sin el grupo Galois .

Arregle una base de , digamos: ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$

${\ Displaystyle \ {1, {\ sqrt {2}} \}}$.

Luego, la multiplicación por el número envía ${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$

1 a y${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$a .${\ Displaystyle 2 + {\ sqrt {2}}}$

Entonces, el determinante de "multiplicar por " es el determinante de la matriz que envía el vector ${\ Displaystyle 1 + {\ sqrt {2}}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}}$(correspondiente al primer elemento base, es decir, 1) a ,${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$(correspondiente al segundo elemento base, es decir, ) a ,${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 2 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$

verbigracia.:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz es -1.

Extensiones de campo raíz K -th

Otra clase fácil de ejemplos proviene de extensiones de campo de la forma donde la factorización prima de no contiene potencias -ésimas. ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{p}] {a}}) / \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle a \ in \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle p}$

El mapa de multiplicación por de un elemento es${\ Displaystyle {\ sqrt [{p}] {a}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} m _ {\ sqrt [{p}] {a}} (x) & = {\ sqrt [{p}] {a}} \ cdot (a_ {1} + a_ {2 } {\ sqrt [{p}] {a}} + a_ {3} {\ sqrt [{p}] {a ^ {2}}} + \ cdots + a_ {p-1} {\ sqrt [{p }] {a ^ {p-1}}}) \\ & = a_ {1} {\ sqrt [{p}] {a}} + a_ {2} {\ sqrt [{p}] {a ^ { 2}}} + a_ {3} {\ sqrt [{p}] {a ^ {3}}} + \ cdots + a_ {p-1} a \ end {alineado}}}$

dando la matriz

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & \ cdots & 0 & a \\ 1 & 0 & \ cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ cdots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & 1 & 0 \ end { bmatrix}}}$

El determinante da la norma

${\ Displaystyle N _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt [{p}] {a}}) / \ mathbb {Q}} ({\ sqrt [{p}] {a}}) = (- 1) ^ {p-1} a = a.}$

Números complejos sobre reales

La norma de campo de los números complejos a los números reales envía

x + iy

para

x ² + y ² ,

porque el grupo de Galois de más tiene dos elementos, ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

• el elemento de identidad y
• conjugación compleja,

y tomando los rendimientos del producto ( x + iy ) ( x - iy ) = x ² + y ² .

Campos finitos

Sea L = GF ( q ⁿ ) una extensión finita de un campo finito K = GF ( q ).

Dado que L / K es una extensión de Galois , si α está en L , entonces la norma de α es el producto de todos los conjugados de Galois de α , es decir

${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {L / K} (\ alpha) = \ alpha \ cdot \ alpha ^ {q} \ cdot \ alpha ^ {q ^ {2}} \ cdots \ alpha ^ {q ^ { n-1}} = \ alpha ^ {(q ^ {n} -1) / (q-1)}.}$

En esta configuración tenemos las propiedades adicionales,

• ${\ Displaystyle \ forall \ alpha \ in L, \ quad \ operatorname {N} _ {L / K} (\ alpha ^ {q}) = \ operatorname {N} _ {L / K} (\ alpha)}$
• ${\ Displaystyle \ forall a \ in K, \ quad \ operatorname {N} _ {L / K} (a) = a ^ {n}.}$

Propiedades de la norma

Varias propiedades de la función norma son válidas para cualquier extensión finita.

Homomorfismo grupal

La norma N _{L / K}  : L * → K * es un homomorfismo grupal del grupo multiplicativo de L al grupo multiplicativo de K , es decir

${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {L / K} (\ alpha \ beta) = \ operatorname {N} _ {L / K} (\ alpha) \ operatorname {N} _ {L / K} (\ beta ) {\ text {para todos}} \ alpha, \ beta \ in L ^ {*}.}$

Además, si a en K :

${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {L / K} (a \ alpha) = a ^ {[L: K]} \ operatorname {N} _ {L / K} (\ alpha) {\ text {para todos }} \ alpha \ en L.}$

Si un ∈ K entonces${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {L / K} (a) = a ^ {[L: K]}.}$

Composición con extensiones de campo

Además, la norma se comporta bien en torres de campos :

si M es una extensión finita de L , entonces la norma de M a K es solo la composición de la norma de M a L con la norma de L a K , es decir

${\ Displaystyle \ operatorname {N} _ {M / K} = \ operatorname {N} _ {L / K} \ circ \ operatorname {N} _ {M / L}.}$

Reducción de la norma

La norma de un elemento en una extensión de campo arbitraria se puede reducir a un cálculo más fácil si ya se conoce el grado de extensión de campo . Este es

${\ Displaystyle N_ {L / K} (\ alpha) = N_ {K (\ alpha) / K} (\ alpha) ^ {[L: K (\ alpha)]}}$

Por ejemplo, en la extensión de campo , la norma de es${\ Displaystyle \ alpha = {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle L = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, \ zeta _ {3}), K = \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle \ alpha}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} N _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, \ zeta _ {3}) / \ mathbb {Q}} ({\ sqrt {2}}) & = N _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q}} ({\ sqrt {2}}) ^ {[\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, \ zeta _ {3}): \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})]} \\ & = (- 2) ^ {2} \\ & = 4 \ end {alineado}}}$

ya que el grado de extensión del campo es . ${\ displaystyle L / K (\ alpha)}$${\ Displaystyle 2}$

Detección de unidades

Un elemento es una unidad si y solo si . ${\ Displaystyle \ alpha \ in {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ Displaystyle N_ {K / \ mathbb {Q}} (\ alpha) = \ pm 1}$

Por ejemplo

${\ Displaystyle N _ {\ mathbb {Q} (\ zeta _ {3}) / \ mathbb {Q}} (\ zeta _ {3}) = 1}$

dónde

${\ Displaystyle \ zeta _ {3} ^ {3} = 1}$.

Entonces, cualquier campo numérico que lo contenga lo tiene como una unidad. ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {K}}$${\ Displaystyle \ zeta _ {3}}$

Otras propiedades

La norma de un entero algebraico es nuevamente un entero, porque es igual (hasta el signo) al término constante del polinomio característico.

En la teoría algebraica de números se definen también normas para ideales . Esto se hace de tal manera que si I es un ideal distinto de cero de O _K , el anillo de números enteros del campo numérico K , N ( I ) es el número de clases de residuos en  , es decir, la cardinalidad de este anillo finito . Por tanto, esta norma ideal es siempre un número entero positivo. ${\ Displaystyle O_ {K} / I}$

Cuando I es un ideal principal αO _K entonces N ( I ) es igual al valor absoluto de la norma a Q de α , para α un entero algebraico .

Ver también

• Traza de campo
• Norma ideal
• Forma de norma

Notas

Referencias

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Finite Fields , Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 20 (Segunda ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-39231-4, Zbl  0866.11069
• Mullen, Gary L .; Panario, Daniel (2013), Manual de campos finitos , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Roman, Steven (2006), Teoría de campo , Textos de posgrado en matemáticas , 158 (Segunda ed.), Springer, Capítulo 8, ISBN 978-0-387-27677-9, Zbl  1172.12001
• Rotman, Joseph J. (2002), Álgebra moderna avanzada , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7