Leyes de la forma -Laws of Form

Laws of Form (en adelante LoF ) es un libro de G. Spencer-Brown , publicado en 1969, que se extiende a ambos lados de la frontera entre las matemáticas y la filosofía . LoF describe tres sistemas lógicos distintos:

• La "aritmética primaria" (descrita en el Capítulo 4 de LoF ), cuyos modelos incluyen la aritmética booleana ;
• El " álgebra primaria " (Capítulo 6 de LoF ), cuyos modelos incluyen el álgebra booleana de dos elementos (en adelante abreviado 2 ), la lógica booleana y el cálculo proposicional clásico ;
• "Ecuaciones de segundo grado" (Capítulo 11), cuyas interpretaciones incluyen autómatas finitos y Aritmética Recursiva Restringida (RRA) de Alonzo Church .

"Álgebra de límites" es el término de Meguire (2011) para la unión del álgebra primaria y la aritmética primaria. Leyes de la forma a veces se refiere libremente al "álgebra primaria", así como a la LoF .

El libro

El prefacio establece que el trabajo se exploró por primera vez en 1959, y Spencer Brown cita a Bertrand Russell como un apoyo a su esfuerzo. También agradece a JCP Miller de University College London por ayudar con la corrección de pruebas y ofrecer otras orientaciones. En 1963, Spencer Brown fue invitado por Harry Frost , profesor de ciencias físicas en el departamento de Estudios Extramurales de la Universidad de Londres para impartir un curso sobre matemáticas de la lógica.

LoF surgió del trabajo en ingeniería electrónica que realizó su autor alrededor de 1960, y de conferencias posteriores sobre lógica matemática que dio bajo los auspicios del programa de extensión de la Universidad de Londres . LoF ha aparecido en varias ediciones. La segunda serie de ediciones apareció en 1972 con el "Prefacio a la Primera Edición Americana" que enfatizaba el uso de paradojas autorreferenciales. la más reciente es una traducción al alemán de 1997 y nunca se ha agotado.

La matemática llena solo alrededor de 55pp y es bastante elemental. Pero la prosa mística y declamatoria de LoF , y su amor por la paradoja , la convierten en una lectura desafiante para todos. Spencer-Brown fue influenciado por Wittgenstein y RD Laing . LoF también se hace eco de varios temas de los escritos de Charles Sanders Peirce , Bertrand Russell y Alfred North Whitehead .

Todo el libro está escrito de forma operativa, dando instrucciones al lector en lugar de decirle lo que "es". De acuerdo con el interés de G. Spencer-Brown en las paradojas, la única oración que hace una declaración de que algo es, es la declaración, que dice que no se utilizan tales declaraciones en este libro. Excepto por esta frase, el libro puede verse como un ejemplo de E-Prime .

Recepción

Aparentemente un trabajo de matemáticas y filosofía formales, LoF se convirtió en una especie de clásico de culto : fue elogiado por Heinz von Foerster cuando lo revisó para el Whole Earth Catalog . Aquellos que están de acuerdo señalan que LoF encarna una enigmática "matemática de la conciencia ", su simbolismo algebraico captura una (quizás incluso "la") raíz implícita de la cognición : la capacidad de "distinguir". LoF sostiene que el álgebra primaria revela conexiones sorprendentes entre la lógica , el álgebra booleana y la aritmética, y la filosofía del lenguaje y la mente .

Banaschewski (1977) sostiene que el álgebra primaria no es más que una nueva notación para el álgebra booleana. De hecho, el álgebra de Boole 2 de dos elementos puede verse como la interpretación pretendida del álgebra primaria. Sin embargo, la notación del álgebra primaria:

• Explota plenamente la dualidad que caracteriza no solo a las álgebras de Boole sino a todas las redes ;
• Destaca cómo declaraciones sintácticamente distintas en lógica y 2 pueden tener semántica idéntica ;
• Simplifica drásticamente los cálculos de álgebra booleana y las pruebas en lógica oracional y silogística .

Además, la sintaxis del álgebra primaria puede extenderse a sistemas formales distintos de 2 y lógica enunciativa, lo que da como resultado matemáticas de límites (ver § Trabajo relacionado más adelante).

LoF ha influido, entre otros, en Heinz von Foerster , Louis Kauffman , Niklas Luhmann , Humberto Maturana , Francisco Varela y William Bricken . Algunos de estos autores han modificado el álgebra primaria de diversas formas interesantes.

LoF afirmó que ciertas conjeturas matemáticas bien conocidas de muy larga data, como el teorema de los cuatro colores , el último teorema de Fermat y la conjetura de Goldbach , son probables usando extensiones del álgebra primaria. Spencer-Brown finalmente hizo circular una supuesta prueba del teorema de los cuatro colores, pero se encontró con escepticismo.

La forma (Capítulo 1)

El símbolo:

También llamada "marca" o "cruz", es la característica esencial de las Leyes de la Forma. A la manera inimitable y enigmática de Spencer-Brown, la Marca simboliza la raíz de la cognición , es decir, la Marca dualista indica la capacidad de diferenciar un "esto" de "todo lo demás menos esto".

En LoF , una Cruz denota el dibujo de una "distinción", y se puede pensar que significa lo siguiente, todo a la vez:

• El acto de trazar un límite alrededor de algo, separándolo así de todo lo demás;
• Aquello que se distingue de todo trazando el límite;
• Cruzando de un lado del límite al otro.

Las tres formas implican una acción por parte de la entidad cognitiva (por ejemplo, una persona) que hace la distinción. Como dice LoF :

"El primer comando:

• Dibuja una distinción

bien puede expresarse de maneras tales como:

• Que haya una distinción,
• Encuentra una distinción
• Ver una distinción,
• Describe una distinción,
• Definir una distinción,

O:

• Hagamos una distinción ". ( LdV , notas del capítulo 2)

El contrapunto al estado marcado es el estado sin marcar, que es simplemente nada, el vacío o el infinito no expresable representado por un espacio en blanco. Es simplemente la ausencia de una Cruz. No se ha hecho distinción ni se ha cruzado nada. El estado marcado y el vacío son los dos valores primitivos de las leyes de la forma.

Se puede considerar que la Cruz denota la distinción entre dos estados, uno "considerado como un símbolo" y otro no tan considerado. De este hecho surge una curiosa resonancia con algunas teorías de la conciencia y el lenguaje . Paradójicamente, la Forma es a la vez Observadora y Observada, y es también el acto creativo de hacer una observación. LoF (excluyendo los antecedentes ) se cierra con las palabras:

... la primera distinción, la Marca y el observador no solo son intercambiables, sino, en la forma, idénticos.

CS Peirce llegó a una idea relacionada en la década de 1890; ver § Trabajo relacionado .

La aritmética primaria (Capítulo 4)

La sintaxis de la aritmética primaria es la siguiente. Solo hay dos expresiones atómicas :

• La Cruz vacía  ;
• Todo o parte de la página en blanco (el "vacío").

Hay dos reglas inductivas:

• Se puede escribir una cruz sobre cualquier expresión;
• Se pueden concatenar dos expresiones cualesquiera .

La semántica de la aritmética primaria tal vez no sea más que la única definición explícita en LoF : "La distinción es perfecta continencia".

Sea el "estado no marcado" un sinónimo de vacío. Dejemos que una Cruz vacía denote el "estado marcado". Cruzar es moverse de un valor, el estado sin marcar o marcado, al otro. Ahora podemos enunciar los axiomas "aritméticos" A1 y A2, que fundamentan la aritmética primaria (y por lo tanto todas las Leyes de la Forma):

"A1. La ley del llamado". Llamar dos veces desde un estado es indistinguible de llamar una vez. Hacer una distinción dos veces tiene el mismo efecto que hacerlo una vez. Por ejemplo, decir "Hágase la luz" y luego decir "Hágase la luz" de nuevo, es lo mismo que decirlo una vez. Formalmente:

${\ Displaystyle \ =}$

"A2. La ley del cruce". Después de cruzar del estado no marcado al marcado, volver a cruzar ("volver a cruzar") a partir del estado marcado devuelve uno al estado no marcado. Por tanto, volver a cruzar anula el cruce. Formalmente:

${\ Displaystyle \ =}$

Tanto en A1 como en A2, la expresión a la derecha de '=' tiene menos símbolos que la expresión a la izquierda de '='. Esto sugiere que cada expresión aritmética primaria puede, mediante la aplicación repetida de A1 y A2, simplificarse a uno de dos estados: el estado marcado o no marcado. Este es de hecho el caso, y el resultado es la "simplificación" de la expresión. Los dos metateoremas fundamentales de la aritmética primaria establecen que:

• Cada expresión finita tiene una simplificación única. (T3 en LoF );
• Partiendo de un estado inicial marcado o no marcado, "complicar" una expresión con un número finito de aplicaciones repetidas de A1 y A2 no puede producir una expresión cuya simplificación difiera del estado inicial. (T4 en LoF ).

Así, la relación de equivalencia lógica divide todas las expresiones aritméticas primarias en dos clases de equivalencia : las que simplifican a la Cruz y las que simplifican al vacío.

A1 y A2 tienen análogos sueltos en las propiedades de los circuitos eléctricos en serie y en paralelo, y en otras formas de diagramar procesos, incluido el diagrama de flujo. A1 corresponde a una conexión en paralelo y A2 a una conexión en serie, en el entendido de que hacer una distinción corresponde a cambiar cómo se conectan dos puntos en un circuito, y no simplemente a agregar cableado.

La aritmética primaria es análoga a los siguientes lenguajes formales de las matemáticas y la informática :

• Una lengua Dyck de orden 1 con un alfabeto nulo;
• El lenguaje libre de contexto más simple de la jerarquía de Chomsky ;
• Un sistema de reescritura que es fuertemente normalizador y confluente .

La frase "cálculo de indicaciones" en LoF es sinónimo de "aritmética primaria".

La noción de canon

Un concepto peculiar de LoF es el de "canon". Si bien LoF no define el canon, los siguientes dos extractos de las Notas del capítulo. 2 son aptos:

Las estructuras de mando más importantes a veces se denominan cánones . Son las formas en que los mandatos rectores parecen agruparse en constelaciones y, por lo tanto, no son en modo alguno independientes entre sí. Un canon tiene la distinción de estar fuera (es decir, describir) el sistema en construcción, pero un mandato para construir (p. Ej., "Hacer una distinción"), aunque puede ser de importancia central, no es un canon. Un canon es una orden, o un conjunto de órdenes, para permitir o permitir, pero no para construir o crear.

... la forma principal de comunicación matemática no es la descripción, sino el mandato ... La música es una forma de arte similar, el compositor ni siquiera intenta describir el conjunto de sonidos que tiene en mente, mucho menos el conjunto de sentimientos ocasionados a través de ellos , pero escribe un conjunto de órdenes que, si son obedecidas por el ejecutante, pueden resultar en una reproducción, para el oyente, de la experiencia original del compositor.

Estos extractos se relacionan con la distinción en la metalógica entre el lenguaje objeto , el lenguaje formal del sistema lógico en discusión y el metalenguaje , un lenguaje (a menudo un lenguaje natural) distinto del lenguaje objeto, empleado para exponer y discutir el lenguaje objeto. La primera cita parece afirmar que los cánones son parte del metalenguaje. La segunda cita parece afirmar que las declaraciones en el lenguaje de objetos son esencialmente comandos dirigidos al lector por el autor. Ninguna de las dos afirmaciones se sostiene en la metalógica estándar.

El álgebra primaria (Capítulo 6)

Sintaxis

Dada cualquier expresión aritmética primaria válida, inserte en una o más ubicaciones cualquier número de letras latinas que tengan subíndices numéricos opcionales; el resultado es una fórmula de álgebra primaria . Las letras así empleadas en matemáticas y lógica se denominan variables . Una variable de álgebra primaria indica una ubicación donde se puede escribir el valor primitivo o su complemento . Múltiples instancias de la misma variable denotan múltiples ubicaciones del mismo valor primitivo.

Reglas que gobiernan la equivalencia lógica

El signo '=' puede vincular dos expresiones lógicamente equivalentes; el resultado es una ecuación . Por "lógicamente equivalente" se entiende que las dos expresiones tienen la misma simplificación. La equivalencia lógica es una relación de equivalencia sobre el conjunto de fórmulas de álgebra primaria, regidas por las reglas R1 y R2. Sean "C" y "D" fórmulas, cada una de las cuales contiene al menos una instancia de la subfórmula A :

• R1 , sustitución de iguales . Reemplazar una o más instancias de A en C por B , resultando en E . Si A = B , entonces C = E .
• R2 , reemplazo uniforme . Reemplazar todos los casos de A en C y D con B . C se convierte en E y D se convierte en F . Si C = D , entonces E = F . Tenga en cuenta que no se requiere A = B.

R2 se emplea con mucha frecuencia en demostraciones de álgebra primaria (ver más abajo), casi siempre en silencio. Estas reglas se invocan de forma rutinaria en la lógica y la mayoría de las matemáticas, casi siempre de forma inconsciente.

El álgebra primaria consta de ecuaciones , es decir, pares de fórmulas enlazadas por un infijo '='. R1 y R2 permiten transformar una ecuación en otra. Por lo tanto, el álgebra primaria es un sistema formal de ecuaciones , como las muchas estructuras algebraicas , incluido el álgebra booleana , que son variedades . La lógica ecuacional era común antes de Principia Mathematica (p. Ej., Peirce, ¹ , 2, 3 Johnson 1892) y tiene defensores en la actualidad (Gries y Schneider 1993).

La lógica matemática convencional consiste en fórmulas tautológicas , señaladas por un torniquete prefijado . Para indicar que la fórmula del álgebra primaria A es una tautología , simplemente escriba " A = ". Si se reemplaza '=' en R1 y R2 con el bicondicional , las reglas resultantes se mantienen en la lógica convencional. Sin embargo, la lógica convencional se basa principalmente en la regla modus ponens ; por tanto, la lógica convencional es ponencial . La dicotomía ecuacional-ponente destila mucho de lo que distingue a la lógica matemática del resto de las matemáticas.

Iniciales

Una inicial es una ecuación de álgebra primaria verificable mediante un procedimiento de decisión y, como tal, no es un axioma . LoF pone las iniciales:

J1:

A A

=.

La ausencia de cualquier cosa a la derecha del "=" arriba, es deliberada.

J2:

A B

C

=

C.A. antes de Cristo

.

J2 es la conocida ley distributiva de la lógica enunciativa y el álgebra booleana .

Otro conjunto de iniciales, más amigable para los cálculos, es:

J0:

A

=

UNA.

J1a:

A A

=

.

C2:

A

AB

=

A

B

.

Es gracias a C2 que el álgebra primaria es un retículo . En virtud de J1a , es una celosía complementada cuyo límite superior es . Por J0 , es el límite inferior y el elemento de identidad correspondientes . J0 es también una versión algebraica de A2 y deja claro el sentido en el que se alias con la página en blanco.

T13 en LoF generaliza C2 de la siguiente manera. Cualquier fórmula B de álgebra primaria (o lógica enunciativa) puede verse como un árbol ordenado con ramas . Luego:

T13 : A subfórmula A puede ser copiado a voluntad en cualquier profundidad de B mayor que el de A , siempre que A y su copia están en la misma rama de B . Además, dadas múltiples instancias de A en la misma rama de B , todas las instancias, excepto la más superficial, son redundantes.

Si bien una prueba de T13 requeriría inducción , la intuición subyacente debería ser clara.

C2 o su equivalente se llama:

• "Generación" en LoF ;
• "Exclusión" en Johnson (1892);
• "Pervasion" en la obra de William Bricken.

Quizás la primera instancia de un axioma o regla con el poder de C2 fue la "Regla de (des) iteración", que combina T13 y AA = A , de los gráficos existenciales de CS Peirce .

LoF afirma que la concatenación se puede leer como conmutación y asociación de forma predeterminada y, por lo tanto, no es necesario suponer o demostrar explícitamente. (Peirce hizo una afirmación similar acerca de sus gráficos existenciales ). Sea un punto una notación temporal para establecer la agrupación. Esa concatenación conmuta y asociados puede entonces demostrarse a partir de:

• AC.D inicial = CD.A y la consecuencia AA = A (Byrne 1946). Este resultado es válido para todas las redes , porque AA = A es una consecuencia fácil de la ley de absorción , que se aplica a todas las redes;
• Iniciales AC.D = AD.C y J0 . Dado que J0 solo se aplica a las celosías con un límite inferior, este método solo se aplica a las celosías limitadas (que incluyen el álgebra primaria y 2 ). La conmutatividad es trivial; simplemente establezca A = . Asociatividad: AC.D = CA.D = CD.A = A.CD .

Habiendo demostrado asociatividad, el período puede descartarse.

Las iniciales en Meguire (2011) son AC.D = CD.A , llamado B1 ; B2 , J0 arriba; B3 , J1a arriba; y B4 , C2. Por diseño, estas iniciales son muy similares a los axiomas de un grupo abeliano , G1-G3 a continuación.

Teoría de la prueba

El álgebra primaria contiene tres tipos de afirmaciones probadas:

• La consecuencia es una ecuación de álgebra primaria verificada por una demostración . Una demostración consiste en una secuencia de pasos , cada paso justificado por una consecuencia inicial o demostrada previamente.
• El teorema es un enunciado en el metalenguaje verificado por una prueba , es decir, un argumento, formulado en el metalenguaje, que es aceptado por matemáticos y lógicos entrenados.
• Inicial , definida anteriormente. Las demostraciones y pruebas invocan una inicial como si fuera un axioma.

La distinción entre consecuencia y teorema es válida para todos los sistemas formales, incluidas las matemáticas y la lógica, pero generalmente no se hace explícita. Un procedimiento de demostración o decisión se puede realizar y verificar por computadora. La prueba de un teorema no puede ser.

Permiten una y B sean álgebra primarias fórmulas . Una demostración de A = B puede realizarse de dos formas:

• Modifique A en pasos hasta obtener B , o viceversa;
• Simplifica ambos y a . Esto se conoce como "cálculo".

Una vez que A = B se ha demostrado, A = B pueden ser invocados para justificar pasos en las manifestaciones posteriores. Las demostraciones y cálculos de álgebra primaria a menudo no requieren más que J1a , J2 , C2 y las consecuencias ( C3 en LoF ), ( C1 ) y AA = A ( C5 ).

La consecuencia , C7' en LDT , permite a un algoritmo , bosquejado en LDT prueba de T14 s, que transforma un arbitraria álgebra primaria fórmula para una fórmula equivalente cuya profundidad no excede de dos. El resultado es una forma normal , el análogo del álgebra primaria de la forma normal conjuntiva . LoF (T14-15) demuestra el análogo del álgebra primaria del conocido teorema del álgebra de Boole de que toda fórmula tiene una forma normal.

Deje que A sea un subfórmula de algunos fórmula B . Cuando se combina con C3 , J1a puede ser vista como la condición de cierre para los cálculos: B es una tautología si y sólo si A y ( A ) tanto aparecen en profundidad 0 de B . Aparece una condición relacionada en algunas versiones de la deducción natural . Una demostración por cálculo suele ser poco más que:

• Invocación de T13 repetidamente para eliminar subfórmulas redundantes;
• Borrando cualquier subfórmula que tenga la forma .

El último paso de un cálculo siempre invoca a J1a .

LoF incluye nuevas y elegantes pruebas de la siguiente metateoría estándar :

• Completitud : todas las consecuencias del álgebra primaria se pueden demostrar a partir de las iniciales (T17).
• Independencia : J1 no se puede demostrar a partir de J2 y viceversa (T18).

Que la lógica oracional es completa se enseña en cada primer curso universitario de lógica matemática . Pero los cursos universitarios de álgebra booleana rara vez mencionan la completitud de 2 .

Interpretaciones

Si los estados Marcado y No marcado se leen como los valores booleanos 1 y 0 (o Verdadero y Falso ), el álgebra primaria interpreta 2 (o lógica enunciativa ). LoF muestra cómo el álgebra primaria puede interpretar el silogismo . Cada una de estas interpretaciones se analiza en una subsección a continuación. Aún no se ha extendido el álgebra primaria para que pueda interpretar la lógica estándar de primer orden , pero las gráficas existenciales beta de Peirce sugieren que esta extensión es factible.

Álgebra booleana 2 de dos elementos

El álgebra primaria es una elegante notación minimalista para el álgebra booleana 2 de dos elementos . Dejar:

• Uno de Boolean join (+) o meet (×) interpretar la concatenación ;
• El complemento de A interpretar
• 0 (1) interpretar la marca vacía si join (meet) interpreta la concatenación (porque una operación binaria aplicada a operandos cero puede considerarse igual al elemento identidad de esa operación; o para decirlo de otra manera, un operando que es faltante podría considerarse que actúa por defecto como el elemento de identidad).

Si unirse (reunirse) interpreta AC , entonces reunirse (unirse) interpreta . Por lo tanto, el álgebra primaria y 2 son isomórficos, excepto por un detalle: la complementación del álgebra primaria puede ser nula, en cuyo caso denota un valor primitivo. Modulo este detalle, 2 es un modelo del álgebra primaria. La aritmética primaria sugiere la siguiente axiomatización aritmética de 2 : 1 + 1 = 1 + 0 = 0 + 1 = 1 = ~ 0, y 0 + 0 = 0 = ~ 1. ${\ Displaystyle {\ overline {{\ overline {A |}} \ \ {\ overline {C |}} {\ Big |}}}}$

El conjunto es el dominio o portador booleano . En el lenguaje del álgebra universal , el álgebra primaria es la estructura algebraica de tipo . La adecuación expresiva del trazo de Sheffer apunta a que el álgebra primaria también es un álgebra de tipo . En ambos casos, las identidades son J1a, J0, C2 y ACD = CDA . Dado que el álgebra primaria y 2 son isomórficos , 2 puede verse como un álgebra de tipo . Esta descripción de 2 es más simple que la convencional, es decir, un álgebra de tipos . ${\ Displaystyle \ B = \ {}$ ${\ Displaystyle,}$ ${\ Displaystyle \ \}}$ ${\ Displaystyle \ langle B, - \ -, {\ overline {- \ |}}, {\ overline {\ \ |}} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle 2,1,0 \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle B, {\ overline {- \ - \ |}}, {\ overline {\ \ |}} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle 2,0 \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle B, +, \ lnot, 1 \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle 2,1,0 \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle B, +, \ times, \ lnot, 1,0 \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle 2,2,1,0,0 \ rangle}$

Las dos posibles interpretaciones son duales entre sí en el sentido booleano. (En álgebra de Boole, intercambiar AND ↔ OR y 1 ↔ 0 a lo largo de una ecuación produce una ecuación igualmente válida.) Las identidades permanecen invariables independientemente de la interpretación que se elija, por lo que las transformaciones o modos de cálculo siguen siendo los mismos; solo la interpretación de cada forma sería diferente. Ejemplo: J1a es . Interpretando la yuxtaposición como OR y como 1, esto se traduce en que es cierto. Al interpretar la yuxtaposición como AND y como 0, esto se traduce en que también es verdadero (y el dual de ). ${\ Displaystyle \ neg A \ lor A = 1}$${\ Displaystyle \ neg A \ land A = 0}$${\ Displaystyle \ neg A \ lor A = 1}$

Lógica oracional

Dejar que la página en blanco denotan Falso , y dejó una cruz leerse como no . Entonces, la aritmética primaria tiene la siguiente lectura enunciativa:

 =   Falso

 =   Verdadero  =   no falso

 =   No es cierto  =   Falso

El álgebra primaria interpreta la lógica enunciativa de la siguiente manera. Una letra representa cualquier expresión oracional dada. Por lo tanto:

interpreta No A

interpreta A o B

interpreta ni A ni B o Si A entonces B .

interpreta No (No A o No B)

o no (si A entonces no B)

o A y B .

a B a B

,

a B ab

tanto interpretar una si y sólo si B o A es equivalente a B .

Por lo tanto, cualquier expresión en la lógica de la oración tiene una traducción de álgebra primaria . De manera equivalente, el álgebra primaria interpreta la lógica enunciativa. Dada una asignación de cada variable a los estados Marcado o No marcado, esta traducción del álgebra primaria se reduce a una expresión aritmética primaria, que puede simplificarse. Al repetir este ejercicio para todas las posibles asignaciones de los dos valores primitivos a cada variable, se revela si la expresión original es tautológica o satisfactoria . Este es un ejemplo de un procedimiento de decisión , uno más o menos en el espíritu de las tablas de verdad convencionales. Dada alguna fórmula de álgebra primaria que contiene N variables, este procedimiento de decisión requiere simplificar 2 ^N fórmulas aritméticas primarias. Para un procedimiento de decisión menos tedioso, más en el espíritu del "análisis del valor de verdad" de Quine , ver Meguire (2003).

Schwartz (1981) demostró que el álgebra primaria es equivalente - sintáctica , semánticamente y teóricamente demostrativa - con el cálculo proposicional clásico . Asimismo, se puede demostrar que el álgebra primaria es sintácticamente equivalente con expresiones construidas de la manera habitual a partir de los valores de verdad clásicos verdadero y falso , las conectivas lógicas NOT, OR y AND, y paréntesis.

Interpretar el estado no marcado como falso es totalmente arbitrario; ese estado puede leerse igualmente como Verdadero . Todo lo que se requiere es que la interpretación de la concatenación cambie de OR a AND. SI A ENTONCES B ahora se traduce como en lugar de . De manera más general, el álgebra primaria es "auto- dual ", lo que significa que cualquier fórmula de álgebra primaria tiene dos lecturas oracionales o booleanas , cada una dual de la otra. Otra consecuencia de la autodualidad es la irrelevancia de las leyes de De Morgan ; esas leyes están integradas en la sintaxis del álgebra primaria desde el principio.

Ahora surge la verdadera naturaleza de la distinción entre el álgebra primaria, por un lado, y la lógica 2 y sentencial, por el otro. En los últimos formalismos, la complementación / negación que opera sobre "nada" no está bien formada. Pero una Cruz vacía es una expresión de álgebra primaria bien formada , que denota el estado Marcado, un valor primitivo. Por tanto, una Cruz no vacía es un operador , mientras que una Cruz vacía es un operando porque denota un valor primitivo. Así, el álgebra primaria revela que los conceptos matemáticos hasta ahora distintos de operador y operando son, de hecho, simplemente facetas diferentes de una única acción fundamental, la realización de una distinción.

Silogismos

Apéndice 2 de LOF muestra cómo traducir tradicionales silogismos y sorites en el álgebra primaria . Un silogismo válido es simplemente uno cuya traducción del álgebra primaria se simplifica a una Cruz vacía. Deje que A * denote un literal , es decir, A o , indiferentemente. Entonces, todo silogismo que no requiera que se suponga que uno o más términos no están vacíos es una de las 24 posibles permutaciones de una generalización de Barbara cuyo equivalente en álgebra primaria es . Estas 24 posibles permutaciones incluyen las 19 formas silogísticas consideradas válidas en la lógica aristotélica y medieval . Esta traducción del álgebra primaria de la lógica silogística también sugiere que el álgebra primaria puede interpretar la lógica monádica y de términos , y que el álgebra primaria tiene afinidades con los esquemas de términos booleanos de Quine (1982: Parte II). ${\ Displaystyle {\ overline {A |}}}$${\ Displaystyle {\ overline {A ^ {*} \ B |}} \ \ {\ overline {{\ overline {B |}} \ C ^ {*} {\ Big |}}} \ A ^ {*} \ C ^ {*}}$

Un ejemplo de calculo

El siguiente cálculo del no trivial Praeclarum Theorema de Leibniz ejemplifica el poder demostrativo del álgebra primaria . Sea C1 = A , C2 sea , C3 sea , J1a sea , y OI signifique que las variables y subfórmulas se han reordenado de una manera que lo permiten la conmutatividad y la asociatividad. ${\ Displaystyle {\ overline {{\ overline {A |}} {\ Big |}}}}$${\ Displaystyle A \ {\ overline {A \ B |}} = A \ {\ overline {B |}}}$${\ Displaystyle {\ overline {\ \ |}} \ A = {\ overline {\ \ |}}}$${\ Displaystyle {\ overline {A |}} \ A = {\ overline {\ \ |}}}$

[( P → R ) ∧ ( Q → S )] → [( P ∧ Q ) → ( R ∧ S )].	Teorema del Praeclarum .
PAG R Q S PAG Q R S .	traducción de álgebra primaria
PAG R Q S PAG Q R S .	C1.
PAG R Q S PAG Q R S .	C1.
PAG PAG R Q S Q R S .	OI.
PAG R Q S Q R S .	C2.
PAG R Q Q S R S .	OI.
PAG R Q S R S .	C2.
PAG Q S R R S .	OI.
PAG Q S R S .	C2.
PAG Q S R S .	C1.
PAG Q S S R .	OI.
PAG Q B R .	J1a.
B PAG Q R .	OI.
B	C3. ${\ Displaystyle \ cuadrado}$

Relación con los magmas

El álgebra primaria incorpora un punto señalado por Huntington en 1933: el álgebra booleana requiere, además de una operación unaria , una, y no dos, operaciones binarias . De ahí el hecho poco conocido de que las álgebras de Boole son magmas . (A los magmas se les llamó grupoides hasta que la teoría de categorías se apropió del último término ). Para ver esto, tenga en cuenta que el álgebra primaria es conmutativa :

• Semigroup porque la yuxtaposición del álgebra primaria conmuta y se asocia ;
• Monoide con elemento de identidad , en virtud de J0 .

Los grupos también requieren una operación unaria , llamada inversa , la contraparte grupal de la complementación booleana . Vamos a denotar la inversa de una . Dejar que denotan el grupo elemento de identidad . Entonces, los grupos y el álgebra primaria tienen las mismas firmas , es decir, ambos son álgebras de tipo 〈2,1,0〉. Por tanto, el álgebra primaria es un álgebra de límites . Los axiomas para un grupo abeliano , en notación de límites, son: ${\ Displaystyle \ langle - \ -, {\ overline {- \ |}}, {\ overline {\ \ |}} \ rangle}$

• G1 . abc = acb (asumiendo asociación desde la izquierda);
• G2 .
• G3 . .

De G1 y G2 , la conmutatividad y asociatividad de la concatenación se pueden derivar, como se indicó anteriormente. Tenga en cuenta que G3 y J1a son idénticos. G2 y J0 serían idénticos si     =     reemplazara A2 . Ésta es la identidad aritmética definitoria de la teoría de grupos, en notación de límites.

El álgebra primaria se diferencia de un grupo abeliano de dos formas:

• De A2 , se sigue que ≠ . Si el álgebra primaria fuera un grupo , = se mantendría, y uno de    a  =     o    a  =  a    tendría que ser una consecuencia del álgebra primaria . Tenga en cuenta que y son complementos mutuos del álgebra primaria , como lo requiere la teoría de grupos, de modo que eso es cierto tanto para la teoría de grupos como para el álgebra primaria ;  ${\ Displaystyle {\ overline {\ {\ overline {\ {\ overline {\ \ |}} \ {\ Big |}}} \ {\ Bigg |}}} = {\ overline {\ \ |}}}$
• C2 delimita más claramente el álgebra primaria de otros magmas, porque C2 permite demostrar la ley de absorción que define las redes y la ley distributiva fundamental para el álgebra booleana .

Tanto A2 como C2 se derivan de que B es un conjunto ordenado .

Ecuaciones de segundo grado (Capítulo 11)

El capítulo 11 de LoF introduce ecuaciones de segundo grado , compuestas por fórmulas recursivas que pueden verse como de profundidad "infinita". Algunas fórmulas recursivas se simplifican al estado marcado o no marcado. Otros "oscilan" indefinidamente entre los dos estados dependiendo de si una profundidad dada es par o impar. Específicamente, ciertas fórmulas recursivas pueden interpretarse como oscilantes entre verdadero y falso en intervalos de tiempo sucesivos, en cuyo caso se considera que una fórmula tiene un valor de verdad "imaginario". Por tanto, el flujo del tiempo puede introducirse en el álgebra primaria .

Turney (1986) muestra cómo estas fórmulas recursivas pueden interpretarse a través de la aritmética recursiva restringida (RRA) de Alonzo Church . Church introdujo RRA en 1955 como una formalización axiomática de autómatas finitos . Turney (1986) presenta un método general para traducir ecuaciones de segundo grado al RRA de Church, ilustrando su método usando las fórmulas E1 , E2 y E4 en el capítulo 11 de LoF . Esta traducción a RRA arroja luz sobre los nombres que Spencer-Brown dio a E1 y E4 , a saber, "memoria" y "contador". Así, RRA formaliza y aclara la noción de LoF de un valor de verdad imaginario.

Trabajo relacionado

Gottfried Leibniz , en memorandos no publicados antes de finales del siglo XIX y principios del XX, inventó la lógica booleana . Su notación era isomorfa a la de LDT : concatenación leído como conjunto , y "no ( X )" lee como el complemento de X . Lewis (1918) y Rescher (1954) presagiaron el reconocimiento del papel pionero de Leibniz en la lógica algebraica . Pero una apreciación completa de los logros de Leibniz tuvo que esperar el trabajo de Wolfgang Lenzen, publicado en la década de 1980 y revisado en Lenzen (2004).

Charles Sanders Peirce (1839-1914) anticipó el álgebra primaria en tres líneas de trabajo:

1. Dos artículos que escribió en 1886 propusieron un álgebra lógica que empleaba un solo símbolo, la serpentina , casi idéntica a la Cruz de LoF . La semántica de la serpentina es idéntica a la de la Cruz, excepto que Peirce nunca escribió una serpentina sin nada debajo. En 1976 se publicó un extracto de uno de estos artículos, pero no se publicaron en su totalidad hasta 1993.
2. En un artículo de la enciclopedia de 1902, Peirce anotó el álgebra booleana y la lógica oracional a la manera de esta entrada, excepto que empleó dos estilos de corchetes, alternando entre '(', ')' y '[', ']' con cada incremento en profundidad de la fórmula.
3. La sintaxis de sus grafos existenciales alfa es meramente concatenación , leída como conjunción , y encerrada por óvalos, leída como negación . Si la concatenación del álgebra primaria se lee como conjunción , entonces estos gráficos son isomórficos al álgebra primaria (Kauffman 2001).

Irónicamente, LoF cita el vol. 4 de los artículos recopilados de Peirce , la fuente de los formalismos en (2) y (3) anteriores. (1) - (3) eran prácticamente desconocidos en el momento en que (década de 1960) y en el lugar donde (Reino Unido) se escribió LoF . La semiótica de Peirce , sobre la cual LoF guarda silencio, aún puede arrojar luz sobre los aspectos filosóficos de LoF .

Kauffman (2001) analiza otra notación similar a la de LoF , la de un artículo de 1917 de Jean Nicod , quien fue discípulo de Bertrand Russell .

Los formalismos anteriores son, como el álgebra primaria , todas las instancias de matemáticas de límites , es decir, matemáticas cuya sintaxis se limita a letras y corchetes (dispositivos que encierran). Una sintaxis minimalista de esta naturaleza es una "notación de límites". La notación de límites está libre de símbolos de operador infijo , prefijo o sufijo . Las bien conocidas llaves ('{', '}') de la teoría de conjuntos pueden verse como una notación de límites.

El trabajo de Leibniz, Peirce y Nicod es inocente de la metateoría, como escribieron antes del histórico artículo de 1920 de Emil Post (que cita LoF ), demostrando que la lógica oracional es completa, y antes de que Hilbert y Łukasiewicz mostraran cómo probar la independencia del axioma usando modelos .

Craig (1979) argumentó que el mundo, y cómo los humanos perciben e interactúan con ese mundo, tiene una rica estructura booleana. Craig era un lógico ortodoxo y una autoridad en lógica algebraica .

La ciencia cognitiva de segunda generación surgió en la década de 1970, después de que se escribiera LoF . Sobre la ciencia cognitiva y su relevancia para el álgebra de Boole, la lógica y la teoría de conjuntos , ver Lakoff (1987) (ver las entradas del índice en "Ejemplos de esquemas de imagen: contenedor") y Lakoff y Núñez (2001). Ninguno de los libros cita a LoF .

Los biólogos y científicos cognitivos Humberto Maturana y su alumno Francisco Varela discuten la LoF en sus escritos, que identifican la "distinción" como el acto cognitivo fundamental. La psicóloga y científica cognitiva de Berkeley, Eleanor Rosch, ha escrito extensamente sobre la noción de categorización estrechamente relacionada.

Otros sistemas formales con posibles afinidades con el álgebra primaria incluyen:

• Mereología que típicamente tiene una estructura reticular muy similar a la del álgebra de Boole. Para algunos autores, la mereología es simplemente un modelo del álgebra de Boole y, por tanto, también del álgebra primaria.
• Mereotopología , que es inherentemente más rica que el álgebra de Boole;
• El sistema de Whitehead (1934), cuyo primitivo fundamental es "indicación".

La aritmética primaria y el álgebra son un formalismo minimalista para la lógica oracional y el álgebra booleana. Otros formalismos minimalistas que tienen el poder de la teoría de conjuntos incluyen:

• El cálculo lambda ;
• Lógica combinatoria con dos ( S y K ) o incluso uno ( X ) combinadores primitivos;
• Lógica matemática hecha con meramente tres nociones primitivas: una conectiva, NAND (cuya traducción del álgebra primaria es o, dualmente, ), cuantificación universal , y una fórmula atómica binaria , que denota pertenencia a un conjunto . Este es el sistema de Quine (1951).${\ Displaystyle {\ overline {A \ \ B \ |}}}$${\ Displaystyle {\ overline {A |}} \ \ {\ overline {B |}}}$
• Los gráficos existenciales beta , con un único predicado binario que denota pertenencia al conjunto. Esto aún no se ha explorado. Los gráficos alfa mencionados anteriormente son un caso especial de los gráficos beta .

Ver también

• Álgebra booleana (Wikipedia en inglés simple)
• Álgebra booleana (introducción)
• Álgebra booleana (lógica)
• Álgebra booleana (estructura)
• Álgebras de Boole definidas canónicamente
• lógica booleana
• Gráfico entitativo
• Gráfico existencial
• Lista de temas de álgebra de Boole
• Cálculo proposicional
• Álgebra booleana de dos elementos

Notas

Referencias

• Ediciones de leyes de forma :
  • 1969. Londres: Allen & Unwin, tapa dura.
  • 1972. Crown Publishers, tapa dura: ISBN  0-517-52776-6
  • 1973. Bantam Books, rústica. ISBN  0-553-07782-1
  • 1979. EP Dutton, rústica. ISBN  0-525-47544-3
  • 1994. Portland OR: Cognizer Company, tapa blanda. ISBN  0-9639899-0-1
  • 1997 traducción al alemán, titulada Gesetze der Form . Lübeck: Bohmeier Verlag. ISBN  3-89094-321-7
  • 2008 Bohmeier Verlag, Leipzig, 5ª edición internacional. ISBN  978-3-89094-580-4
• Bostock, David, 1997. Intermediate Logic . Universidad de Oxford. Prensa.
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• Craig, William (1979). "Lógica booleana y el mundo físico cotidiano". Actas y direcciones de la American Philosophical Association . 52 (6): 751–78. doi : 10.2307 / 3131383 . JSTOR  3131383 .
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• ------, 2006, " Reformulación del teorema del color del mapa " .
• ------, 2006a. " Leyes de la forma: una exploración en matemáticas y fundamentos " . Borrador de libro (por lo tanto, grande).
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• --------, 1982. Methods of Logic , 4ª ed. Prensa de la Universidad de Harvard.
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• AN Whitehead , 1934, "Indicación, clases, número, validación", Mind 43 (ns): 281–97, 543. Las correcciones en la p. 543 son numerosas e importantes, y las reimpresiones posteriores de este artículo no las incorporan.
• Dirk Baecker (ed.) (1993), Kalkül der Form. Suhrkamp; Dirk Baecker (ed.), Probleme der Form . Suhrkamp.
• Dirk Baecker (ed.) (1999), Problemas de forma , Stanford University Press.
• Dirk Baecker (ed.) (2013), A Mathematics of Form, A Sociology of Observers , Cybernetics & Human Knowing, vol. 20, no. 3-4 .

enlaces externos

• Laws of Form , archivo del sitio web de Richard Shoup.
• Charlas de Spencer-Brown en Esalen, 1973. Las formas autorreferenciales se introducen en la sección titulada "Grado de ecuaciones y teoría de tipos".
• Louis H. Kauffman , " Álgebra de cajas, matemáticas de límites, lógica y leyes de la forma " .
• Kissel, Matthias, " Una introducción no sistemática pero fácil de entender a las leyes de la forma " .
• The Laws of Form Forum , donde el álgebra primaria y los formalismos relacionados se han discutido desde 2002.
• Un encuentro con GSB por Moshe Klein
• The Markable Mark , una introducción por etapas fáciles a las ideas de las leyes de la forma
• El cálculo BF y la raíz cuadrada de la negación de Louis Kauffman y Arthur Collings; amplía las leyes de la forma añadiendo un valor lógico imaginario. (Los valores lógicos imaginarios se presentan en el capítulo 11 del libro Leyes de la forma ).
• Curso de Leyes de la Forma: un curso gratuito en línea que lleva a las personas a través del cuerpo principal del texto de Leyes de la forma de Leon Conrad, el último alumno de Spencer-Brown, que estudió el trabajo con el autor.