Anillo de endomorfismo - Endomorphism ring

En matemáticas , los endomorfismos de un grupo abeliano X forman un anillo. Este anillo se llama anillo de endomorfismo X , denotado por Fin ( X ); el conjunto de todos los homomorfismos de X en sí mismo. La adición de endomorfismos surge naturalmente de manera puntual y la multiplicación a través de la composición de endomorfismos . El uso de estas operaciones, el conjunto de endomorfismos de un grupo abeliano forma un (unital) anillo , con el mapa cero como identidad aditiva y el mapa de identidad como identidad multiplicativa . ${\ textstyle 0: x \ mapsto 0}$ ${\ textstyle 1: x \ mapsto x}$

Las funciones involucradas están restringidas a lo que se define como un homomorfismo en el contexto, que depende de la categoría del objeto en consideración. En consecuencia, el anillo de endomorfismo codifica varias propiedades internas del objeto. Como el objeto resultante es a menudo un álgebra sobre algún anillo R, esto también se puede llamar álgebra de endomorfismo .

Un grupo abeliano es lo mismo que un módulo sobre el anillo de números enteros , que es el anillo inicial . De manera similar, si R es un anillo conmutativo , los monoides de endomorfismo de sus módulos forman álgebras sobre R mediante los mismos axiomas y derivación. En particular, si R es un campo F , sus módulos M son espacios vectoriales V y sus anillos endomorphism son álgebras sobre el campo F .

Descripción

Deje que ( A , +) sea un grupo abeliano y consideramos que los homomorfismo de grupos de A a A . Entonces, la adición de dos de tales homomorfismos puede definirse puntualmente para producir otro homomorfismo de grupo. Explícitamente, dados dos homomorfismos f y g , la suma de f y g es el homomorfismo . Bajo esta operación, Fin ( A ) es un grupo abeliano. Con la operación adicional de composición de homomorfismos, Fin ( A ) es un anillo con identidad multiplicativa. Esta composición es explícitamente . La identidad multiplicativa es el homomorfismo de identidad en una . ${\ estilo de texto [f + g] (x): = f (x) + g (x)}$${\ estilo de texto (fg) (x): = f (g (x))}$

Si el conjunto A no forma un grupo abeliano , entonces la construcción anterior no es necesariamente aditiva , ya que entonces la suma de dos homomorfismos no tiene por qué ser un homomorfismo. Este conjunto de endomorfismos es un ejemplo canónico de un anillo cercano que no es un anillo.

Propiedades

• Los anillos de endomorfismo siempre tienen identidades aditivas y multiplicativas , respectivamente, el mapa cero y el mapa de identidad .
• Los anillos de endomorfismo son asociativos , pero típicamente no conmutativos .
• Si un módulo es simple , entonces su anillo de endomorfismo es un anillo de división (esto a veces se llama lema de Schur ).
• Un módulo es indecomponible si y solo si su anillo de endomorfismo no contiene ningún elemento idempotente no trivial . Si el módulo es un módulo inyectivo , entonces la indecomponibilidad es equivalente a que el anillo de endomorfismo sea un anillo local .
• Para un módulo semisimple , el anillo de endomorfismo es un anillo regular de von Neumann .
• El anillo de endomorfismo de un módulo uniserial derecho distinto de cero tiene uno o dos ideales derechos máximos. Si el módulo es artiniano, noetheriano, proyectivo o inyectivo, entonces el anillo de endomorfismo tiene un ideal máximo único, por lo que es un anillo local.
• El anillo de endomorfismo de un módulo uniforme artiniano es un anillo local.
• El anillo de endomorfismo de un módulo con una longitud de composición finita es un anillo semiprimario .
• El anillo de endomorfismo de un módulo continuo o módulo discreto es un anillo limpio .
• Si un módulo R se genera finitamente y es proyectivo (es decir, un progenerador ), entonces el anillo de endomorfismo del módulo y R comparten todas las propiedades invariantes de Morita. Un resultado fundamental de la teoría de Morita es que todos los anillos equivalentes a R surgen como anillos de endomorfismo de progeneradores.

Ejemplos de

• En la categoría de módulos R, el anillo de endomorfismo de un módulo R M solo usará los homomorfismos del módulo R , que normalmente son un subconjunto adecuado de los homomorfismos del grupo abeliano. Cuando M es un módulo proyectivo generado de forma finita , el anillo de endomorfismo es fundamental para la equivalencia de categorías de módulos de Morita .
• Para cualquier grupo abeliano , , ya que cualquier en la matriz lleva una estructura homomorfismo natural de la siguiente manera:${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle M_ {n} (\ operatorname {End} (A)) \ cong \ operatorname {End} (A ^ {n})}$${\ Displaystyle M_ {n} (\ operatorname {End} (A))}$${\ Displaystyle A ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ varphi _ {11} & \ cdots & \ varphi _ {1n} \\\ vdots && \ vdots \\\ varphi _ {n1} & \ cdots & \ varphi _ {nn} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sum _ {i = 1} ^ {n } \ varphi _ {1i} (a_ {i}) \\\ vdots \\\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ varphi _ {ni} (a_ {i}) \ end {pmatrix}}. }$

Se puede usar este isomorfismo para construir muchos anillos de endomorfismo no conmutativos. Por ejemplo:, desde .${\ Displaystyle \ operatorname {End} (\ mathbb {Z} \ times \ mathbb {Z}) \ cong M_ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ operatorname {End} (\ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}}$

Además, cuando es un campo, hay un isomorfismo canónico , es decir, el anillo de endomorfismo de un espacio -vector se identifica con el anillo de n- por- n matrices con entradas en . De manera más general, el álgebra de endomorfismo del módulo libre es naturalmente -por- matrices con entradas en el anillo .${\ Displaystyle R = K}$${\ Displaystyle \ operatorname {Fin} (K) \ cong K}$${\ Displaystyle \ operatorname {End} (K ^ {n}) \ cong M_ {n} (K)}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle M = R ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle R}$

• Como ejemplo particular del último punto, para cualquier anillo R con unidad, Fin ( R _R ) = R , donde los elementos de R actúan sobre R por multiplicación por la izquierda .
• En general, los anillos de endomorfismo se pueden definir para los objetos de cualquier categoría preaditiva .

Notas

Referencias

• Camillo, vicepresidente; Khurana, D .; Lam, TY; Nicholson, WK; Zhou, Y. (2006), "Los módulos continuos están limpios", J. Algebra , 304 (1): 94-111, doi : 10.1016 / j.jalgebra.2006.06.032 , ISSN  0021-8693 , MR  2255822
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, VV (1994), Álgebras de dimensión finita , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
• Dummit, David; Foote, Richard, Álgebra

• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• "Anillo de endomorfismo" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , 2 (2.a ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
• Passman, Donald S. (1991), Un curso de teoría de anillos , Pacific Grove: Wadsworth & Brooks / Cole, ISBN 0-534-13776-8
• Wisbauer, Robert (1991), Fundamentos de la teoría de módulos y anillos , Álgebra, lógica y aplicaciones, 3 (revisada y traducida de la edición alemana de 1988), Filadelfia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, págs.  Xii + 606 , ISBN 2-88124-805-5, Señor  1144522 Un manual de estudio e investigación.