Teorema espectral - Spectral theorem

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal y análisis funcional , un teorema espectral es el resultado de cuándo un operador lineal o una matriz se puede diagonalizar (es decir, representarse como una matriz diagonal de alguna manera). Esto es extremadamente útil porque los cálculos que involucran una matriz diagonalizable a menudo se pueden reducir a cálculos mucho más simples que involucran la matriz diagonal correspondiente. El concepto de diagonalización es relativamente sencillo para los operadores en espacios vectoriales de dimensión finita, pero requiere algunas modificaciones para los operadores en espacios de dimensión infinita. En general, el teorema espectral identifica una clase de operadores lineales que pueden ser modelados por operadores de multiplicación , que son tan simples como uno puede esperar encontrar. En un lenguaje más abstracto, el teorema espectral es un enunciado sobre álgebras C * conmutativas . Véase también teoría espectral para una perspectiva histórica.

Ejemplos de operadores a los que se aplica el teorema espectral son los operadores autoadjuntos o, de manera más general, los operadores normales en los espacios de Hilbert .

El teorema espectral también proporciona una descomposición canónica , llamada descomposición espectral , del espacio vectorial subyacente sobre el que actúa el operador.

Augustin-Louis Cauchy demostró el teorema espectral para matrices simétricas , es decir, que toda matriz simétrica real es diagonalizable. Además, Cauchy fue el primero en ser sistemático sobre los determinantes. El teorema espectral generalizado por John von Neumann es hoy quizás el resultado más importante de la teoría del operador.

Este artículo se centra principalmente en el tipo más simple de teorema espectral, el de un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert. Sin embargo, como se señaló anteriormente, el teorema espectral también es válido para los operadores normales en un espacio de Hilbert.

Caso de dimensión finita

Mapas hermitianos y matrices hermitianas

Comenzamos considerando una matriz hermitiana en (pero la siguiente discusión será adaptable al caso más restrictivo de matrices simétricas en ). Consideramos un mapa hermitiano A en un espacio de producto interno complejo de dimensión finita V dotado de un producto interno sesquilineal definido positivo . La condición hermitiana on significa que para todo x , y ∈ V , ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle.}$

Una condición equivalente es que A ^* = A , en donde A ^* es el conjugado hermitiano de A . En el caso de que A se identifique con una matriz hermitiana, la matriz de A ^* puede identificarse con su transpuesta conjugada . (Si A es una matriz real , esto es equivalente a A ^T = A , es decir, A es una matriz simétrica ).

Esta condición implica que todos los valores propios de un mapa hermitiano son reales: basta con aplicarlo al caso en el que x = y es un vector propio. (Recuerde que un vector propio de un mapa lineal A es un vector x (distinto de cero) tal que Ax = λx para algún λ escalar . El valor λ es el valor propio correspondiente . Además, los valores propios son raíces del polinomio característico ).

Teorema . Si A es hermitiana, existe una base ortonormal de V que consta de vectores propios de A . Cada valor propio es real.

Proporcionamos un bosquejo de una prueba para el caso en el que el campo subyacente de los escalares son los números complejos .

Según el teorema fundamental del álgebra , aplicado al polinomio característico de A , hay al menos un valor propio λ ₁ y un vector propio e ₁ . Entonces desde

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ langle e_ {1}, e_ {1} \ rangle = \ langle A (e_ {1}), e_ {1} \ rangle = \ langle e_ {1}, A (e_ {1}) \ rangle = {\ bar {\ lambda}} _ {1} \ langle e_ {1}, e_ {1} \ rangle,}$

encontramos que λ ₁ es real. Ahora considere el espacio K = span { e ₁ } ^⊥ , el complemento ortogonal de e ₁ . Por hermiticidad, K es un subespacio invariante de A . Aplicando el mismo argumento para K muestra que A tiene un vector propio e ₂ ∈ K . La inducción finita luego termina la prueba.

El teorema espectral también es válido para mapas simétricos en espacios de productos internos reales de dimensión finita, pero la existencia de un vector propio no se sigue inmediatamente del teorema fundamental del álgebra . Para probar esto, considere A como una matriz hermitiana y use el hecho de que todos los valores propios de una matriz hermitiana son reales.

La representación matricial de A en una base de autovectores es diagonal, y por la construcción la demostración da una base de autovectores mutuamente ortogonales; al elegirlos como vectores unitarios, se obtiene una base ortonormal de vectores propios. A se puede escribir como una combinación lineal de proyecciones ortogonales por pares, denominada descomposición espectral . Dejar

${\ Displaystyle V _ {\ lambda} = \ {v \ in V: Av = \ lambda v \}}$

ser el espacio propio correspondiente a un valor propio λ . Tenga en cuenta que la definición no depende de ninguna elección de vectores propios específicos. V es la suma directa ortogonal de los espacios V _λ donde el índice varía sobre los valores propios.

En otras palabras, si P _λ denota la proyección ortogonal sobre V _λ , y λ ₁ , ..., λ _m son los valores propios de A , entonces la descomposición espectral se puede escribir como

${\ Displaystyle A = \ lambda _ {1} P _ {\ lambda _ {1}} + \ cdots + \ lambda _ {m} P _ {\ lambda _ {m}}.}$

Si la descomposición espectral de A es , entonces y para cualquier escalar Se sigue que para cualquier polinomio f uno tiene ${\ Displaystyle A = \ lambda _ {1} P_ {1} + \ cdots + \ lambda _ {m} P_ {m}}$${\ Displaystyle A ^ {2} = (\ lambda _ {1}) ^ {2} P_ {1} + \ cdots + (\ lambda _ {m}) ^ {2} P_ {m}}$${\ Displaystyle \ mu A = \ mu \ lambda _ {1} P_ {1} + \ cdots + \ mu \ lambda _ {m} P_ {m}}$${\ Displaystyle \ mu.}$

${\ Displaystyle f (A) = f (\ lambda _ {1}) P_ {1} + \ cdots + f (\ lambda _ {m}) P_ {m}.}$

La descomposición espectral es un caso especial tanto de la descomposición de Schur como de la descomposición de valor singular .

Matrices normales

El teorema espectral se extiende a una clase más general de matrices. Sea A un operador en un espacio de producto interno de dimensión finita. Se dice que A es normal si A ^* A = AA ^* . Se puede demostrar que A es normal si y solo si es unitariamente diagonalizable. Prueba: mediante la descomposición de Schur , podemos escribir cualquier matriz como A = UTU ^* , donde U es unitaria y T es triangular superior. Si A es normal, se ve que el TT ^* = T ^* T . Por lo tanto, T debe ser diagonal ya que una matriz triangular superior normal es diagonal (ver matriz normal ). Lo contrario es obvio.

En otras palabras, A es normal si y solo si existe una matriz unitaria U tal que

${\ Displaystyle A = UDU ^ {*},}$

donde D es una matriz diagonal . A continuación, las entradas de la diagonal de D son los valores propios de A . Los vectores columna de U son los autovectores de A y son ortonormales. A diferencia del caso de Hermitian, las entradas de D no necesitan ser reales.

Operadores compactos autoadjuntos

En el escenario más general de los espacios de Hilbert, que pueden tener una dimensión infinita, el enunciado del teorema espectral para operadores compactos autoadjuntos es prácticamente el mismo que en el caso de dimensión finita.

Teorema . Suponga que A es un operador autoadjunto compacto en un espacio de Hilbert V (real o complejo) . Entonces hay una base ortonormal de V que consta de vectores propios de A . Cada valor propio es real.

En cuanto a las matrices hermitianas, el punto clave es probar la existencia de al menos un vector propio distinto de cero. No se puede confiar en determinantes para mostrar la existencia de valores propios, pero se puede utilizar un argumento de maximización análogo a la caracterización variacional de valores propios.

Si se elimina el supuesto de compacidad, es no cierto que cada operador autoadjunta tiene vectores propios.

Operadores autoadjuntos limitados

Posible ausencia de autovectores

La siguiente generalización que consideramos es la de los operadores autoadjuntos limitados en un espacio de Hilbert. Tales operadores pueden no tener valores propios: por ejemplo, sea A el operador de multiplicación por t on , es decir, ${\ Displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$

${\ Displaystyle [A \ varphi] (t) = t \ varphi (t). \;}$

Este operador no tiene vectores propios en , aunque sí tiene vectores propios en un espacio más grande. Es decir, la distribución , donde está la función delta de Dirac , es un vector propio cuando se interpreta en un sentido apropiado. Sin embargo, la función delta de Dirac no es una función en el sentido clásico y no se encuentra en el espacio de Hilbert L ² [0, 1] ni en ningún otro espacio de Banach . Por tanto, las funciones delta son "vectores propios generalizados" de pero no vectores propios en el sentido habitual. ${\ Displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$ ${\ Displaystyle \ varphi (t) = \ delta (t-t_ {0})}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle A}$

Subespacios espectrales y medidas con valor de proyección

En ausencia de autovectores (verdaderos), se pueden buscar subespacios que consisten casi en autovectores . En el ejemplo anterior, por ejemplo, donde podríamos considerar el subespacio de funciones admitidas en un pequeño intervalo interior . Este espacio es invariante por debajo y para cualquiera en este subespacio, está muy cerca de . En esta aproximación al teorema espectral, si es un operador autoadjunto acotado, se buscan grandes familias de tales "subespacios espectrales". Cada subespacio, a su vez, está codificado por el operador de proyección asociado, y la colección de todos los subespacios se representa mediante una medida con valor de proyección . ${\ Displaystyle [A \ varphi] (t) = t \ varphi (t), \;}$${\ Displaystyle [a, a + \ varepsilon]}$${\ Displaystyle [0,1]}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle A \ varphi}$${\ Displaystyle a \ varphi}$${\ Displaystyle A}$

Una formulación del teorema espectral expresa el operador A como una integral de la función de coordenadas sobre el espectro del operador con respecto a una medida con valores de proyección. ${\ Displaystyle \ sigma (A)}$

${\ Displaystyle A = \ int _ {\ sigma (A)} \ lambda \, dE _ {\ lambda}.}$

Cuando el operador autoadjunto en cuestión es compacto , esta versión del teorema espectral se reduce a algo similar al teorema espectral de dimensión finita anterior, excepto que el operador se expresa como una combinación lineal finita o numerablemente infinita de proyecciones, es decir, la medida consta solo de átomos.

Versión del operador de multiplicación

Una formulación alternativa del teorema espectral dice que todo operador autoadjunto acotado es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación. La importancia de este resultado es que los operadores de multiplicación son fáciles de entender en muchos sentidos.

Teorema . Deje A un operador autoadjunta acotado en un espacio de Hilbert H . Luego hay un espacio de medida ( X , Σ, μ ) y una función medible esencialmente acotada de valor real f en X y un operador unitario U : H → L ² _μ ( X ) tal que

${\ Displaystyle U ^ {*} TU = A,}$

donde T es el operador de multiplicación :

${\ Displaystyle [T \ varphi] (x) = f (x) \ varphi (x).}$

y ${\ Displaystyle \ | T \ | = \ | f \ | _ {\ infty}}$

El teorema espectral es el comienzo de la vasta área de investigación del análisis funcional llamada teoría del operador ; ver también la medida espectral .

También existe un teorema espectral análogo para operadores normales acotados en espacios de Hilbert. La única diferencia en la conclusión es que ahora f puede tener un valor complejo.

Integrales directas

También hay una formulación del teorema espectral en términos de integrales directas . Es similar a la formulación del operador de multiplicación, pero más canónica.

Sea un operador autoadjunto acotado y sea ​​el espectro de . La formulación de integral directa del teorema espectral asocia dos cantidades a . Primero, una medida en , y segundo, una familia de espacios de Hilbert Luego formamos el espacio de Hilbert integral directo ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ sigma (A)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ sigma (A)}$${\ Displaystyle \ {H _ {\ lambda} \}, \, \, \ lambda \ in \ sigma (A).}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R}} ^ {\ oplus} H _ {\ lambda} \, d \ mu (\ lambda).}$

Los elementos de este espacio son funciones (o "secciones") tales que para todos . La versión integral directa del teorema espectral se puede expresar de la siguiente manera: ${\ Displaystyle s (\ lambda), \, \, \ lambda \ in \ sigma (A),}$${\ Displaystyle s (\ lambda) \ en H _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ lambda}$

Teorema. Si es un operador autoadjunto acotado, entonces es unitariamente equivalente al operador "multiplicación por " en ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ lambda}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R}} ^ {\ oplus} H _ {\ lambda} \, d \ mu (\ lambda)}$

en cierta medida y en alguna familia de espacios Hilbert. La medida está determinada de forma única por la equivalencia de la teoría de la medida; es decir, dos medidas cualesquiera asociadas a la misma tienen los mismos conjuntos de medida cero. Las dimensiones de los espacios de Hilbert están determinadas unívocamente por hasta un conjunto de -medida cero. ${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ {H _ {\ lambda} \}}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mu}$

Los espacios se pueden considerar como algo así como " espacios propios" para . Sin embargo, tenga en cuenta que, a menos que el conjunto de un elemento tenga una medida positiva, el espacio no es en realidad un subespacio de la integral directa. Por lo tanto, los 'deben considerarse como "espacio propio generalizado", es decir, los elementos de son "vectores propios" que en realidad no pertenecen al espacio de Hilbert. ${\ Displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle A}$${\ displaystyle {\ lambda}}$${\ Displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle H _ {\ lambda}}$

Aunque tanto el operador de multiplicación como las formulaciones integrales directas del teorema espectral expresan un operador autoadjunto como unitariamente equivalente a un operador de multiplicación, el enfoque integral directo es más canónico. Primero, el conjunto sobre el cual tiene lugar la integral directa (el espectro del operador) es canónico. En segundo lugar, la función por la que estamos multiplicando es canónica en el enfoque integral directo: simplemente la función . ${\ Displaystyle \ lambda \ mapsto \ lambda}$

Vectores cíclicos y espectro simple

Un vector se denomina un vector cíclico para si los vectores abarcan un subespacio denso del espacio de Hilbert. Supongamos que es un operador autoadjunto acotado para el que existe un vector cíclico. En ese caso, no hay distinción entre las formulaciones de operador de multiplicación y integral directa del teorema espectral. De hecho, en ese caso, hay una medida en el espectro de tal que es unitariamente equivalente al operador "multiplicación por " en . Este resultado se representa simultáneamente como un operador de multiplicación y como una integral directa, ya que es solo una integral directa en la que cada espacio de Hilbert es justo . ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ varphi, A \ varphi, A ^ {2} \ varphi, \ ldots}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle \ sigma (A)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ sigma (A), \ mu)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ sigma (A), \ mu)}$${\ Displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

No todos los operadores autoadjuntos acotados admiten un vector cíclico; de hecho, por la unicidad en la descomposición integral directa, esto puede ocurrir solo cuando todos los 'tienen dimensión uno. Cuando esto sucede, decimos que tiene "espectro simple" en el sentido de la teoría de la multiplicidad espectral . Es decir, un operador autoadjunto acotado que admite un vector cíclico debe considerarse como la generalización de dimensión infinita de una matriz autoadjunta con valores propios distintos (es decir, cada valor propio tiene multiplicidad uno). ${\ Displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle A}$

Aunque no todos admiten un vector cíclico, es fácil ver que podemos descomponer el espacio de Hilbert como una suma directa de subespacios invariantes en los que hay un vector cíclico. Esta observación es la clave para las demostraciones del operador de multiplicación y las formas de integral directa del teorema espectral. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$

Cálculo funcional

Una aplicación importante del teorema espectral (en cualquier forma) es la idea de definir un cálculo funcional . Es decir, dada una función definida en el espectro de , deseamos definir un operador . Si es simplemente una potencia positiva, y, a continuación es sólo el poder de , . Los casos interesantes son dónde hay una función no polinomial, como una raíz cuadrada o una exponencial. Cualquiera de las versiones del teorema espectral proporciona tal cálculo funcional. En la versión integral directa, por ejemplo, actúa como el operador de "multiplicación por " en la integral directa: ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle f (A)}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (x) = x ^ {n}}$${\ Displaystyle f (A)}$${\ Displaystyle n \ mathrm {th}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A ^ {n}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f (A)}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle [f (A) s] (\ lambda) = f (\ lambda) s (\ lambda)}$.

Es decir, cada espacio en la integral directa es un autoespacio (generalizado) para con autovalor . ${\ Displaystyle H _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle f (A)}$${\ Displaystyle f (\ lambda)}$

Operadores generales autoadjuntos

Muchos operadores lineales importantes que ocurren en el análisis , como los operadores diferenciales , son ilimitados. También existe un teorema espectral para operadores autoadjuntos que se aplica en estos casos. Para dar un ejemplo, cada operador diferencial de coeficiente constante es unitariamente equivalente a un operador de multiplicación. De hecho, el operador unitario que implementa esta equivalencia es la transformada de Fourier ; el operador de multiplicación es un tipo de multiplicador de Fourier .

En general, el teorema espectral para operadores autoadjuntos puede tomar varias formas equivalentes. En particular, todas las formulaciones dadas en la sección anterior para los operadores autoadjuntos limitados (la versión de medida con valor de proyección, la versión del operador de multiplicación y la versión integral directa) continúan siendo válidas para los operadores autoadjuntos ilimitados, con pequeñas modificaciones técnicas para hacer frente a problemas de dominio.

Ver también

• Teorema de Hahn-Hellinger
• Teoría espectral de operadores compactos
• Teoría espectral de las C * -álgebras normales
• Cálculo funcional Borel
• Teoría espectral
• Descomposición de la matriz
• Forma canónica
• Descomposición de Jordan , de la cual la descomposición espectral es un caso especial.
• Descomposición de valores singulares , una generalización del teorema espectral a matrices arbitrarias.
• Descomposición propia de una matriz
• Teorema de Wiener-Khinchin

Notas

Referencias

• Sheldon Axler , Álgebra lineal bien hecha , Springer Verlag, 1997
• Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer, ISBN 978-1461471158
• Paul Halmos , "¿Qué dice el teorema espectral?" , American Mathematical Monthly , volumen 70, número 3 (1963), páginas 241–247 Otro enlace
• M. Reed y B. Simon , Methods of Mathematical Physics , vols I-IV, Academic Press 1972.
• G. Teschl , Métodos matemáticos en mecánica cuántica con aplicaciones a operadores de Schrödinger , https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ , American Mathematical Society, 2009.
• Valter Moretti (2018). Teoría espectral y mecánica cuántica; Fundamentos matemáticos de las teorías cuánticas, simetrías e introducción a la formulación algebraica 2ª edición . Saltador. ISBN 978-3-319-70705-1.