Espacio interior del producto - Inner product space

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {0}, x \ rangle = 0}$

Para cada vector

${\ Displaystyle \ operatorname {Re} z}$

${\ Displaystyle z.}$

La simetría y linealidad conjugadas en la primera variable implican linealidad conjugada , también conocida como antilinealidad , en el segundo argumento; explícitamente, esto significa que para cualquier vector y cualquier escalar${\ Displaystyle x, y, z}$${\ Displaystyle s,}$

${\ Displaystyle \ langle x, sy \ rangle = {\ overline {s}} \ langle x, y \ rangle \ qquad {\ text {y}} \ qquad \ langle x, y + z \ rangle = \ langle x, y \ rangle + \ langle x, z \ rangle.}$

( Antilinealidad en el segundo argumento )

Esto muestra que cada producto interno es también una forma sesquilínea y que los productos internos son aditividad en cada argumento, lo que significa que para todos los vectores${\ Displaystyle x, y, z:}$

${\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} & {\ text {Aditividad en el primer argumento:}} && \ quad \ langle x + y, z \ rangle && = \ langle x, z \ rangle + \ langle y , z \ rangle \\ & {\ text {Aditividad en el segundo argumento:}} && \ quad \ langle x, y + z \ rangle && = \ langle x, y \ rangle + \ langle x, z \ rangle \ end {alineado}}}$

La aditividad en cada argumento implica la siguiente generalización importante de la familiar expansión del cuadrado:

$${\ displaystyle {\ begin {alignedat} {4} \ langle x + y, x + y \ rangle & = \ langle x, x \ rangle + \ langle x, y \ rangle + \ langle y, x \ rangle + \ langle y, y \ rangle \\ & = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle \\ & = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 \ operatorname {Re} \ langle y, x \ rangle \\\ end {alignedat}}}$$

${\ Displaystyle \ | x \ | ^ {2}: = \ langle x, x \ rangle.}$

En el caso de la

${\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R},}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ overline {\ langle y, x \ rangle}}}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle y, x \ rangle}$

${\ Displaystyle \ mathbb {F} = \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ langle y, x \ rangle}$

( Simetría )

y la expansión binomial se convierte en:

$${\ Displaystyle \ langle x + y, x + y \ rangle = \ langle x, x \ rangle +2 \ langle x, y \ rangle + \ langle y, y \ rangle.}$$

Definiciones, notaciones y comentarios alternativos

Un caso especial común del producto interno, el producto escalar o producto punto , se escribe con un punto centrado${\ Displaystyle a \ cdot b.}$

Algunos autores, especialmente en física y álgebra matricial , prefieren definir el producto interno y la forma sesquilínea con linealidad en el segundo argumento en lugar del primero. Entonces, el primer argumento se vuelve lineal conjugado, en lugar del segundo. En esas disciplinas, escribiríamos el producto interno como (la

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle y \ | \ x \ rangle}$

${\ Displaystyle y ^ {\ dagger} x}$

${\ Displaystyle AB,}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle V,}$

${\ Displaystyle V ^ {*},}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle y.}$

${\ Displaystyle \ langle \, \ cdot \ ,, \, \ cdot \, \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle \, \ cdot \ | \ \ cdot \, \ rangle}$

Hay varias razones técnicas por las que es necesario restringir el campo de base a y en la definición. Brevemente, el campo base debe contener un

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C},}$

En algunos casos, es necesario considerar no negativos semi-definidas formas sesquilinear. Esto significa que solo se requiere que sea no negativo. El tratamiento para estos casos se ilustra a continuación. ${\ Displaystyle \ langle x, x \ rangle}$

Algunos ejemplos

Números reales y complejos

Entre los ejemplos más simples de espacios de productos internos se encuentran y Los

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

$${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle: = xy \ quad {\ text {para}} x, y \ in \ mathbb {R}.}$$

Los números complejos son un espacio vectorial que se convierte en un espacio de producto interno complejo cuando está dotado del producto interno complejo. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

$${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle: = x {\ overline {y}} \ quad {\ text {para}} x, y \ in \ mathbb {C}.}$$

${\ displaystyle (x, y) \ mapsto xy}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C}.}$

Espacio vectorial euclidiano

De manera más general, el

${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ left \ langle {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} y_ {1} \\\ vdots \\ y_ {n} \ end {bmatrix}} \ right \ rangle = x ^ {\ textsf {T}} y = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1 } y_ {1} + \ cdots + x_ {n} y_ {n},}$

¿Dónde está la

${\ displaystyle x ^ {\ operatorname {T}}}$

${\ Displaystyle x.}$

Espacio de coordenadas complejo

La forma general de un producto interno se conoce como

${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle y ^ {\ dagger}}$

${\ Displaystyle y.}$

Espacio Hilbert

El artículo sobre espacios de Hilbert tiene varios ejemplos de espacios de productos internos, en los que la métrica inducida por el producto interno da como resultado un espacio métrico completo . Un ejemplo de un espacio de producto interno que induce una métrica incompleta es el espacio de funciones continuas valoradas complejas y en el intervalo El producto interno es ${\ Displaystyle C ([a, b])}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle [a, b].}$

$${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (t) {\ overline {g (t)}} \, \ mathrm {d} t.}$$

${\ Displaystyle \ {f_ {k} \} _ {k},}$

$${\ Displaystyle f_ {k} (t) = {\ begin {cases} 0 & t \ in [-1,0] \\ 1 & t \ in \ left [{\ tfrac {1} {k}}, 1 \ right] \ \ kt & t \ in \ left (0, {\ tfrac {1} {k}} \ right) \ end {cases}}}$$

Esta secuencia es una secuencia de Cauchy para la norma inducida por el producto interno anterior, que no converge a una función continua .

Variables aleatorias

Para variables aleatorias reales y el

${\ Displaystyle \ langle X, X \ rangle = 0}$

${\ Displaystyle \ Pr (X = 0) = 1}$

${\ Displaystyle X = 0}$

${\ Displaystyle \ Pr}$

Matrices reales

Para matrices cuadradas reales del mismo tamaño, con transposición como conjugación ${\ Displaystyle \ langle A, B \ rangle: = \ operatorname {tr} \ left (AB ^ {\ textsf {T}} \ right)}$

$${\ Displaystyle \ left (\ langle A, B \ rangle = \ left \ langle B ^ {\ textsf {T}}, A ^ {\ textsf {T}} \ right \ rangle \ right)}$$

Espacios vectoriales con formas

En un espacio de producto interno, o más generalmente un espacio vectorial con una forma no degenerada (de ahí un isomorfismo ), los vectores se pueden enviar a covectors (en coordenadas, vía transposición), de modo que uno puede tomar el producto interno y el producto externo de dos vectores. —No simplemente de un vector y un covector. ${\ Displaystyle V \ a V ^ {*}}$

Resultados básicos, terminología y definiciones

Norma

Cada espacio de producto interno induce una norma , llamada sunorma canónica , que se define por

$${\ Displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}.}$$

Como para todo espacio vectorial normado, un espacio de producto interno es un espacio métrico , para la distancia definida por

$${\ Displaystyle d (x, y) = \ | yx \ |.}$$

Homogeneidad

Para un vector y un escalar${\ Displaystyle x \ in V}$${\ Displaystyle s}$

$${\ Displaystyle \ | sx \ | = | s | \, \ | x \ |.}$$

Desigualdad triangular

Para vectores ${\ Displaystyle x, y \ in V}$

$${\ estilo de visualización \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.}$$

Estas dos propiedades muestran que uno tiene una norma.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Para vectores ${\ Displaystyle x, y \ in V}$

$${\ Displaystyle | \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \, \ | y \ |}$$

con igualdad si y solo si y son

${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$

${\ Displaystyle \ left \ langle x_ {j}, x_ {k} \ right \ rangle = 0}$

${\ Displaystyle j \ neq k}$

$${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ | x_ {i} \ | ^ {2} = \ left \ | \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right \ | ^ {2}.}$$

Para todos ${\ Displaystyle x, y \ en V,}$

$${\ Displaystyle \ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2}.}$$

La ley del paralelogramo es, de hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de un producto interno correspondiente a una norma dada.

Para todos ${\ Displaystyle x, y, z \ in V,}$

$${\ estilo de visualización \ | xy \ | \ | z \ | + \ | yz \ | \ | x \ | \ geq \ | xz \ | \ | y \ |.}$$

La desigualdad de Ptolomeo es, de hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de un producto interno correspondiente a una norma dada. En detalle, Isaac Jacob Schoenberg demostró en 1952 que, dado cualquier espacio seminormado real, si su seminorma es ptolemaico, entonces el seminorma es la norma asociada con un producto interno.

Partes reales y complejas de productos internos.

Supongamos que es un producto interno en (por lo que es antilineal en su segundo argumento). La

${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ Displaystyle V}$

$${\ Displaystyle \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} \Derecha).}$$

Si es un espacio vectorial real entonces ${\ Displaystyle V}$

$${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} \ right)}$$

${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

Suponga para el resto de esta sección que es un espacio vectorial complejo. La

${\ Displaystyle V}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {4} \ langle x, \ y \ rangle & = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} + i \ | x + iy \ | ^ {2} -i \ | x-iy \ | ^ {2} \ right) \\ & = \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle + i \ operatorname {Re} \ langle x, iy \ rangle. \\\ end {alignedat}}}$

El mapa definido por para todos satisface los axiomas del producto interno excepto que es antilineal en su

${\ Displaystyle \ langle x \ mid y \ rangle = \ langle y, x \ rangle}$

${\ Displaystyle x, y \ in V}$

${\ Displaystyle \ langle x \ mid y \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} {4} \ langle x \ mid y \ rangle & = {\ frac {1} {4}} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} -i \ | x + iy \ | ^ {2} + i \ | x-iy \ | ^ {2} \ right) \\ & = \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle -i \ operatorname {Re} \ langle x, iy \ rangle. \\\ end {alignedat}}}$

La última igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real.

Productos internos reales frente a complejos

Deje denotan considerado como un espacio vectorial sobre los números reales en lugar de los números complejos. La

${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {R}}}$

${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {\ mathbb {R}} = \ operatorname {Re} \ langle x, y \ rangle ~: ~ V _ {\ mathbb {R}} \ times V _ {\ mathbb {R }} \ to \ mathbb {R},}$

${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {R}}.}$

Por ejemplo, si con el producto interno donde es un espacio vectorial sobre el campo, entonces es un espacio vectorial encima y es el

${\ Displaystyle V = \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = x {\ overline {y}},}$

${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C},}$

${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {R}} = \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {\ mathbb {R}}}$

${\ Displaystyle x \ cdot y,}$

${\ Displaystyle x = a + ib \ in V = \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle (a, b) \ in V _ {\ mathbb {R}} = \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ Displaystyle y}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = xy}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = x {\ overline {y}}}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {\ mathbb {R}}}$

${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle x \ not \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ langle x, x \ rangle = xx = x ^ {2} \ not \ in [0, \ infty)}$

${\ Displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}}$

Los siguientes ejemplos muestran que aunque los productos internos reales y complejos tienen muchas propiedades y resultados en común, no son del todo intercambiables. Por ejemplo, si entonces, pero el siguiente ejemplo muestra que lo contrario en general

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = 0}$

${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle _ {\ mathbb {R}} = 0,}$

${\ Displaystyle x \ in V,}$

${\ Displaystyle ix}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {R}}}$

${\ Displaystyle x}$

${\ Displaystyle i = {\ sqrt {-1}}}$

${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {R}},}$

${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle ix}$

${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {R}}}$

${\ Displaystyle \ langle x, ix \ rangle = -i \ | x \ | ^ {2},}$

${\ Displaystyle \ langle x, ix \ rangle _ {\ mathbb {R}} = 0.}$

Si tiene el producto interno mencionado anteriormente, entonces el mapa definido por es un mapa lineal distinto de cero (lineal para ambos y ) que denota rotación por en el plano. Este mapa satisface todos los vectores donde este producto interno hubiera sido complejo en lugar de real, entonces esto habría sido suficiente para concluir que este mapa lineal es idéntico (es decir, eso ), cuya rotación ciertamente no lo es. Por el contrario, para todos los distintos de cero, el mapa satisface${\ Displaystyle V = \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle A: V \ a V}$${\ Displaystyle Ax = ix}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle V _ {\ mathbb {R}}}$${\ Displaystyle 90 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle \ langle x, Ax \ rangle _ {\ mathbb {R}} = 0}$${\ Displaystyle x \ in V _ {\ mathbb {R}},}$${\ Displaystyle A}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle A = 0}$${\ Displaystyle x \ in V,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ langle x, Ax \ rangle = -i \ | x \ | ^ {2} \ neq 0.}$

Secuencias ortonormales

Sea un espacio producto interno de dimensión finita de dimensión. Recuerde que cada

${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle n.}$

${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ {e_ {1}, \ ldots, e_ {n} \}}$

${\ Displaystyle \ langle e_ {i}, e_ {j} \ rangle = 0}$

${\ Displaystyle i \ neq j}$

${\ Displaystyle \ langle e_ {i}, e_ {i} \ rangle = \ | e_ {a} \ | ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle i.}$

Esta definición de base ortonormal se generaliza al caso de espacios de productos internos de dimensión infinita de la siguiente manera. Sea cualquier espacio de producto interior. Entonces una colección ${\ Displaystyle V}$

$${\ Displaystyle E = \ left \ {e _ {\ alpha} \ right \} _ {\ alpha \ in A}}$$

${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle V}$

${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle V}$

$${\ Displaystyle \ left \ langle e _ {\ alpha}, e _ {\ beta} \ right \ rangle = 0}$$

${\ Displaystyle a \ neq b}$

${\ Displaystyle \ langle e_ {a}, e_ {a} \ rangle = \ | e_ {a} \ | ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle a, b \ in A.}$

Usando un análogo de dimensión infinita del proceso de Gram-Schmidt, se puede mostrar:

Teorema. Cualquier espacio interior de producto

Utilizando el principio máximo de Hausdorff y el hecho de que en un espacio de producto interno completo la proyección ortogonal sobre subespacios lineales está bien definida, también se puede demostrar que

Teorema. Cualquier espacio interior de producto completo tiene una base ortonormal.

Los dos teoremas anteriores plantean la cuestión de si todos los espacios de productos internos tienen una base ortonormal. La respuesta resulta negativa. Este es un resultado no trivial y se demuestra a continuación. La siguiente prueba está tomada del Libro de problemas espaciales de

Prueba

Recuerde que la dimensión de un espacio de producto interno es la cardinalidad de un sistema ortonormal máximo que contiene (según el lema de Zorn , contiene al menos uno y dos cualesquiera tienen la misma cardinalidad). Una base ortonormal es sin duda un sistema ortonormal máximo, pero lo contrario no tiene por qué ser así en general. Si es un subespacio denso de un espacio de producto interno, entonces cualquier base ortonormal para es automáticamente una base ortonormal para Por lo tanto, es suficiente construir un espacio de producto interno con un subespacio denso cuya dimensión es estrictamente menor que la de${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle V,}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle V.}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle V.}$ Sea un espacio de dimensión de Hilbert (por ejemplo, ). Sea una base ortonormal de así Extender a una base de Hamel para donde Dado que se sabe que la dimensión de Hamel de es la cardinalidad del continuo, debe ser que${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle \ aleph _ {0}.}$${\ Displaystyle K = \ ell ^ {2} (\ mathbb {N})}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle K,}$${\ Displaystyle | E | = \ aleph _ {0}.}$${\ Displaystyle E}$ ${\ Displaystyle E \ cup F}$${\ Displaystyle K,}$${\ Displaystyle E \ cap F = \ varnothing.}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle c,}$${\ Displaystyle | F | = c.}$ Sea un espacio de dimensión de Hilbert (por ejemplo, ). Sea una base ortonormal para y sea ​​una biyección. Luego hay una transformación lineal tal que para y para . ${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle L = \ ell ^ {2} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle L}$${\ Displaystyle \ varphi: F \ to B}$${\ Displaystyle T: K \ a L}$${\ Displaystyle Tf = \ varphi (f)}$${\ Displaystyle f \ in F,}$${\ displaystyle Te = 0}$${\ Displaystyle e \ in E}$ Sea y sea ​​la gráfica de Sea el cierre de in ; mostraremos Ya que para cualquiera que tengamos se deduce que${\ Displaystyle V = K \ oplus L}$${\ Displaystyle G = \ {(k, Tk): k \ in K \}}$${\ Displaystyle T.}$${\ Displaystyle {\ overline {G}}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle {\ overline {G}} = V.}$${\ Displaystyle e \ in E}$${\ displaystyle (e, 0) \ en G,}$${\ Displaystyle K \ oplus 0 \ subseteq {\ overline {G}}.}$ A continuación, si se hace algún modo ; ya que también, también tenemos Se sigue que así y es denso en${\ Displaystyle b \ in B,}$${\ Displaystyle b = Tf}$${\ Displaystyle f \ in F \ subseteq K,}$${\ Displaystyle (f, b) \ in G \ subseteq {\ overline {G}}}$${\ displaystyle (f, 0) \ in {\ overline {G}}}$${\ displaystyle (0, b) \ in {\ overline {G}}.}$${\ Displaystyle 0 \ oplus L \ subseteq {\ overline {G}},}$${\ Displaystyle {\ overline {G}} = V,}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle V.}$ Finalmente, se establece un máximo ortonormal ; si ${\ Displaystyle \ {(e, 0): e \ in E \}}$${\ Displaystyle G}$ $${\ Displaystyle 0 = \ langle (e, 0), (k, Tk) \ rangle = \ langle e, k \ rangle + \ langle 0, Tk \ rangle = \ langle e, k \ rangle}$$ para todos, entonces también lo es el vector cero en Por lo tanto, la dimensión de es mientras que está claro que la dimensión de es Esto completa la demostración. ${\ Displaystyle e \ in E}$${\ Displaystyle k = 0,}$${\ Displaystyle (k, Tk) = (0,0)}$${\ Displaystyle G.}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle | E | = \ aleph _ {0},}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle c.}$

La identidad de Parseval conduce inmediatamente al siguiente teorema:

Teorema. Sea un espacio de producto interno separable y una base ortonormal de Entonces el mapa ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ left \ {e_ {k} \ right \} _ {k}}$${\ Displaystyle V.}$

$${\ Displaystyle x \ mapsto {\ bigl \ {} \ langle e_ {k}, x \ rangle {\ bigr \}} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$$

${\ Displaystyle V \ mapsto \ ell ^ {2}}$

Este teorema se puede considerar como una forma abstracta de la serie de

${\ Displaystyle \ ell ^ {2}}$

Teorema. Sea el espacio interior del producto Luego la secuencia (indexada en el conjunto de todos los enteros) de funciones continuas ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle C [- \ pi, \ pi].}$

$${\ Displaystyle e_ {k} (t) = {\ frac {e ^ {ikt}} {\ sqrt {2 \ pi}}}}$$

${\ Displaystyle C [- \ pi, \ pi]}$

${\ Displaystyle L ^ {2}}$

$${\ Displaystyle f \ mapsto {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ left \ {\ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) e ^ {- ikt} \ , \ mathrm {d} t \ right \} _ {k \ in \ mathbb {Z}}}$$

La ortogonalidad de la secuencia se deriva inmediatamente del hecho de que si entonces ${\ Displaystyle \ {e_ {k} \} _ {k}}$${\ Displaystyle k \ neq j,}$

$${\ Displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {- i (jk) t} \, \ mathrm {d} t = 0.}$$

La normalidad de la secuencia es por diseño, es decir, los coeficientes se eligen de modo que la norma resulte en 1. Finalmente, el hecho de que la secuencia tenga un intervalo algebraico denso, en la norma del producto interno , se sigue del hecho de que la secuencia tiene un lapso algebraico denso, esta vez en el espacio de funciones periódicas continuas con la norma uniforme. Este es el contenido del

${\ Displaystyle [- \ pi, \ pi]}$

Operadores en espacios interiores de productos

Hay varios tipos de mapas lineales entre los espacios de productos internos y son de relevancia: ${\ Displaystyle A: V \ a W}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$

• Mapas lineales continuos :es lineal y continuo con respecto a la métrica definida anteriormente, o de manera equivalente,es lineal y el conjunto de reales no negativosdonde losrangos sobre la bola unitaria cerrada deestá acotado.${\ Displaystyle A: V \ a W}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ {\ | Ax \ |: \ | x \ | \ leq 1 \},}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle V,}$
• Operadores lineales simétricos : es lineal y para todos${\ Displaystyle A: V \ a W}$${\ Displaystyle \ langle Ax, y \ rangle = \ langle x, Ay \ rangle}$${\ Displaystyle x, y \ en V.}$
• Isometrías : es lineal y para todos o equivalentemente, es lineal y para todos Todas las isometrías son