Polinomio característico - Characteristic polynomial

${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ Displaystyle \ lambda IA}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ det (\ lambda IA),}$

${\ Displaystyle \ lambda.}$

Definicion formal

Considere una matriz El polinomio característico de denotado por es el polinomio definido por ${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle A.}$${\ Displaystyle A,}$${\ Displaystyle p_ {A} (t),}$

$${\ Displaystyle p_ {A} (t) = \ det (tI-A)}$$

${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle n \ times n}$

Algunos autores definen el polinomio característico como Ese polinomio se diferencia del definido aquí por un signo, por lo que no hay diferencia para propiedades como tener como raíces los valores propios de ; sin embargo, la definición anterior siempre da un

${\ Displaystyle \ det (A-tI).}$

${\ Displaystyle (-1) ^ {n},}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle n}$

Ejemplos de

Calcular el polinomio característico de la matriz

$${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 2 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}$$

$${\ Displaystyle tI-A = {\ begin {pmatrix} t-2 & -1 \\ 1 & t-0 \ end {pmatrix}}}$$

${\ Displaystyle (t-2) t-1 (-1) = t ^ {2} -2t + 1 \, \ !,}$

${\ Displaystyle A.}$

Otro ejemplo usa funciones hiperbólicas de un ángulo hiperbólico φ. Para la matriz, toma

$${\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \ cosh (\ varphi) & \ sinh (\ varphi) \\\ sinh (\ varphi) & \ cosh (\ varphi) \ end {pmatrix}}.}$$

$${\ Displaystyle \ det (tI-A) = (t- \ cosh (\ varphi)) ^ {2} - \ sinh ^ {2} (\ varphi) = t ^ {2} -2t \ \ cosh (\ varphi ) + 1 = (te ^ {\ varphi}) (te ^ {- \ varphi}).}$$

Propiedades

El polinomio característico de una matriz es monico (su coeficiente principal es ) y su grado es El hecho más importante sobre el polinomio característico ya se mencionó en el párrafo motivacional: los valores propios de son precisamente las

${\ Displaystyle p_ {A} (t)}$

${\ Displaystyle n \ times n}$

${\ Displaystyle 1}$

${\ Displaystyle n.}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle p_ {A} (t)}$

${\ Displaystyle A,}$

${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle p_ {A} (0)}$

${\ Displaystyle \ det (-A) = (- 1) ^ {n} \ det (A),}$

${\ Displaystyle t ^ {n}}$

${\ Displaystyle t ^ {n-1}}$

${\ Displaystyle A.}$

${\ Displaystyle \ det (A)}$

Para una matriz, el polinomio característico viene dado por ${\ Displaystyle 2 \ times 2}$${\ Displaystyle A,}$

$${\ Displaystyle t ^ {2} - \ operatorname {tr} (A) t + \ det (A).}$$

Usando el lenguaje del álgebra exterior , el polinomio característico de una matriz puede expresarse como ${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle A}$

$${\ Displaystyle p_ {A} (t) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} t ^ {nk} (- 1) ^ {k} \ operatorname {tr} \ left (\ textstyle \ bigwedge ^ { k} A \ right)}$$

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ textstyle \ bigwedge ^ {k} A \ right)}$

${\ Displaystyle k}$

${\ Displaystyle A,}$

${\ Displaystyle {\ binom {n} {k}}.}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle k.}$

Cuando la característica del campo de los coeficientes es, cada uno de estos trazos puede calcularse alternativamente como un único determinante, el de la matriz, ${\ Displaystyle 0,}$${\ Displaystyle k \ times k}$

$${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ textstyle \ bigwedge ^ {k} A \ right) = {\ frac {1} {k!}} {\ begin {vmatrix} \ operatorname {tr} A & k-1 & 0 & \ cdots & \\\ operatorname {tr} A ^ {2} & \ operatorname {tr} A & k-2 & \ cdots & \\\ vdots & \ vdots && \ ddots & \ vdots \\\ operatorname {tr} A ^ {k -1} & \ operatorname {tr} A ^ {k-2} && \ cdots & 1 \\\ operatorname {tr} A ^ {k} & \ operatorname {tr} A ^ {k-1} && \ cdots & \ nombre de operador {tr} A \ end {vmatrix}} ~.}$$

El teorema de Cayley-Hamilton establece que reemplazar por en el polinomio característico (interpretando las potencias resultantes como potencias de la matriz y el término constante como multiplicado por la matriz identidad) produce la matriz cero. Hablando informalmente, cada matriz satisface su propia ecuación característica. Esta afirmación equivale a decir que el

${\ Displaystyle t}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle c}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle A.}$

Dos matrices similares tienen el mismo polinomio característico. Sin embargo, lo contrario no es cierto en general: dos matrices con el mismo polinomio característico no necesitan ser similares.

La matriz y su

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle K}$

${\ Displaystyle A}$

Polinomio característico de un producto de dos matrices

Si y son dos matrices cuadradas, entonces los polinomios característicos de y coinciden: ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle AB}$${\ displaystyle BA}$

$${\ Displaystyle p_ {AB} (t) = p_ {BA} (t). \,}$$

Cuando

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle AB}$

${\ displaystyle BA}$

$${\ Displaystyle BA = A ^ {- 1} (AB) A.}$$

Para el caso donde ambos y son singulares, la identidad deseada es una igualdad entre los polinomios en y los coeficientes de las matrices. Así, para demostrar esta igualdad, basta con demostrar que se verifica en un

${\ Displaystyle A}$

${\ Displaystyle B}$

${\ Displaystyle t}$

De manera más general, si es una matriz de orden y es una matriz de orden, entonces es y es matriz, y uno tiene ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle m \ times n}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle n \ times m,}$${\ Displaystyle AB}$${\ Displaystyle m \ times m}$${\ displaystyle BA}$${\ Displaystyle n \ times n}$

$${\ Displaystyle p_ {BA} (t) = t ^ {nm} p_ {AB} (t). \,}$$

Para probar esto, se puede suponer intercambiando, si es necesario, y luego, al bordear la parte inferior con filas de ceros, y a la derecha, con columnas de ceros, se obtienen dos matrices y tal que y es igual a bordeado por filas y columnas de ceros. El resultado se deriva del caso de matrices cuadradas, al comparar los polinomios característicos de y${\ Displaystyle n> m,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B.}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle nm}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle nm}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle A ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle B ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle B ^ {\ prime} A ^ {\ prime} = BA}$${\ Displaystyle A ^ {\ prime} B ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle AB}$${\ Displaystyle nm}$${\ Displaystyle A ^ {\ prime} B ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle AB.}$

Polinomio característico de A ^k

Si es un autovalor de una matriz cuadrada con autovector, entonces claramente es un autovalor de${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbf {v},}$${\ Displaystyle \ lambda ^ {k}}$${\ Displaystyle A ^ {k}}$

$${\ Displaystyle A ^ {k} {\ textbf {v}} = A ^ {k-1} A {\ textbf {v}} = \ lambda A ^ {k-1} {\ textbf {v}} = \ puntos = \ lambda ^ {k} {\ textbf {v}}.}$$

También se puede demostrar que las multiplicidades concuerdan, y esto se generaliza a cualquier polinomio en lugar de : ${\ Displaystyle x ^ {k}}$

Teorema  -  Sea una matriz cuadrada y sea ​​un polinomio. Si el polinomio característico de tiene una factorización ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle f (t)}$${\ Displaystyle A}$

$${\ Displaystyle p_ {A} (t) = (t- \ lambda _ {1}) (t- \ lambda _ {2}) \ cdots (t- \ lambda _ {n})}$$

entonces el polinomio característico de la matriz viene dado por ${\ Displaystyle f (A)}$

$${\ displaystyle p_ {f (A)} (t) = (tf (\ lambda _ {1})) (tf (\ lambda _ {2})) \ cdots (tf (\ lambda _ {n})). }$$

Es decir, la multiplicidad algebraica de in es igual a la suma de multiplicidades algebraicas de in sobre tal que En particular, y aquí un polinomio, por ejemplo, se evalúa en una matriz simplemente como${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle f (A)}$${\ Displaystyle \ lambda '}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ lambda '}$${\ Displaystyle f (\ lambda ') = \ lambda.}$${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (f (A)) = \ textstyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ lambda _ {i})}$${\ Displaystyle \ operatorname {det} (f (A)) = \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} f (\ lambda _ {i}).}$${\ Displaystyle f (t) = t ^ {3} +1,}$${\ Displaystyle A}$${\ displaystyle f (A) = A ^ {3} +1.}$

El teorema se aplica a matrices y polinomios sobre cualquier campo o anillo conmutativo . Sin embargo, la suposición de que tiene una factorización en factores lineales no siempre es cierta, a menos que la matriz esté sobre un

${\ Displaystyle p_ {A} (t)}$

Prueba

Esta prueba solo se aplica a matrices y polinomios sobre números complejos (o cualquier campo algebraicamente cerrado). En ese caso, el polinomio característico de cualquier matriz cuadrada siempre se puede factorizar como $${\ Displaystyle p_ {A} (t) = \ left (t- \ lambda _ {1} \ right) \ left (t- \ lambda _ {2} \ right) \ cdots \ left (t- \ lambda _ { n} \ right)}$$ donde están los valores propios de posiblemente repetidos. Además, el teorema de descomposición de Jordan garantiza que cualquier matriz cuadrada se puede descomponer como donde es una matriz invertible y es triangular superior con en la diagonal (con cada valor propio repetido de acuerdo con su multiplicidad algebraica). (La forma normal de Jordan tiene propiedades más fuertes, pero estas son suficientes; alternativamente, se puede usar la descomposición de Schur , que es menos popular pero algo más fácil de probar). ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$${\ Displaystyle A,}$${\ Displaystyle A}$${\ displaystyle A = S ^ {- 1} EE. UU.,}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$ Deja entonces ${\ Displaystyle f (t) = \ textstyle \ sum _ {i} \ alpha _ {i} t ^ {i}.}$ $${\ Displaystyle f (A) = \ textstyle \ sum \ alpha _ {i} (S ^ {- 1} US) ^ {i} = \ textstyle \ sum \ alpha _ {i} S ^ {- 1} USS ^ {-1} US \ cdots S ^ {- 1} US = \ textstyle \ sum \ alpha _ {i} S ^ {- 1} U ^ {i} S = S ^ {- 1} (\ textstyle \ sum \ alpha _ {i} U ^ {i}) S = S ^ {- 1} f (U) S.}$$ Para una matriz triangular superior con diagonal, la matriz es triangular superior con diagonal hacia adentro y, por lo tanto, es triangular superior con diagonal. Por lo tanto, los valores propios de son Dado que es similar a tiene los mismos valores propios, con las mismas multiplicidades algebraicas. ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ dots, \ lambda _ {n},}$${\ Displaystyle U ^ {i}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {1} ^ {i}, \ dots, \ lambda _ {n} ^ {i}}$${\ Displaystyle U ^ {i},}$${\ Displaystyle f (U)}$${\ Displaystyle f \ left (\ lambda _ {1} \ right), \ dots, f \ left (\ lambda _ {n} \ right).}$${\ Displaystyle f (U)}$${\ Displaystyle f (\ lambda _ {1}), \ dots, f (\ lambda _ {n}).}$${\ Displaystyle f (A) = S ^ {- 1} f (U) S}$${\ Displaystyle f (U),}$

Función secular y ecuación secular

Función secular

El término función secular se ha utilizado para lo que ahora se llama polinomio característico (en alguna literatura todavía se utiliza el término función secular). El término proviene del hecho de que el polinomio característico se utilizó para calcular las perturbaciones seculares (en una escala de tiempo de un siglo, es decir, lentas en comparación con el movimiento anual) de las órbitas planetarias, según la teoría de las oscilaciones de Lagrange .

Ecuación secular

La ecuación secular puede tener varios significados.

• En álgebra lineal a veces se usa en lugar de ecuación característica.
• En astronomía es la expresión algebraica o numérica de la magnitud de las desigualdades en el movimiento de un planeta que quedan después de que se han permitido las desigualdades de un período corto.

• En los cálculos de

Para álgebras asociativas generales

La definición anterior del polinomio característico de una matriz con entradas en un campo se generaliza sin ningún cambio en el caso cuando es solo un

${\ Displaystyle A \ en M_ {n} (F)}$

${\ Displaystyle F}$

${\ Displaystyle F}$

${\ Displaystyle F}$

Ver también

• Ecuación característica (desambiguación)
• Polinomio mínimo (álgebra lineal)
• Invariantes de tensores
• Matriz complementaria
• Algoritmo de Faddeev-LeVerrier
• Teorema de Cayley-Hamilton
• Algoritmo de Samuelson-Berkowitz

Referencias

• TS Blyth y EF Robertson (1998) Álgebra lineal básica , p 149, Springer ISBN  3-540-76122-5 .
• John B. Fraleigh y Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2nd edition, p 246, Addison-Wesley ISBN  0-201-11949-8 .
• Garibaldi, Skip (2004), "El polinomio característico y el determinante no son construcciones ad hoc", American Mathematical Monthly , 111 (9): 761–778, arXiv : math / 0203276 , doi : 10.2307 / 4145188 , JSTOR  4145188 , MR  2104048
• Werner Greub (1974) Cuarta edición de Álgebra lineal , págs. 120–5, Springer, ISBN  0-387-90110-8 .
• Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, p 274, Worth Publishers ISBN  0-87901-121-1 .
• Gilbert Strang (1988) Álgebra lineal y sus aplicaciones 3a edición, p 246, Brooks / Cole ISBN  0-15-551005-3 .