Aproximación de celosía vacía - Empty lattice approximation

La aproximación de celosía vacía es un modelo teórico de estructura de banda electrónica en el que el potencial es periódico y débil (cercano a constante). También se puede considerar una celosía irregular vacía, en la que el potencial ni siquiera es periódico. La aproximación de la red vacía describe una serie de propiedades de las relaciones de dispersión de energía de los electrones libres que no interactúan y que se mueven a través de una red cristalina . La energía de los electrones en la "red vacía" es la misma que la energía de los electrones libres. El modelo es útil porque ilustra claramente una serie de características a veces muy complejas de las relaciones de dispersión de energía en sólidos que son fundamentales para todas las estructuras de bandas electrónicas.

Dispersión y periodicidad

Bandas de electrones libres en una red unidimensional

El potencial periódico de la red en este modelo de electrones libres debe ser débil porque de lo contrario los electrones no estarían libres. La fuerza de la dispersión depende principalmente de la geometría y topología del sistema. Los parámetros definidos topológicamente, como las secciones transversales de dispersión , dependen de la magnitud del potencial y el tamaño del pozo de potencial . Para espacios de 1, 2 y 3 dimensiones, los pozos de potencial siempre dispersan ondas, sin importar cuán pequeños sean sus potenciales, cuáles sean sus signos o cuán limitados sean sus tamaños. Para una partícula en una red unidimensional, como el modelo de Kronig-Penney , es posible calcular la estructura de la banda analíticamente sustituyendo los valores del potencial, el espaciado de la red y el tamaño del pozo de potencial. Para problemas bidimensionales y tridimensionales, es más difícil calcular una estructura de bandas basada en un modelo similar con algunos parámetros con precisión. No obstante, las propiedades de la estructura de la banda pueden aproximarse fácilmente en la mayoría de las regiones mediante métodos de perturbación .

En teoría, la red es infinitamente grande, por lo que un potencial de dispersión periódico débil eventualmente será lo suficientemente fuerte como para reflejar la onda. El proceso de dispersión da como resultado las bien conocidas reflexiones de Bragg de electrones por el potencial periódico de la estructura cristalina . Este es el origen de la periodicidad de la relación de dispersión y la división del espacio k en las zonas de Brillouin. La relación de dispersión de energía periódica se expresa como:

{\ Displaystyle E_ {n} (\ mathbf {k}) = {\ frac {\ hbar ^ {2} (\ mathbf {k} + \ mathbf {G} _ {n}) ^ {2}} {2m} }}

El son los de la red recíproca vectores a los que las bandas pertenecen. ${\ Displaystyle \ mathbf {G} _ {n}}$ ${\ Displaystyle E_ {n} (\ mathbf {k})}$

La figura de la derecha muestra la relación de dispersión para tres períodos en el espacio recíproco de una celosía unidimensional con celdas de celosía de longitud a .

Las bandas de energía y la densidad de estados.

En una red unidimensional, el número de vectores de red recíprocos que determinan las bandas en un intervalo de energía se limita a dos cuando la energía aumenta. En redes bidimensionales y tridimensionales, el número de vectores de red recíprocos que determinan las bandas de electrones libres aumenta más rápidamente cuando aumenta la longitud del vector de onda y aumenta la energía. Esto se debe a que aumenta el número de vectores reticulares recíprocos que se encuentran en un intervalo . La densidad de estados en un intervalo de energía depende del número de estados en un intervalo en el espacio recíproco y la pendiente de la relación de dispersión . ${\ Displaystyle \ mathbf {G} _ {n}}$ ${\ Displaystyle E_ {n} (\ mathbf {k})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} _ {n}}$ ${\ Displaystyle [\ mathbf {k}, \ mathbf {k} + d \ mathbf {k}]}$ ${\ Displaystyle [E, E + dE]}$ ${\ Displaystyle [\ mathbf {k}, \ mathbf {k} + d \ mathbf {k}]}$ ${\ Displaystyle E_ {n} (\ mathbf {k})}$

Figura 3: DOS de electrones libres en el espacio k tridimensional

Aunque las celdas de celosía no son esféricamente simétricas, la relación de dispersión todavía tiene simetría esférica desde el punto de vista de un punto central fijo en una celda de celosía recíproca si la relación de dispersión se extiende fuera de la zona central de Brillouin. La densidad de estados en una red tridimensional será la misma que en el caso de ausencia de una red. Para el caso tridimensional, la densidad de estados es; ${\ Displaystyle D_ {3} \ left (E \ right)}$

{\ Displaystyle D_ {3} \ left (E \ right) = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {E-E_ {0}} {c_ {k} ^ {3}}}} \.}

En el espacio tridimensional, los límites de la zona de Brillouin son planos. Las relaciones de dispersión muestran cónicas de las parábolas de dispersión de energía de electrones libres para todos los posibles vectores reticulares recíprocos. Esto da como resultado una intersección de curvas muy complicada cuando se calculan las relaciones de dispersión porque hay un gran número de ángulos posibles entre las trayectorias de evaluación, los límites de la zona de Brillouin de primer orden y de orden superior y los conos de intersección de la parábola de dispersión.

Segunda, tercera y zonas superiores de Brillouin

Zona FCC Brillouin

Los "electrones libres" que se mueven a través de la red de un sólido con vectores de onda muy fuera de la primera zona de Brillouin todavía se reflejan de nuevo en la primera zona de Brillouin. Consulte la sección de enlaces externos para ver sitios con ejemplos y figuras. ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$

El modelo de electrones casi libres

En la mayoría de los metales simples , como el aluminio , el efecto de apantallamiento reduce fuertemente el campo eléctrico de los iones en el sólido. El potencial electrostático se expresa como

{\ Displaystyle V (r) = {\ frac {Ze} {r}} e ^ {- qr}}

donde Z es el número atómico , e es la carga unitaria elemental, r es la distancia al núcleo del ion incrustado yq es un parámetro de cribado que determina el rango del potencial. La transformada de Fourier , , del potencial de celosía, , se expresa como ${\ Displaystyle U _ {\ mathbf {G}}}$ ${\ Displaystyle V (\ mathbf {r})}$

{\ Displaystyle U _ {\ mathbf {G}} = {\ frac {4 \ pi Ze} {q ^ {2} + G ^ {2}}}}

Cuando los valores de los elementos fuera de la diagonal entre los vectores de celosía recíprocos en el hamiltoniano casi llegan a cero. Como resultado, la magnitud de la banda prohibida colapsa y se obtiene la aproximación de celosía vacía. ${\ Displaystyle U _ {\ mathbf {G}}}$ ${\ Displaystyle 2 | U _ {\ mathbf {G}} |}$

Las bandas de electrones de los cristales metálicos comunes.

Aparte de unas pocas excepciones exóticos, metales cristalizan en tres tipos de estructuras de cristal: el BCC y FCC estructuras de cristal cúbico y la hexagonal de empaquetamiento compacto HCP estructura cristalina.