Teorema de Stone-von Neumann - Stone–von Neumann theorem

En matemáticas y en física teórica , el teorema de Stone-von Neumann se refiere a cualquiera de varias formulaciones diferentes de la unicidad de las relaciones canónicas de conmutación entre operadores de posición y momento . Lleva el nombre de Marshall Stone y John von Neumann .

Problemas de representación de las relaciones de conmutación

En mecánica cuántica , los observables físicos se representan matemáticamente mediante operadores lineales en espacios de Hilbert .

Para una sola partícula que se mueve sobre la línea real , hay dos observables importantes: posición y momento . En la descripción representación cuántica de Schrödinger de una partícula tal, el operador de la posición x y operador momento se dan, respectivamente, por ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle [x \ psi] (x_ {0}) = x_ {0} \ psi (x_ {0})}$

${\ Displaystyle [p \ psi] (x_ {0}) = - i \ hbar {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} (x_ {0})}$

en el dominio de funciones infinitamente diferenciables de soporte compacto en . Supongamos que ser un fijo no nulo número-en bienes teoría cuántica es la constante reducida de Planck , que lleva unidades de actuación (energía veces de tiempo). ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ hbar}$${\ Displaystyle \ hbar}$

Los operadores , satisfacen la relación de conmutación canónica del álgebra de Lie, ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle [x, p] = xp-px = i \ hbar.}$

Ya en su libro clásico, Hermann Weyl observó que esta ley de conmutación era imposible de satisfacer para los operadores lineales p , x que actúan sobre espacios de dimensión finita a menos que ℏ desaparezca. Esto es evidente tomando la traza en ambos lados de la última ecuación y usando la relación Traza ( AB ) = Traza ( BA ) ; el lado izquierdo es cero, el lado derecho es distinto de cero. Un análisis más detallado muestra que, de hecho, dos operadores autoadjuntos cualesquiera que satisfagan la relación de conmutación anterior no pueden ser ambos acotados . Para simplificar la notación, la raíz cuadrada de la que no se anula ℏ pueden ser absorbidos por la normalización de p y x , de modo que, efectivamente, que se sustituye por 1. Asumimos esta normalización en lo que sigue.

La idea del teorema de Stone-von Neumann es que dos representaciones irreductibles cualesquiera de las relaciones de conmutación canónicas son unitariamente equivalentes. Sin embargo, dado que los operadores involucrados son necesariamente ilimitados (como se señaló anteriormente), existen problemas de dominio complicados que permiten contraejemplos. Para obtener un resultado riguroso, se debe requerir que los operadores satisfagan la forma exponencial de las relaciones de conmutación canónicas, conocidas como relaciones de Weyl. Los operadores exponenciados son acotados y unitarios. Aunque, como se indica a continuación, estas relaciones son formalmente equivalentes a las relaciones de conmutación canónicas estándar, esta equivalencia no es rigurosa, debido (nuevamente) a la naturaleza ilimitada de los operadores. (También hay un análogo discreto de las relaciones de Weyl, que puede mantenerse en un espacio de dimensión finita, a saber , el reloj de Sylvester y las matrices de desplazamiento en el grupo finito de Heisenberg, que se analiza a continuación).

Unicidad de representación

A uno le gustaría clasificar las representaciones de la relación de conmutación canónica por dos operadores autoadjuntos que actúan sobre espacios de Hilbert separables, hasta la equivalencia unitaria . Según el teorema de Stone , existe una correspondencia biunívoca entre los operadores autoadjuntos y los grupos unitarios de un parámetro (fuertemente continuos).

Deje que Q y P sean dos operadores autoadjuntos que satisfacen la relación de conmutación canónica, [ Q ,  P ] = i , y s y t dos parámetros reales. Introducir e ^ITQ y e ^ISP , los grupos unitarios correspondientes dadas por cálculo funcional . (Para los operadores explícitos x y p definidos anteriormente, estos son multiplicación por e ^itx y retroceso por traslación x → x + s .) Un cálculo formal (usando un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff ) produce fácilmente

${\ Displaystyle e ^ {itQ} e ^ {isP} = e ^ {- ist} e ^ {isP} e ^ {itQ}.}$

Por el contrario, dados dos grupos unitarios de un parámetro U ( t ) y V ( s ) que satisfacen la relación de trenzado

diferenciar formalmente en 0 muestra que los dos generadores infinitesimales satisfacen la relación de conmutación canónica anterior. Esta formulación trenzada de las relaciones de conmutación canónicas (CCR) para grupos unitarios de un parámetro se llama la forma Weyl de la CCR .

Es importante señalar que la derivación anterior es puramente formal. Dado que los operadores involucrados son ilimitados, los problemas técnicos impiden la aplicación de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff sin supuestos de dominio adicionales. De hecho, existen operadores que satisfacen la relación de conmutación canónica pero no las relaciones de Weyl ( E1 ). No obstante, en casos "buenos", esperamos que los operadores que satisfagan la relación de conmutación canónica también satisfagan las relaciones de Weyl.

Por lo tanto, el problema pasa a ser la clasificación de dos grupos unitarios de un parámetro irreductibles en conjunto U ( t ) y V ( s ) que satisfacen la relación de Weyl en espacios de Hilbert separables. La respuesta es el contenido del teorema de Stone-von Neumann : todos esos pares de grupos unitarios de un parámetro son unitariamente equivalentes . En otras palabras, para dos U ( t ) y V ( s ) cualesquiera que actúen conjuntamente de manera irreductible en un espacio de Hilbert H , hay un operador unitario W  : L ² ( R ) → H de modo que

${\ Displaystyle W ^ {*} U (t) W = e ^ {itx} \ quad {\ mbox {y}} \ quad W ^ {*} V (s) W = e ^ {isp},}$

donde p y x son las explícitas posición y el momento de los operadores antes. Cuando W es U en esta ecuación, entonces, en la representación x , es evidente que P es unitariamente equivalente a e ^{- itQ}  P  e ^itQ = P + t , y el espectro de P debe abarcar toda la línea real . El argumento análogo es válido para Q .

También hay una extensión directa del teorema de Stone-von Neumann a n grados de libertad.

Históricamente, este resultado fue significativa, ya que fue un paso clave en probar que Heisenberg 's mecánica de matrices , que presenta cuánticos observables mecánicas y dinámicas en términos de matrices infinitas, es unitariamente equivalente a Schrödinger ' s onda formulación mecánica (ver la imagen Schrödinger ) ,

${\ Displaystyle [U (t) \ psi] (x) = e ^ {itx} \ psi (x), \ qquad [V (s) \ psi] (x) = \ psi (x + s).}$

Formulación de la teoría de la representación

En términos de la teoría de la representación, el teorema de Stone-von Neumann clasifica ciertas representaciones unitarias del grupo de Heisenberg . Esto se discute con más detalle en la sección del grupo de Heisenberg , a continuación.

Expresado informalmente, con ciertos supuestos técnicos, cada representación del grupo de Heisenberg H _{2 n  + 1} es equivalente a los operadores de posición y operadores de momento en R ⁿ . Alternativamente, que todos son equivalentes al álgebra de Weyl (o álgebra CCR ) en un espacio simpléctico de dimensión 2 n .

Más formalmente, hay una representación unitaria central única (a escala) no trivial fuertemente continua.

Esto fue luego generalizado por la teoría de Mackey , y fue la motivación para la introducción del grupo de Heisenberg en la física cuántica.

En detalle:

• El grupo de Heisenberg continuo es una extensión central del grupo de Lie abeliano R ^{2 n} por una copia de R ,
• el álgebra de Heisenberg correspondiente es una extensión central del álgebra de Lie abeliana R ^{2 n} (con paréntesis trivial ) por una copia de R ,
• el grupo discreto de Heisenberg es una extensión central del grupo abeliano libre Z ^{2 n} por una copia de Z , y
• la Heisenberg grupo de módulo discreto p es una extensión central de la libre abeliano p -Grupo ( Z / p Z ) ^{2 n} de una copia de Z / p Z .

En todos los casos, si uno tiene una representación H _{2 n  + 1} → A , donde A es un álgebra y el centro se asigna a cero, entonces uno simplemente tiene una representación del grupo abeliano o álgebra correspondiente, que es la teoría de Fourier .

Si el centro no se asigna a cero, uno tiene una teoría más interesante, particularmente si uno se limita a las representaciones centrales .

Concretamente, por representación central se entiende una representación tal que el centro del grupo de Heisenberg se mapea en el centro del álgebra : por ejemplo, si uno está estudiando representaciones matriciales o representaciones por operadores en un espacio de Hilbert, entonces el centro de la matriz el álgebra o el álgebra del operador son las matrices escalares . Así, la representación del centro del grupo de Heisenberg está determinada por un valor de escala, llamado valor de cuantificación (en términos físicos, constante de Planck), y si este llega a cero, se obtiene una representación del grupo abeliano (en términos físicos, este es el límite clásico).

Más formalmente, el álgebra de grupo del grupo de Heisenberg sobre su campo de escalares K , escrito K [ H ] , tiene el centro K [ R ] , así que en lugar de pensar simplemente en el álgebra de grupo como un álgebra sobre el campo K , uno puede pensar de él como un álgebra sobre el álgebra conmutativa K [ R ] . Como el centro de un álgebra de matrices o álgebra de operadores son las matrices escalares, una estructura K [ R ] en el álgebra de matrices es una elección de matriz escalar, una elección de escala. Dada tal elección de escala, una representación central del grupo de Heisenberg es un mapa de K [ R ] -álgebras K [ H ] → A , que es la forma formal de decir que envía el centro a una escala elegida.

Entonces, el teorema de Stone-von Neumann es que, dada la escala mecánica cuántica estándar (efectivamente, el valor de ħ), toda representación unitaria fuertemente continua es unitariamente equivalente a la representación estándar con posición y momento.

Reformulación mediante transformada de Fourier

Let G ser un grupo abeliano localmente compacto y G ^{^} sea el Pontryagin doble de G . La transformada de Fourier-Plancherel definida por

${\ Displaystyle f \ mapsto {\ hat {f}} (\ gamma) = \ int _ {G} {\ overline {\ gamma (t)}} f (t) d \ mu (t)}$

se extiende a un C * -isomorfismo del grupo C * -álgebra C * ( G ) de G y C ₀ ( G ^{^} ) , es decir, el espectro de C * ( G ) es precisamente G ^{^} . Cuando G es la línea real R , este es el teorema de Stone que caracteriza a los grupos unitarios de un parámetro. El teorema de Stone-von Neumann también puede reformularse utilizando un lenguaje similar.

El grupo G actúa sobre el C * -algebra C ₀ ( G ) por la traducción de derecho ρ : para s en G y F en C ₀ ( G ) ,

${\ Displaystyle (s \ cdot f) (t) = f (t + s).}$

Bajo el isomorfismo dado anteriormente, esta acción se convierte en la acción natural de G sobre C * ( G ^{^} ) :

${\ Displaystyle {\ widehat {(s \ cdot f)}} (\ gamma) = \ gamma (s) {\ hat {f}} (\ gamma).}$

Entonces, una representación covariante correspondiente al C * - producto cruzado

${\ Displaystyle C ^ {*} \ left ({\ hat {G}} \ right) \ rtimes _ {\ hat {\ rho}} G}$

es una representación unitaria U ( s ) de G y V ( γ ) de G ^{^} tal que

${\ Displaystyle U (s) V (\ gamma) U ^ {*} (s) = \ gamma (s) V (\ gamma).}$

Es un hecho general que las representaciones covariantes están en correspondencia biunívoca con la representación * del producto cruzado correspondiente. Por otro lado, todas las representaciones irreductibles de

${\ Displaystyle C_ {0} (G) \ rtimes _ {\ rho} G}$

son unitariamente equivalentes a , los operadores compactos en L ² ( G )) . Por lo tanto, todos los pares { U ( s ),  V ( γ )} son unitariamente equivalentes. Especializándose en el caso donde G = R produce el teorema de Stone-von Neumann. ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} \ left (L ^ {2} (G) \ right)}$

El grupo de Heisenberg

Las relaciones de conmutación canónicas anteriores para P , Q son idénticas a las relaciones de conmutación que especifican el álgebra de Lie del grupo general de Heisenberg H _{2n + 1} para n un entero positivo. Este es el grupo de Lie de ( n  + 2) × ( n  + 2) matrices cuadradas de la forma

${\ displaystyle \ mathrm {M} (a, b, c) = {\ begin {bmatrix} 1 & a & c \\ 0 & 1_ {n} & b \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

De hecho, utilizando el grupo de Heisenberg, se puede reformular el teorema de Stone von Neumann en el lenguaje de la teoría de la representación.

Tenga en cuenta que el centro de H _{2n + 1} consta de matrices M (0, 0,  c ) . Sin embargo, este centro no es el operador de identidad en los CCR originales de Heisenberg. Los generadores de álgebra de Lie del grupo de Heisenberg, por ejemplo, para n = 1 , son

${\ displaystyle {\ begin {align} P & = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, & Q & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} }}, & z & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}, \ end {alineado}}}$

y el generador central z = log M (0, 0, 1) = exp ( z ) - 1 no es la identidad.

Teorema. Para cada número real h distinto de cero hay una representación irreducible U _{h que} actúa sobre el espacio de Hilbert L ² ( R ⁿ ) por

${\ Displaystyle \ left [U_ {h} (\ mathrm {M} (a, b, c)) \ right] \ psi (x) = e ^ {i (b \ cdot x + hc)} \ psi (x + ha).}$

Todas estas representaciones son unitariamente desiguales ; y cualquier representación irreductible que no sea trivial en el centro de H _n es unitariamente equivalente a exactamente una de estas.

Tenga en cuenta que U _h es un operador unitario porque es la composición de dos operadores que se ven fácilmente como unitarios: la traslación a la izquierda por ha y la multiplicación por una función de valor absoluto 1. Mostrar que U _h es multiplicativo es sencillo cálculo. La parte difícil del teorema es mostrar la unicidad; esta afirmación, sin embargo, se sigue fácilmente del teorema de Stone-von Neumann como se indicó anteriormente. A continuación esbozaremos una prueba del teorema de Stone-von Neumann correspondiente para ciertos grupos finitos de Heisenberg.

En particular, las representaciones irreductibles π , π ′ del grupo de Heisenberg H _n que no son triviales en el centro de H _n son unitariamente equivalentes si y solo si π ( z ) = π ′ ( z ) para cualquier z en el centro de H _n .

Una representación del grupo de Heisenberg que es importante en la teoría de números y la teoría de formas modulares es la representación theta , llamada así porque la función theta de Jacobi es invariante bajo la acción del subgrupo discreto del grupo de Heisenberg.

Relación con la transformada de Fourier

Para cualquier h distinto de cero , el mapeo

${\ Displaystyle \ alpha _ {h}: \ mathrm {M} (a, b, c) \ to \ mathrm {M} \ left (-h ^ {- 1} b, ha, ca \ cdot b \ right) }$

es un automorfismo de H _n que es la identidad en el centro de H _n . En particular, las representaciones U _h y U _h α son unitariamente equivalentes. Esto significa que hay un operador unitario W en L ² ( R ⁿ ) tal que, para cualquier g en H _n ,

${\ Displaystyle WU_ {h} (g) W ^ {*} = U_ {h} \ alpha (g).}$

Además, de la irreductibilidad de las representaciones U _h , se sigue que hasta un escalar , tal operador W es único (cf. el lema de Schur ). Dado que W es unitario, este múltiplo escalar se determina de forma única y, por tanto, dicho operador W es único.

Teorema . El operador W es la transformada de Fourier en L ² ( R ⁿ ) .

Esto significa que, ignorando el factor de (2 π ) ^norte/2 en la definición de la transformada de Fourier,

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} e ^ {- ix \ cdot p} e ^ {i (b \ cdot x + hc)} \ psi (x + ha) \ dx = e ^ {i (ha \ cdot p + h (cb \ cdot a))} \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} e ^ {- iy \ cdot (pb)} \ psi (y) \ dy .}$

Este teorema tiene la implicación inmediata de que la transformada de Fourier es unitaria , también conocida como teorema de Plancherel . Es más,

${\ Displaystyle (\ alpha _ {h}) ^ {2} \ mathrm {M} (a, b, c) = \ mathrm {M} (-a, -b, c).}$

Teorema . El operador W ₁ tal que

${\ Displaystyle W_ {1} U_ {h} W_ {1} ^ {*} = U_ {h} \ alpha ^ {2} (g)}$

es el operador de reflexión

${\ Displaystyle [W_ {1} \ psi] (x) = \ psi (-x).}$

De este hecho se sigue fácilmente la fórmula de inversión de Fourier .

Ejemplo: el espacio Segal-Bargmann

El espacio de Segal-Bargmann es el espacio de funciones holomórficas en C ⁿ que son integrables al cuadrado con respecto a una medida gaussiana. Fock observó en la década de 1920 que los operadores

${\ estilo de visualización a_ {j} = {\ frac {\ parcial} {\ parcial z_ {j}}}, \ qquad a_ {j} ^ {*} = z_ {j},}$

actuando sobre funciones holomórficas, satisfacen las mismas relaciones de conmutación que los operadores habituales de aniquilación y creación, a saber,

${\ Displaystyle \ left [a_ {j}, a_ {k} ^ {*} \ right] = \ delta _ {j, k}.}$

En 1961, Bargmann demostró que un^∗
_jes en realidad el adjunto de una _j con respecto al producto interno que proviene de la medida gaussiana. Tomando combinaciones lineales apropiadas de a _j y a^∗
_j, entonces se pueden obtener operadores de "posición" y "momento" que satisfagan las relaciones de conmutación canónicas. No es difícil demostrar que las exponenciales de estos operadores satisfacen las relaciones de Weyl y que los operadores exponenciados actúan de manera irreductible. Por tanto, el teorema de Stone-von Neumann se aplica e implica la existencia de un mapa unitario desde L ² ( R ⁿ ) hasta el espacio Segal-Bargmann que entrelaza los operadores habituales de aniquilación y creación con los operadores a _j y a^∗
_j. Este mapa unitario es la transformada de Segal-Bargmann .

Representaciones de grupos finitos de Heisenberg

El Heisenberg grupo H _n ( K ) se define para cualquier anillo conmutativo K . En esta sección nos especializamos en el campo K = Z / p Z para p un primo. Este campo tiene la propiedad de que hay una incrustación de ω de K como un grupo de aditivos en el grupo círculo T . Tenga en cuenta que H _n ( K ) es finito con cardinalidad | K | ^{2 n  + 1} . Para el grupo finito de Heisenberg H _n ( K ) se puede dar una demostración simple del teorema de Stone-von Neumann usando propiedades simples de funciones de carácter de representaciones. Estas propiedades se derivan de las relaciones de ortogonalidad para personajes de representaciones de grupos finitos.

Para cualquier h distinto de cero en K, defina la representación U _h en el espacio del producto interno de dimensión finita ℓ ² ( K ⁿ ) por

${\ Displaystyle \ left [U_ {h} \ mathrm {M} (a, b, c) \ psi \ right] (x) = \ omega (b \ cdot x + hc) \ psi (x + ha).}$

Teorema. Para una h fija distinta de cero , la función de carácter χ de U _h viene dada por:

${\ Displaystyle \ chi (\ mathrm {M} (a, b, c)) = {\ begin {cases} | K | ^ {n} \, \ omega (hc) & {\ text {if}} a = b = 0 \\ 0 & {\ text {de lo contrario}} \ end {cases}}}$

Resulta que

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ left | H_ {n} (\ mathbf {K}) \ right |}} \ sum _ {g \ in H_ {n} (K)} | \ chi (g) | ^ {2} = {\ frac {1} {| K | ^ {2n + 1}}} | K | ^ {2n} | K | = 1.}$

Por las relaciones de ortogonalidad para caracteres de representaciones de grupos finitos, este hecho implica el correspondiente teorema de Stone-von Neumann para los grupos de Heisenberg H _n ( Z / p Z ) , particularmente:

• Irreducibilidad de U _h
• Desigualdad por pares de todas las representaciones U _h .

En realidad, todas las representaciones irreductibles de H _n ( K ) sobre las que el centro actúa de manera no trivial surgen de esta manera.

Generalizaciones

El teorema de Stone-von Neumann admite numerosas generalizaciones. Gran parte del trabajo inicial de George Mackey estuvo dirigido a obtener una formulación de la teoría de representaciones inducidas desarrollada originalmente por Frobenius para grupos finitos en el contexto de representaciones unitarias de grupos topológicos localmente compactos.

Ver también

Notas

Referencias

• Kirillov, AA (1976), Elementos de la teoría de las representaciones , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 220 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-07476-4, MR  0407202
• Rosenberg, Jonathan (2004) "Una historia selectiva del teorema de Stone-von Neumann" Matemáticas contemporáneas 365 . Sociedad Matemática Estadounidense.
• Summers, Stephen J. (2001). "Sobre el teorema de unicidad de Stone-von Neumann y sus ramificaciones". En John von Neumann y los fundamentos de la física cuántica , págs. 135-152. Springer, Dordrecht, 2001, en línea .