Polinomio de Hurwitz - Hurwitz polynomial

En matemáticas , un polinomio de Hurwitz , llamado así por Adolf Hurwitz , es un polinomio cuyas raíces (ceros) están ubicadas en el semiplano izquierdo del plano complejo o en el eje imaginario, es decir, la parte real de cada raíz es cero o negativo. Dicho polinomio debe tener coeficientes que sean números reales positivos . El término a veces se restringe a polinomios cuyas raíces tienen partes reales que son estrictamente negativas, excluyendo el eje imaginario (es decir, un polinomio estable de Hurwitz ).

Se dice que una función polinomial P ( s ) de una variable compleja s es Hurwitz si se cumplen las siguientes condiciones:

1. P ( s ) es real cuando s es real.

2. Las raíces de P ( s ) tienen partes reales que son cero o negativas.

Los polinomios de Hurwitz son importantes en la teoría de los sistemas de control , porque representan las ecuaciones características de los sistemas lineales estables . Si un polinomio es Hurwitz se puede determinar resolviendo la ecuación para encontrar las raíces, o a partir de los coeficientes sin resolver la ecuación mediante el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz .

Ejemplos

Un ejemplo simple de un polinomio de Hurwitz es:

${\ displaystyle x ^ {2} + 2x + 1.}$

La única solución real es -1, porque factoriza como

${\ displaystyle (x + 1) ^ {2}.}$

En general, todos los polinomios cuadráticos con coeficientes positivos son Hurwitz. Esto se sigue directamente de la fórmula cuadrática :

${\ Displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac \}}} {2a}}.}$

donde, si el discriminante b ² -4 ac es menor que cero, entonces el polinomio tendrá dos complejos conjugados soluciones con parte real - b / 2 a , que es negativo para el positivo una y b . Si el discriminante es igual a cero, habrá dos soluciones reales coincidentes en - b / 2 a . Por último, si el discriminante es mayor que cero, habrá dos soluciones reales negativas, porque para positivo un , b y c . ${\ Displaystyle {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}} <b}$

Propiedades

Para que un polinomio sea Hurwitz, es necesario, pero no suficiente, que todos sus coeficientes sean positivos (excepto los polinomios cuadráticos, que tampoco implican suficiencia). Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea Hurwitz es que pase el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz . Se puede probar eficazmente que un polinomio dado sea Hurwitz o no mediante la técnica de expansión de fracción continua de Routh.

Referencias

• Wayne H. Chen (1964) Diseño y síntesis de redes lineales , página 63, McGraw Hill .