Coeficiente - Coefficient

En matemáticas , un coeficiente es un factor multiplicativo en algún término de un polinomio , una serie o cualquier expresión ; por lo general es un número, pero puede ser cualquier expresión (incluyendo variables tales como un , b y c ). Cuando las variables aparecen en los coeficientes, a menudo se les llama parámetros y deben distinguirse claramente de las que representan otras variables en una expresión.

Por ejemplo,

${\ Displaystyle 2x ^ {2} -x + 3}$, tiene los coeficientes reales 2, -1 y 3 respectivamente, y

${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c}$, tiene parámetros de coeficiente a, byc, respectivamente, suponiendo que x es la variable de la ecuación.

El coeficiente constante es el coeficiente que no se adjunta a las variables en una expresión. Por ejemplo, los coeficientes constantes de las expresiones anteriores son el coeficiente real 3 y el parámetro representado por c .

De manera similar, el coeficiente adjunto a la mayor multiplicidad de la variable en un polinomio se denomina coeficiente principal . Por ejemplo, en las expresiones anteriores, los coeficientes principales son 2 y el parámetro representado por a .

Los coeficientes binomiales se presentan en la forma expandida de y se tabulan en el triángulo de Pascal . ${\ Displaystyle (x + y) ^ {n}}$

Terminología y definición

En matemáticas, un coeficiente es un factor multiplicativo en algún término de un polinomio , una serie o cualquier expresión ;

Por ejemplo, en

${\ Displaystyle 7x ^ {2} -3xy + 1,5 + y,}$

los dos primeros términos tienen los coeficientes 7 y −3, respectivamente. El tercer término 1,5 es un coeficiente constante. El término final no tiene ningún factor de coeficiente escrito explícitamente que no cambie el término; por tanto, el coeficiente se toma como 1 (ya que las variables sin número tienen un coeficiente de 1).

En muchos escenarios, los coeficientes son números (como es el caso de cada término del ejemplo anterior), aunque podrían ser parámetros del problema, o cualquier expresión de estos parámetros. En tal caso, se debe distinguir claramente entre símbolos que representan variables y símbolos que representan parámetros. Siguiendo a René Descartes , las variables a menudo se denotan por x , y , ..., y los parámetros por a , b , c , ..., pero no siempre es así. Por ejemplo, si y se considera un parámetro en la expresión anterior, entonces el coeficiente de x sería −3 y , y el coeficiente constante (siempre con respecto a x ) sería 1.5 + y .

Cuando uno escribe

${\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c,}$

Por lo general, se supone que x es la única variable, y que una , b y c son parámetros; por tanto, el coeficiente constante es c en este caso.

De manera similar, cualquier polinomio en una variable x se puede escribir como

${\ Displaystyle a_ {k} x ^ {k} + \ dotsb + a_ {1} x ^ {1} + a_ {0}}$

para algún entero positivo , donde están los coeficientes; para permitir este tipo de expresión en todos los casos, se debe permitir la introducción de términos con 0 como coeficiente. Para el mayor con (si lo hay), se llama coeficiente principal del polinomio. Por ejemplo, el coeficiente principal del polinomio ${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle a_ {k}, \ dotsc, a_ {1}, a_ {0}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle a_ {i} \ neq 0}$${\ Displaystyle a_ {i}}$

${\ Displaystyle \, 4x ^ {5} + x ^ {3} + 2x ^ {2}}$

es 4.

Algunos coeficientes específicos que ocurren con frecuencia en matemáticas tienen nombres dedicados. Por ejemplo, los coeficientes binomiales se presentan en la forma expandida de y se tabulan en el triángulo de Pascal . ${\ Displaystyle (x + y) ^ {n}}$

Álgebra lineal

En álgebra lineal , un sistema de ecuaciones lineales se asocia con una matriz de coeficientes , que se usa en la regla de Cramer para encontrar una solución al sistema.

La entrada principal (a veces coeficiente principal ) de una fila en una matriz es la primera entrada distinta de cero en esa fila. Entonces, por ejemplo, dada la matriz que se describe a continuación:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 & 6 \\ 0 & 2 & 9 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}},}$

el coeficiente principal de la primera fila es 1; el de la segunda fila es 2; el de la tercera fila es 4, mientras que la última fila no tiene un coeficiente principal.

Aunque los coeficientes se ven con frecuencia como constantes en el álgebra elemental, también pueden verse como variables a medida que se amplía el contexto. Por ejemplo, las coordenadas de un vector en un espacio vectorial con base , son los coeficientes de los vectores base en la expresión ${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n})}$ ${\ Displaystyle v}$ ${\ Displaystyle \ lbrace e_ {1}, e_ {2}, \ dotsc, e_ {n} \ rbrace}$

${\ Displaystyle v = x_ {1} e_ {1} + x_ {2} e_ {2} + \ dotsb + x_ {n} e_ {n}.}$

Ver también

• Coeficiente de correlación
• Grado de un polinomio
• Polinomio monico

Referencias

Otras lecturas

• Sabah Al-hadad y CH Scott (1979) College Algebra with Applications , página 42, Winthrop Publishers, Cambridge Massachusetts ISBN  0-87626-140-3 .
• Gordon Fuller, Walter L Wilson, Henry C Miller, (1982) College Algebra , 5ta edición, página 24, Brooks / Cole Publishing, Monterey California ISBN  0-534-01138-1 .