Grado de extensión de campo - Degree of a field extension

En matemáticas , más específicamente en la teoría de campos , el grado de extensión de un campo es una medida aproximada del "tamaño" de la extensión del campo . El concepto juega un papel importante en muchas partes de las matemáticas, incluidas el álgebra y la teoría de números , de hecho, en cualquier área donde los campos aparezcan de manera prominente.

Definición y notación

Suponga que E / F es una extensión de campo . Entonces E puede considerarse como un espacio vectorial sobre F (el campo de los escalares). La dimensión de este espacio vectorial se denomina grado de extensión del campo y se denota por [E: F].

El grado puede ser finito o infinito, y el campo se denomina extensión finita o extensión infinita en consecuencia. A veces también se dice que una extensión E / F es simplemente finita si es una extensión finita; esto no debe confundirse con los propios campos que son campos finitos (campos con un número finito de elementos).

El grado no debe confundirse con el grado de trascendencia de un campo; por ejemplo, el campo Q ( X ) de funciones racionales tiene un grado infinito sobre Q , pero un grado de trascendencia solo es igual a 1.

La fórmula de multiplicatividad para grados

Dados tres campos dispuestos en una torre , digamos K un subcampo de L que a su vez es un subcampo de M , existe una relación simple entre los grados de las tres extensiones L / K , M / L y M / K :

En otras palabras, el grado que va del campo "inferior" al "superior" es solo el producto de los grados que van del "fondo" al "medio" y luego del "medio" al "superior". Es bastante análogo al teorema de Lagrange en la teoría de grupos , que relaciona el orden de un grupo con el orden y el índice de un subgrupo; de hecho, la teoría de Galois muestra que esta analogía es más que una mera coincidencia.

La fórmula es válida tanto para extensiones de grado finito como infinito. En el caso infinito, el producto se interpreta en el sentido de productos de números cardinales . En particular, esto significa que si M / K es finito, entonces tanto M / L como L / K son finitos.

Si M / K es finito, entonces la fórmula impone fuertes restricciones sobre los tipos de campos que pueden ocurrir entre M y K , a través de simples consideraciones aritméticas. Por ejemplo, si el grado [ M : K ] es un número primo p , entonces para cualquier campo intermedio L , puede suceder una de dos cosas: o [ M : L ] = py [ L : K ] = 1, en el cual caso L es igual a K , o [ M : L ] = 1 y [ L : K ] = p , en cuyo caso L es igual a M . Por lo tanto, no existen campos intermedios (aparte de M y K ).

Prueba de la fórmula de la multiplicatividad en el caso finito

Suponga que K , L y M forman una torre de campos como en la fórmula de grados anterior, y que tanto d = [ L : K ] ye = [ M : L ] son ​​finitos. Esto significa que podemos seleccionar una base { u 1 , ..., T delta } de L sobre K , y una base { w 1 , ..., w e } para M sobre L . Vamos a mostrar que los elementos u m w n , para m que varía a través de 1, 2, ..., d y n que van a través de 1, 2, ..., e , forman una base para M / K ; dado que hay precisamente de de ellos, esto prueba que la dimensión de M / K es de , que es el resultado deseado.

En primer lugar, comprobamos que abarcan M / K . Si x es cualquier elemento de M , entonces, dado que w n forma una base para M sobre L , podemos encontrar elementos a n en L tales que

Entonces, dado que u m forman una base para L sobre K , podemos encontrar elementos b m , n en K tales que para cada n ,

Luego, usando la ley distributiva y la asociatividad de la multiplicación en M tenemos

lo que muestra que x es una combinación lineal de u m w n con coeficientes de K ; en otras palabras, que abarcan M sobre K .

En segundo lugar hay que comprobar que son linealmente independientes sobre K . Así que asume que

para algunos coeficientes b m , n en K . Utilizando de nuevo la distributividad y la asociatividad, podemos agrupar los términos como

y vemos que los términos entre paréntesis debe ser cero, ya que son elementos de L , y la w n son linealmente independientes sobre L . Es decir,

para cada n . Entonces, dado que los coeficientes b m , n están en K , y u m son linealmente independientes sobre K , debemos tener que b m , n = 0 para todos my todos n . Esto muestra que los elementos u M w n son linealmente independientes sobre K . Con esto concluye la prueba.

Prueba de la fórmula en el caso infinito

En este caso, empezamos con bases u alpha y w β de L / K y M / L respectivamente, donde α es tomada de un conjunto de indexación A , y β de un conjunto de indexación B . El uso de un argumento totalmente similar como la de arriba, encontramos que los productos u alpha w β forman una base para M / K . Estos están indexados por el producto cartesiano A × B , que por definición tiene cardinalidad igual al producto de las cardinalidades de A y B .

Ejemplos de

  • Los números complejos son una extensión de campo sobre los números reales con grado [ C : R ] = 2 y, por lo tanto, no hay campos no triviales entre ellos.
  • La extensión de campo Q ( 2 , 3 ), obtenida al unir 2 y 3 al campo Q de números racionales , tiene grado 4, es decir, [ Q ( 2 , 3 ): Q ] = 4. El campo intermedio Q ( 2 ) tiene grado 2 sobre Q ; concluimos de la fórmula de la multiplicatividad que [ Q ( 2 , 3 ): Q ( 2 )] = 4/2 = 2.
  • El campo finito ( campo de Galois) GF (125) = GF (5 3 ) tiene grado 3 sobre su subcampo GF (5). De manera más general, si p es un primo yn , m son números enteros positivos con n dividiendo m , entonces [ GF ( p m ): GF ( p n )] = m / n .
  • La extensión de campo C ( T ) / C , donde C ( T ) es el campo de funciones racionales sobre C , tiene un grado infinito (de hecho, es una extensión puramente trascendental ). Esto puede verse al observar que los elementos 1, T , T 2 , etc., son linealmente independientes sobre C .
  • La extensión de campo C ( T 2 ) también tiene un grado infinito sobre C . Sin embargo, si vemos C ( T 2 ) como un subcampo de C ( T ), entonces de hecho [ C ( T ): C ( T 2 )] = 2. Más generalmente, si X e Y son curvas algebraicas sobre un campo K , y F  : XY es un morfismo sobreyectivo entre ellos de grado d , entonces los campos funcionales K ( X ) y K ( Y ) son ambos de grado infinito sobre K , pero el grado [ K ( X ): K ( Y )] resulta ser igual a d .

Generalización

Dados dos anillos de división E y F con F contenido en E y la multiplicación y adición de F siendo la restricción de las operaciones en E , podemos considerar E como un espacio vectorial sobre F de dos maneras: haciendo que los escalares actúen a la izquierda, dando una dimensión [ E : F ] l , y haciéndolos actuar a la derecha, dando una dimensión [ E : F ] r . Las dos dimensiones no tienen por qué coincidir. Sin embargo, ambas dimensiones satisfacen una fórmula de multiplicación para torres de anillos de división; la prueba anterior se aplica a los escalares de acción izquierda sin cambios.

Referencias

  • página 215, Jacobson, N. (1985). Álgebra I básica . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1480-9. Prueba de la fórmula de la multiplicatividad.
  • página 465, Jacobson, N. (1989). Álgebra básica II . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1933-9. Analiza brevemente el caso de dimensión infinita.