Extensión de Galois - Galois extension

En matemáticas , una extensión de Galois es una extensión de campo algebraico E / F que es normal y separable ; o equivalentemente, E / F es algebraico, y el campo fijo por el grupo de automorfismos Aut ( E / F ) es, precisamente, la base de campo F . La importancia de ser una extensión de Galois es que la extensión tiene un grupo de Galois y obedece al teorema fundamental de la teoría de Galois .

Un resultado de Emil Artin permite construir extensiones de Galois de la siguiente manera: si E es un campo dado y G es un grupo finito de automorfismos de E con campo fijo F , entonces E / F es una extensión de Galois.

Caracterización de las extensiones de Galois

Un teorema importante de Emil Artin establece que para una extensión finita cada uno de los siguientes enunciados es equivalente al enunciado que es Galois: ${\ Displaystyle E / F,}$${\ Displaystyle E / F}$

• ${\ Displaystyle E / F}$es una extensión normal y una extensión separable .
• ${\ Displaystyle E}$es un campo de división de un polinomio separable con coeficientes en${\ Displaystyle F.}$
• ${\ Displaystyle | \! \ operatorname {Aut} (E / F) | = [E: F],}$es decir, el número de automorfismos es igual al grado de extensión.

Otras declaraciones equivalentes son:

• Todo polinomio irreducible en con al menos una raíz en se divide y es separable.${\ Displaystyle F [x]}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$
• ${\ Displaystyle | \! \ operatorname {Aut} (E / F) | \ geq [E: F],}$ es decir, el número de automorfismos es al menos el grado de extensión.
• ${\ Displaystyle F}$ es el campo fijo de un subgrupo de ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (E).}$
• ${\ Displaystyle F}$ es el campo fijo de ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (E / F).}$
• Existe una correspondencia biunívoca entre subcampos y subgrupos de${\ Displaystyle E / F}$${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (E / F).}$

Ejemplos de

Hay dos formas básicas de construir ejemplos de extensiones de Galois.

• Tome cualquier campo , cualquier subgrupo de y sea ​​el campo fijo.${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (E)}$${\ Displaystyle F}$
• Tome cualquier campo , cualquier polinomio separable en , y sea ​​su campo de división .${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F [x]}$${\ Displaystyle E}$

Junto al campo de números racionales, la raíz cuadrada de 2 da una extensión de Galois, mientras que al lado de la raíz cúbica de 2 da una extensión que no es de Galois. Ambas extensiones son separables, porque tienen característica cero . El primero de ellos es el campo de división de ; el segundo tiene un cierre normal que incluye las raíces cúbicas complejas de la unidad , por lo que no es un campo de división. De hecho, no tiene otro automorfismo que el de la identidad, porque está contenido en los números reales y tiene una sola raíz real. Para obtener ejemplos más detallados, consulte la página sobre el teorema fundamental de la teoría de Galois . ${\ displaystyle x ^ {2} -2}$${\ displaystyle x ^ {3} -2}$

Un cierre algebraico de un campo arbitrario es Galois sobre si y solo si es un campo perfecto . ${\ displaystyle {\ bar {K}}}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$

Notas

Citas

Referencias

Otras lecturas