Epimorfismo - Epimorphism

En la teoría de categorías , un epimorfismo (también llamado morfismo épico o, coloquialmente, epi ) es un morfismo f : X → Y que es cancelativo a la derecha en el sentido de que, para todos los objetos Z y todos los morfismos g ₁ , g ₂ : Y → Z ,

{\ Displaystyle g_ {1} \ circ f = g_ {2} \ circ f \ implica g_ {1} = g_ {2}.}

Los epimorfismos son análogos categóricos de funciones sobreyectivas o sobreyectivas (y en la categoría de conjuntos el concepto corresponde exactamente a las funciones sobreyectivas), pero pueden no coincidir exactamente en todos los contextos; por ejemplo, la inclusión es un epimorfismo en anillo. El dual de un epimorfismo es un monomorfismo (es decir, un epimorfismo en una categoría C es un monomorfismo en la categoría dual C ^op ). ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Q}}$

Muchos autores en álgebra abstracta y álgebra universal definen un epimorfismo simplemente como un sobre o sobreyectiva homomorfismo . Todo epimorfismo en este sentido algebraico es un epimorfismo en el sentido de la teoría de categorías, pero lo contrario no es cierto en todas las categorías. En este artículo, el término "epimorfismo" se utilizará en el sentido de la teoría de categorías dada anteriormente. Para obtener más información sobre esto, consulte el § Terminología a continuación.

Ejemplos de

Todo morfismo en una categoría concreta cuya función subyacente es sobreyectiva es un epimorfismo. En muchas categorías concretas de interés, lo contrario también es cierto. Por ejemplo, en las siguientes categorías, los epimorfismos son exactamente aquellos morfismos que son sobreyectivos en los conjuntos subyacentes:

Conjunto : conjuntos y funciones. Para demostrar que todo epimorfismo f : X → Y en Set es sobreyectivo, lo componimos con la función característica g ₁ : Y → {0,1} de la imagen f ( X ) y el mapa g ₂ : Y → {0 , 1} que es constante 1.
Rel : conjuntos con relaciones binarias y funciones de conservación de relaciones. Aquí podemos usar la misma prueba que para Set , equipando {0,1} con la relación completa {0,1} × {0,1}.
Pos : conjuntos parcialmente ordenados y funciones monótonas . Si f : ( X , ≤) → ( Y , ≤) no es sobreyectiva, elija y ₀ en Y \ f ( X ) y sea g ₁ : Y → {0,1} la función característica de { y | y ₀ ≤ y } y g ₂ : Y → {0,1} la función característica de { y | y ₀ < y }. Estos mapas son monótonos si a {0,1} se le da el orden estándar 0 <1.
Grp : grupos y homomorfismos de grupo . El resultado de que todo epimorfismo en Grp es sobreyectivo se debe a Otto Schreier (en realidad demostró más, mostrando que cada subgrupo es un ecualizador que usa el producto libre con un subgrupo amalgamado); se puede encontrar una prueba elemental en (Linderholm 1970).
FinGrp : grupos finitos y homomorfismos de grupo. También debido a Schreier; la prueba dada en (Linderholm 1970) establece este caso también.
Ab : grupos abelianos y homomorfismos de grupo.
K -Vect : espacios vectoriales sobre un campo K y K -transformaciones lineales .
Mod - R : módulos derechos sobre un anillo R y homomorfismos de módulo . Esto generaliza los dos ejemplos anteriores; Para demostrar que todo epimorfismo f : X → Y en Mod - R es sobreyectivo, lo componimos tanto con el mapa de cociente canónico g ₁ : Y → Y / f ( X ) como con el mapa cero g ₂ : Y → Y / f ( X ).
Arriba : espacios topológicos y funciones continuas . Para probar que todo epimorfismo en Top es sobreyectivo, procedemos exactamente como en Set , dando {0,1} la topología indiscreta , que asegura que todos los mapas considerados son continuos.
HComp : espacios compactos de Hausdorff y funciones continuas. Si f : X → Y no es sobreyectiva, sea y ∈ Y - fX . Dado que fX es cerrado, por el Lema de Urysohn hay una función continua g ₁ : Y → [0,1] tal que g ₁ es 0 en fX y 1 en y . Componemos f con g ₁ y la función cero g ₂ : Y → [0,1].

Sin embargo, también hay muchas categorías concretas de interés en las que los epimorfismos no logran ser sobreyectivos. Algunos ejemplos son:

En la categoría de monoides , Mon , el mapa de inclusión N → Z es un epimorfismo no sobreyectivo. Para ver esto, supongamos que g ₁ y g ₂ son dos mapas distintos de Z a algunos monoid M . Luego, para algunos n en Z , g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ), entonces g ₁ ( -n ) ≠ g ₂ (- n ). O n o - n está en N , por lo que las restricciones de g ₁ y g ₂ a N son desiguales.
En la categoría de álgebras sobre el anillo conmutativo R , tome R [ N ] → R [ Z ], donde R [ G ] es el anillo de grupo del grupo G y el morfismo es inducido por la inclusión N → Z como en el ejemplo anterior . Esto se sigue de la observación de que 1 genera el álgebra R [ Z ] (tenga en cuenta que la unidad en R [ Z ] está dada por 0 de Z ), y la inversa del elemento representado por n en Z es solo el elemento representado por - n . Así, cualquier homomorfismo de R [ Z ] se determina de forma única por su valor en el elemento representado por 1 de Z .
En la categoría de anillos , Ring , el mapa de inclusión Z → Q es un epimorfismo no sobreyectivo; para ver esto, tenga en cuenta que cualquier homomorfismo de anillo en Q está determinado completamente por su acción sobre Z , similar al ejemplo anterior. Un argumento similar muestra que el homomorfismo de anillo natural de cualquier anillo conmutativo R a cualquiera de sus localizaciones es un epimorfismo.
En la categoría de anillos conmutativos , un homomorfismo de anillos f : R → S finamente generado es un epimorfismo si y solo si para todos los ideales primos P de R , el Q ideal generado por f ( P ) es S o es primo, y si Q no es S , el mapa inducido Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) es un isomorfismo ( EGA IV 17.2.6).
En la categoría de espacios de Hausdorff, Haus , los epimorfismos son precisamente las funciones continuas con imágenes densas . Por ejemplo, el mapa de inclusión Q → R , es un epimorfismo no sobreyectivo.

Lo anterior difiere del caso de los monomorfismos donde es más frecuente que los monomorfismos sean precisamente aquellos cuyas funciones subyacentes son inyectivas .

En cuanto a ejemplos de epimorfismos en categorías no concretas:

Si un monoide o anillo se considera una categoría con un solo objeto (composición de morfismos dada por multiplicación), entonces los epimorfismos son precisamente los elementos cancelables por la derecha.
Si un grafo dirigido se considera una categoría (los objetos son los vértices, los morfismos son los caminos, la composición de los morfismos es la concatenación de caminos), entonces todo morfismo es un epimorfismo.

Propiedades

Todo isomorfismo es un epimorfismo; de hecho, solo se necesita una inversa del lado derecho: si existe un morfismo j : Y → X tal que fj = id _Y , entonces f : X → Y se ve fácilmente como un epimorfismo. Un mapa con tal inverso del lado derecho se llama epi dividido . En un topos , un mapa que es tanto un morfismo mónico como un epimorfismo es un isomorfismo.

La composición de dos epimorfismos es nuevamente un epimorfismo. Si la composición fg de dos morfismos es un epimorfismo, entonces f debe ser un epimorfismo.

Como muestran algunos de los ejemplos anteriores, la propiedad de ser un epimorfismo no está determinada solo por el morfismo, sino también por la categoría de contexto. Si D es una subcategoría de C , entonces cada morfismo en D que es un epimorfismo cuando se considera como un morfismo en C es también un epimorfismo en D . Sin embargo, no es necesario que se mantenga lo contrario; la categoría más pequeña puede (ya menudo tendrá) tener más epimorfismos.

Como para la mayoría de conceptos en la teoría de categorías, epimorfismos se conservan bajo equivalencias de categorías : dada una equivalencia F : C → D , un morfismo f es un epimorfismo en la categoría C si y sólo si F ( f ) es un epimorfismo en D . Una dualidad entre dos categorías convierte los epimorfismos en monomorfismos y viceversa.

La definición de epimorfismo puede reformularse para afirmar que f : X → Y es un epimorfismo si y solo si los mapas inducidos

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Hom} (Y, Z) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, Z) \\ g & \ mapsto & gf \ end {matrix}}}

son inyectiva para cada elección de Z . Esto a su vez es equivalente a la transformación natural inducida

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Hom} (Y, -) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, -) \ end {matrix}}}

ser un monomorphism en la categoría funtor Conjunto ^C .

Todo coecualizador es un epimorfismo, una consecuencia del requisito de unicidad en la definición de coequalizadores. De ello se deduce, en particular, que todo cokernel es un epimorfismo. Lo contrario, es decir, que todo epimorfismo sea un coequalizador, no es cierto en todas las categorías.

En muchas categorías es posible escribir cada morfismo como la composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo. Por ejemplo, dado un homomorfismo de grupo f : G → H , podemos definir el grupo K = im ( f ) y luego escribir f como la composición del homomorfismo sobreyectivo G → K que se define como f , seguido del homomorfismo inyectivo K → H que envía cada elemento a sí mismo. Tal factorización de un morfismo arbitrario en un epimorfismo seguido de un monomorfismo puede llevarse a cabo en todas las categorías abelianas y también en todas las categorías concretas mencionadas anteriormente en § Ejemplos (aunque no en todas las categorías concretas).

Conceptos relacionados

Entre otros conceptos útiles se encuentran el epimorfismo regular , el epimorfismo extremal , el epimorfismo inmediato , el epimorfismo fuerte y el epimorfismo dividido .

Se dice que un epimorfismo es regular si es un coequalizador de algún par de morfismos paralelos.
Se dice que un epimorfismo es extremo si en cada representación , donde hay un monomorfismo , el morfismo es automáticamente un isomorfismo . ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = \ mu \ circ \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ mu}$
Se dice que un epimorfismo es inmediato si en cada representación , donde hay un monomorfismo y hay un epimorfismo, el morfismo es automáticamente un isomorfismo . ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = \ mu \ circ \ varepsilon '}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon '}$ ${\ Displaystyle \ mu}$
Se dice que un epimorfismo es fuerte si para cualquier monomorfismo y cualquier morfismo y tal que , existe un morfismo tal que y . ${\ Displaystyle \ varepsilon: A \ to B}$ ${\ Displaystyle \ mu: C \ a D}$ ${\ Displaystyle \ alpha: A \ to C}$ ${\ Displaystyle \ beta: B \ to D}$ ${\ Displaystyle \ beta \ circ \ varepsilon = \ mu \ circ \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ delta: B \ to C}$ ${\ Displaystyle \ delta \ circ \ varepsilon = \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ mu \ circ \ delta = \ beta}$
Se dice que un epimorfismo está dividido si existe un morfismo tal que (en este caso se llama inversa del lado derecho de ). ${\ Displaystyle \ varepsilon}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon \ circ \ mu = 1}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon}$

También existe la noción de epimorfismo homológico en la teoría de anillos. Un morfismo f : A → B de anillos es un epimorfismo homológico si es un epimorfismo e induce un functor completo y fiel en categorías derivadas : D ( f ): D ( B ) → D ( A ).

Un morfismo que es tanto monomorfismo como epimorfismo se llama bimorfismo . Todo isomorfismo es un bimorfismo, pero lo contrario no es cierto en general. Por ejemplo, el mapa del intervalo semiabierto [0,1) al círculo unitario S ¹ (considerado como un subespacio del plano complejo ) que envía x a exp (2πi x ) (ver la fórmula de Euler ) es continuo y biyectivo pero no un homeomorfismo, ya que el mapa inverso no es continuo en 1, por lo que es un caso de un bimorfismo que no es un isomorfismo en la categoría Top . Otro ejemplo es la incorporación de Q → R en la categoría Haus ; como se señaló anteriormente, es un bimorfismo, pero no es biyectivo y, por lo tanto, no es un isomorfismo. De manera similar, en la categoría de anillos , el mapa Z → Q es un bimorfismo pero no un isomorfismo.

Epimorfismos se utilizan para definir abstractos objetos cociente en categorías generales: dos epimorfismos f ₁ : X → Y ₁ y f ₂ : X → Y ₂ se dice que son equivalentes si existe un isomorfismo j : Y ₁ → Y ₂ con j f ₁ = f ₂ . Esto es una relación de equivalencia , y las clases de equivalencia se define como el cociente de objetos X .

Terminología

Los términos acompañantes epimorfismo y monomorfismo fueron introducidos por primera vez por Bourbaki . Bourbaki usa el epimorfismo como abreviatura de una función sobreyectiva . Los primeros teóricos de la categoría creían que los epimorfismos eran el análogo correcto de las sobreyecciones en una categoría arbitraria, similar a cómo los monomorfismos son casi un análogo exacto de las inyecciones. Desafortunadamente, esto es incorrecto; Los epimorfismos fuertes o regulares se comportan mucho más de cerca a las sobreyecciones que los epimorfismos ordinarios. Saunders Mac Lane intentó crear una distinción entre epimorfismos , que eran mapas en una categoría concreta cuyos mapas de conjuntos subyacentes eran sobreyectivos, y morfismos épicos , que son epimorfismos en el sentido moderno. Sin embargo, esta distinción nunca tuvo éxito.

Es un error común creer que los epimorfismos son idénticos a las sobreyecciones o que son un concepto mejor. Por desgracia, esto no suele ser el caso; los epimorfismos pueden ser muy misteriosos y tener un comportamiento inesperado. Es muy difícil, por ejemplo, clasificar todos los epimorfismos de anillos. En general, los epimorfismos son su propio concepto único, relacionado con las sobreyecciones pero fundamentalmente diferentes.

Ver también

Notas

Referencias

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6 .
Bergman, George (2015). Una invitación al álgebra general y las construcciones universales . Saltador. ISBN 978-3-319-11478-1 .
Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica. Volumen 1: Teoría básica de categorías . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0521061193 .
Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974). Fundamentos de la teoría de categorías . Nauka. ISBN 5-02-014427-4 .
"Epimorfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2015). Conjuntos para matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-80444-2 .
Linderholm, Carl (1970). "Un epimorfismo de grupo es sobreyectivo" . American Mathematical Monthly . 77 : 176-177. doi : 10.1080 / 00029890.1970.11992448 .

enlaces externos

epimorfismo en nLab
Fuerte epimorfismo en nLab

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