Cambio de anillos - Change of rings

En álgebra, dado un homomorfismo de anillo , hay tres formas de cambiar el anillo de coeficiente de un módulo ; es decir, para un módulo R izquierdo M y un módulo S izquierdo N , ${\ Displaystyle f: R \ a S}$

• ${\ Displaystyle f _ {!} M = S \ otimes _ {R} M}$, el módulo inducido.
• ${\ Displaystyle f _ {*} M = \ operatorname {Hom} _ {R} (S, M)}$, el módulo coinducido.
• ${\ Displaystyle f ^ {*} N = N_ {R}}$, la restricción de escalares.

Están relacionados como functores adjuntos :

${\ displaystyle f _ {!}: {\ text {Mod}} _ {R} \ leftrightarrows {\ text {Mod}} _ {S}: f ^ {*}}$

y

${\ displaystyle f ^ {*}: {\ text {Mod}} _ {S} \ leftrightarrows {\ text {Mod}} _ {R}: f _ {*}.}$

Esto está relacionado con el lema de Shapiro .

Operaciones

Restricción de escalares

A lo largo de esta sección, sean y sean dos anillos (pueden ser conmutativos o no , o contener una identidad ), y sea ​​un homomorfismo. La restricción de escalares cambia los módulos S en módulos R. En geometría algebraica , el término "restricción de escalares" se usa a menudo como sinónimo de restricción de Weil . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle f: R \ a S}$

Definición

Supongamos que se acabó un módulo . Entonces se puede considerar como un módulo sobre donde la acción de se da a través de ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ begin {align} M \ times R & \ longrightarrow M \\ (m, r) & \ longmapsto m \ cdot f (r) \ end {alineado}}}$

donde denota la acción definida por la estructura -module en . ${\ Displaystyle m \ cdot f (r)}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle M}$

Interpretación como functor

La restricción de escalares puede verse como un functor de -modules a -modules. Un -homomorfismo se convierte automáticamente en un -homomorfismo entre las restricciones de y . De hecho, si y entonces ${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle u: M \ a N}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle m \ in M}$${\ Displaystyle r \ in R}$

${\ Displaystyle u (metro \ cdot r) = u (metro \ cdot f (r)) = u (metro) \ cdot f (r) = u (metro) \ cdot r \,}$.

Como functor, la restricción de escalares es el adjunto derecho de la extensión del functor de escalares.

Si es el anillo de números enteros, entonces este es solo el functor olvidadizo de módulos a grupos abelianos. ${\ Displaystyle R}$

Extensión de escalares

La extensión de los escalares cambia los módulos R en módulos S.

Definición

Sea un homomorfismo entre dos anillos y sea ​​un módulo terminado . Considere el producto tensorial , donde se considera un módulo a la izquierda vía . Dado que es también un módulo derecho sobre sí mismo, y las dos acciones conmutan, que es de , (en un lenguaje más formal, es un - bimodule ), hereda una acción correcta de . Viene dada por a , . Se dice que este módulo se obtiene mediante la extensión de escalares . ${\ Displaystyle f: R \ a S}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle M ^ {S} = M \ otimes _ {R} S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle r \ cdot (s \ cdot s ') = (r \ cdot s) \ cdot s'}$${\ Displaystyle r \ in R}$${\ Displaystyle s, s '\ in S}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle (R, S)}$${\ Displaystyle M ^ {S}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle (m \ otimes s) \ cdot s '= m \ otimes ss'}$${\ Displaystyle m \ in M}$${\ Displaystyle s, s '\ in S}$${\ Displaystyle M}$

De manera informal, la extensión de los escalares es "el producto tensorial de un anillo y un módulo"; más formalmente, es un caso especial de un producto tensorial de un bimódulo y un módulo: el producto tensorial de un módulo R con un módulo b es un módulo S.${\ Displaystyle (R, S)}$

Ejemplos de

Uno de los ejemplos más simples es la complexificación , que es la extensión de escalares de los números reales a los números complejos . De manera más general, dada cualquier extensión de campo K  <  L, se pueden extender escalares de K a L.En el lenguaje de los campos, un módulo sobre un campo se llama espacio vectorial y, por lo tanto, la extensión de escalares convierte un espacio vectorial sobre K en un espacio vectorial. espacio vectorial sobre L. Esto también se puede hacer para álgebras de división , como se hace en la cuaternionificación (extensión de los reales a los cuaterniones ).

De manera más general, dado un homomorfismo de un campo o anillo conmutativo R a un anillo S, el anillo S se puede considerar como un álgebra asociativa sobre R y , por lo tanto, cuando se extienden escalares en un módulo R , se puede pensar en el módulo resultante de alternativamente como un módulo S , o como un módulo R con una representación de álgebra de S (como un R -algebra). Por ejemplo, el resultado de complejizar un espacio vectorial real ( R = R , S = C ) se puede interpretar como un espacio vectorial complejo ( módulo S ) o como un espacio vectorial real con una estructura compleja lineal (representación en álgebra de S como un módulo R ).

Aplicaciones

Esta generalización es útil incluso para el estudio de campos; en particular, muchos objetos algebraicos asociados a un campo no son en sí mismos campos, sino que son anillos, como álgebras sobre un campo, como en la teoría de la representación . Así como se pueden extender escalares en espacios vectoriales, también se pueden extender escalares en álgebras grupales y también en módulos sobre álgebras grupales, es decir, representaciones grupales . Es particularmente útil relacionar cómo cambian las representaciones irreductibles bajo la extensión de escalares; por ejemplo, la representación del grupo cíclico de orden 4, dada por la rotación del plano en 90 °, es una representación real bidimensional irreductible , pero en extensión de escalares. a los números complejos, se divide en 2 representaciones complejas de dimensión 1. Esto corresponde al hecho de que el polinomio característico de este operador, es irreducible de grado 2 sobre los reales, pero factoriza en 2 factores de grado 1 sobre los números complejos - no tiene valores propios reales, sino 2 valores propios complejos. ${\ displaystyle x ^ {2} +1,}$

Interpretación como functor

La extensión de escalares se puede interpretar como un functor de -modules a -modules. Envía a , como arriba, y un -homomorfismo al -homomorfismo definido por . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M ^ {S}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle u: M \ a N}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle u ^ {S}: M ^ {S} \ to N ^ {S}}$${\ Displaystyle u ^ {S} = u \ otimes _ {R} {\ text {id}} _ {S}}$

Coextensión de escalares (módulo coinducido)

Relación entre la extensión de escalares y la restricción de escalares

Considere un -module y un -module . Dado un homomorfismo , defina como la composición${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle u \ in {\ text {Hom}} _ {R} (M, N_ {R})}$${\ Displaystyle Fu: M ^ {S} \ to N}$

${\ Displaystyle M ^ {S} = M \ otimes _ {R} S {\ xrightarrow {u \ otimes {\ text {id}} _ {S}}} N_ {R} \ otimes _ {R} S \ to NORTE}$,

donde está el último mapa . Este es un -homomorfismo y, por lo tanto, está bien definido y es un homomorfismo (de grupos abelianos ). ${\ Displaystyle n \ otimes s \ mapsto n \ cdot s}$${\ Displaystyle Fu}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle F: {\ text {Hom}} _ {R} (M, N_ {R}) \ to {\ text {Hom}} _ {S} (M ^ {S}, N)}$

En caso de que ambos y tengan identidad, existe un homomorfismo inverso , que se define de la siguiente manera. Deja . Entonces es la composicion ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle G: {\ text {Hom}} _ {S} (M ^ {S}, N) \ to {\ text {Hom}} _ {R} (M, N_ {R})}$${\ Displaystyle v \ in {\ text {Hom}} _ {S} (M ^ {S}, N)}$${\ displaystyle Gv}$

${\ Displaystyle M \ a M \ otimes _ {R} R {\ xrightarrow {{\ text {id}} _ {M} \ otimes f}} M \ otimes _ {R} S {\ xrightarrow {v}} N }$,

donde el primer mapa es el isomorfismo canónico . ${\ Displaystyle m \ mapsto m \ otimes 1}$

Esta construcción muestra que los grupos y son isomorfos. En realidad, este isomorfismo depende solo del homomorfismo , por lo que es funcional . En el lenguaje de la teoría de categorías , la extensión del functor escalar se deja adjunta a la restricción del functor escalar. ${\ Displaystyle {\ text {Hom}} _ {S} (M ^ {S}, N)}$${\ Displaystyle {\ text {Hom}} _ {R} (M, N_ {R})}$${\ Displaystyle f}$

Ver también

• Seis operaciones
• Producto tensorial de campos
• Adjunción tensor-hom

Referencias

• Dummit, David (2004). Álgebra abstracta . Foote, Richard M. (3 ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. págs.  359 –377. ISBN 0471452343. OCLC  248917264 .
• JP May, Notas sobre Tor y Ext
• NICOLAS BOURBAKI . Álgebra I, Capítulo II. ÁLGEBRA LINEAL §5. Extensión del anillo de escalares; §7. Espacios vectoriales. 1974 de Hermann.

Otras lecturas

• Inducción y coinducción de representaciones