Estructura compleja lineal - Linear complex structure
En matemáticas , una estructura compleja en un espacio vectorial real V es un automorfismo de V que los cuadrados a la menos identidad , - I . Tal estructura en V permite definir la multiplicación por escalares complejos de una manera canónica para considerar a V como un espacio vectorial complejo.
Cada espacio vectorial complejo puede equiparse con una estructura compleja compatible, sin embargo, en general, no existe tal estructura canónica. Las estructuras complejas tienen aplicaciones tanto en la teoría de la representación como en la geometría compleja, donde juegan un papel esencial en la definición de variedades casi complejas , en contraste con las variedades complejas . El término "estructura compleja" se refiere a menudo a esta estructura en múltiples; cuando en cambio se refiere a una estructura en espacios vectoriales, se le puede llamar una estructura compleja lineal .
Definición y propiedades
Una estructura compleja en un espacio vectorial real V es una transformación lineal real
tal que
Aquí J 2 medios J compuesta con sí mismo y Id V es el mapa de identidad en V . Es decir, el efecto de aplicar J dos veces es el mismo que la multiplicación por -1 . Esto recuerda a la multiplicación por la unidad imaginaria, i . Una estructura compleja permite dotar a V con la estructura de un espacio vectorial complejo . La multiplicación escalar compleja se puede definir por
para todos los números reales x , y y todos los vectores v en V . Se puede comprobar que esto, de hecho, dan V la estructura de un espacio vectorial complejo que denotamos V J .
El ir en la otra dirección, si se parte de un espacio vectorial complejo W entonces uno puede definir una estructura compleja en el espacio real subyacente mediante la definición de Jw = iw para todos w ∈ W .
Más formalmente, una estructura compleja lineal en un espacio vectorial real es una representación algebraica de los números complejos C , considerada como un álgebra asociativa sobre los números reales . Esta álgebra se realiza concretamente como
que corresponde a i 2 = −1 . Entonces, una representación de C es un espacio vectorial real V , junto con una acción de C sobre V (un mapa C → Fin ( V ) ). Concretamente, esto es sólo una acción de i , ya que esto genera el álgebra, y el operador que representa i (la imagen del i en End ( V ) ) es exactamente J .
Si V J tiene una dimensión compleja n, entonces V debe tener una dimensión real 2 n . Es decir, un espacio V de dimensión finita admite una estructura compleja solo si es de dimensión par. No es difícil ver que cada espacio vectorial de dimensión uniforme admite una estructura compleja. Uno puede definir J en pares e , f de base vectores por Je = f y Jf = - e y luego extender por linealidad a todos V . Si ( v 1 , ..., v n ) es una base para el espacio vectorial complejo V J luego ( v 1 , Jv 1 , ..., v n , Jv n ) es una base para el espacio real subyacente V .
Una transformación lineal real A : V → V es una transformación lineal compleja del correspondiente espacio complejo V J si y solo si A conmuta con J , es decir, si y solo si
Asimismo, un subespacio real U de V es un subespacio complejo de V J si y solo si J conserva U , es decir, si y solo si
Ejemplos de
C n
El ejemplo fundamental de una estructura compleja lineal es la estructura en R 2 n que proviene de la estructura compleja en C n . Es decir, el espacio complejo n -dimensional C n también es un espacio real 2 n -dimensional - usando la misma suma vectorial y multiplicación escalar real - mientras que la multiplicación por el número complejo i no es solo una transformada lineal compleja del espacio, pensó como un espacio vectorial complejo, pero también una transformación lineal real del espacio, pensado como un espacio vectorial real. Concretamente, esto se debe a que la multiplicación escalar por i conmuta con la multiplicación escalar por números reales y se distribuye a través de la suma de vectores. Como matriz compleja n × n , esta es simplemente la matriz escalar con i en la diagonal. El correspondiente verdadero 2 n × 2 n matriz se denota J .
Dada una base para el espacio complejo, este conjunto, junto con estos vectores multiplicado por i, es decir, formar una base para el espacio real. Hay dos formas naturales de ordenar esta base, que se corresponden de manera abstracta con si uno escribe el producto tensorial como o en su lugar como
Si se ordena la base como, entonces la matriz para J toma la forma diagonal de bloque (se agregan subíndices para indicar la dimensión):
Este ordenamiento tiene la ventaja de que respeta sumas directas de espacios vectoriales complejos, lo que significa que la base para es la misma que para
Por otro lado, si se ordena la base como , entonces la matriz para J es bloque-antidiagonal:
Este orden es más natural si se piensa en el espacio complejo como una suma directa de espacios reales, como se analiza a continuación.
Los datos del espacio vectorial real y la matriz J son exactamente los mismos que los datos del espacio vectorial complejo, ya que la matriz J permite definir la multiplicación compleja. A nivel de álgebras de Lie y grupos de Lie , esto corresponde a la inclusión de gl ( n , C ) en gl (2 n , R ) (álgebras de Lie - matrices, no necesariamente invertibles) y GL ( n , C ) en GL ( 2 n , R ):
- gl ( n , C ) <gl ( 2n , R ) y GL ( n , C ) <GL ( 2n , R ).
La inclusión corresponde a olvidar la estructura compleja (y mantener solo la real), mientras que el subgrupo GL ( n , C ) se puede caracterizar (dado en ecuaciones) como las matrices que conmutan con J:
El enunciado correspondiente sobre las álgebras de Lie es que las subálgebra gl ( n , C ) de matrices complejas son aquellas cuyo corchete de Lie con J desaparece, es decir, en otras palabras, como el núcleo del mapa del corchete con J,
Tenga en cuenta que las ecuaciones definitorias para estas declaraciones son las mismas, ya que es lo mismo que lo que es lo mismo, como si el significado de la desaparición del corchete de Lie fuera geométricamente menos inmediato que el significado de conmutación.
Suma directa
Si V es cualquier espacio vectorial real, existe una estructura compleja canónica en la suma directa V ⊕ V dada por
La forma de matriz de bloques de J es
donde es la aplicación identidad en V . Esto corresponde a la estructura compleja del producto tensorial
Compatibilidad con otras estructuras.
Si B es una forma bilineal en V, entonces decimos que J conserva B si
Si g es un producto interno de V, entonces J conserva g si y solo si J es una transformación ortogonal . Del mismo modo, J conserva un no degenerado , antisimétrica forma ω si y sólo si J es una transformación simpléctica (es decir, si ). Para formas simplécticas ω una condición de compatibilidad interesante entre J y ω es que
Dada una forma simpléctica ω y una estructura compleja lineal J en V , se puede definir una forma bilineal asociada g J en V por
Si la forma simpléctica ω es preservada (pero no necesariamente domesticada) por J , entonces g J es la parte real de la forma hermitiana (por convención antilineal en el primer argumento) definida por
Relación con las complejidades
Dado cualquier espacio vectorial real V, podemos definir su complexificación por extensión de escalares :
Este es un espacio vectorial complejo cuya dimensión compleja es igual a la dimensión real de V . Tiene una conjugación canónica compleja definida por
Si J es una estructura compleja en V , podemos extender J por linealidad a V C :
Dado que C es algebraicamente cerrado , se garantiza que J tiene valores propios que satisfacen λ 2 = −1, es decir, λ = ± i . Así podemos escribir
donde V + y V - son los espacios propios de + i y - i , respectivamente. La conjugación compleja intercambia V + y V - . Los mapas de proyección en los V ± eigenspaces están dados por
Así que eso
Hay un isomorfismo lineal complejo natural entre V J y V + , por lo que estos espacios vectoriales se pueden considerar el mismo, mientras que V - puede ser considerado como el complejo conjugado de V J .
Tenga en cuenta que si V J tiene una dimensión compleja n, entonces tanto V + como V - tienen una dimensión compleja n mientras que V C tiene una dimensión compleja 2 n .
De manera abstracta, si uno comienza con un espacio vectorial complejo W y toma la complejidad del espacio real subyacente, se obtiene un espacio isomorfo a la suma directa de W y su conjugado:
Deje V un espacio vectorial real con una estructura compleja J . El espacio dual V * tiene una estructura de complejo natural J * propuesta por el dual (o transposición ) de J . La complexificación del espacio dual ( V *) C tiene por tanto una descomposición natural
en los ± i eigenspaces de J *. Bajo la identificación natural de ( V *) C con ( V C ) * se puede caracterizar ( V *) + como aquellos funcionales lineales complejos que se desvanecen en V - . Asimismo ( V *) - consiste en aquellos funcionales lineales complejos que se desvanecen en V + .
El tensor (complejo) , las álgebras simétricas y exteriores sobre V C también admiten descomposiciones. El álgebra exterior es quizás la aplicación más importante de esta descomposición. En general, si un espacio vectorial U admite una descomposición U = S ⊕ T, entonces las potencias exteriores de U se pueden descomponer de la siguiente manera:
Por tanto, una estructura compleja J en V induce una descomposición
dónde
Todos los poderes exteriores se apoderan de los números complejos. Entonces, si V J tiene una dimensión compleja n (dimensión real 2 n ) entonces
Las dimensiones se suman correctamente como consecuencia de la identidad de Vandermonde .
El espacio de ( p , q ) -formas Λ p , q V J * es el espacio de (complejo) forma multilineal en V C que desaparecen en elementos homogéneos a menos que p son de V + y q son de V - . También es posible considerar Λ p , q V J * como el espacio de mapas multilineales reales de V J a C que son lineales complejos en términos p y lineales conjugados en términos q .
Ver forma diferencial compleja y variedad casi compleja para aplicaciones de estas ideas.
Ver también
- Variedad casi compleja
- Colector complejo
- Forma diferencial compleja
- Espacio vectorial conjugado complejo
- Estructura hermitiana
- Estructura real
Referencias
- Kobayashi S. y Nomizu K., Fundamentos de la geometría diferencial , John Wiley & Sons, 1969. ISBN 0-470-49648-7 . (las estructuras complejas se discuten en el Volumen II, Capítulo IX, Sección 1).
- Budinich, P. y Trautman, A. The Spinorial Chessboard , Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (las estructuras complejas se discuten en la sección 3.1).
- Goldberg SI, Curvature and Homology , Dover Publications, 1982. ISBN 0-486-64314-X . (las estructuras complejas y las variedades casi complejas se analizan en la sección 5.2).