Teorema de Belyi - Belyi's theorem
En matemáticas , el teorema de Belyi sobre curvas algebraicas establece que cualquier curva algebraica C no singular , definida por coeficientes numéricos algebraicos , representa una superficie de Riemann compacta que es una cubierta ramificada de la esfera de Riemann , ramificada solo en tres puntos.
Este es el resultado de GV Belyi de 1979. En ese momento se consideró sorprendente y estimuló a Grothendieck a desarrollar su teoría de dessins d'enfant , que describe curvas algebraicas no singulares sobre los números algebraicos utilizando datos combinatorios.
Cocientes del semiplano superior
De ello se deduce que la superficie de Riemann en cuestión puede tomarse como el cociente
- H / Γ
(donde H es el semiplano superior y Γ es un subgrupo de índice finito en el grupo modular ) compactado por cúspides . Dado que el grupo modular tiene subgrupos no congruencia , es no la conclusión de que cualquiera de tales curva es una curva modular .
Funciones de Belyi
Una función de Belyi es un mapa holomórfico desde una superficie compacta de Riemann S hasta la línea proyectiva compleja P 1 ( C ) ramificada solo en tres puntos, que después de una transformación de Möbius se puede considerar . Las funciones de Belyi pueden describirse combinatoriamente mediante dessins d'enfants .
Las funciones de Belyi y las dessins d'enfants —pero no el teorema de Belyi— datan al menos de la obra de Felix Klein ; los usó en su artículo ( Klein 1879 ) para estudiar una portada de 11 pliegues de la línea proyectiva compleja con el grupo de monodromía PSL (2,11).
Aplicaciones
El teorema de Belyi es un teorema de existencia para funciones de Belyi, y posteriormente se ha utilizado mucho en el problema inverso de Galois .
Referencias
- Serre, Jean-Pierre (1997). Conferencias sobre el teorema de Mordell-Weil . Aspectos de las matemáticas. 15 . Traducido del francés por Martin Brown de notas de Michel Waldschmidt (Tercera ed.). Friedr. Vieweg y Sohn, Braunschweig. doi : 10.1007 / 978-3-663-10632-6 . ISBN 3-528-28968-6. Señor 1757192 .
- Klein, Felix (1879). "Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen" [Transformación de undécimo orden de funciones elípticas]. Mathematische Annalen (en alemán). 15 (3–4): 533–555. doi : 10.1007 / BF02086276 .
- Belyĭ, Gennadiĭ Vladimirovich (1980). Traducido por Neal Koblitz . "Extensiones de Galois de un campo ciclotómico máximo". Matemáticas. URSS Izv . 14 (2): 247-256. doi : 10.1070 / IM1980v014n02ABEH001096 . Señor 0534593 .
Otras lecturas
- Girondo, Ernesto; González-Diez, Gabino (2012), Introducción a las superficies compactas de Riemann y dessins d'enfants , London Mathematical Society Student Texts, 79 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-74022-7, Zbl 1253.30001
- Wushi Goldring (2012), "Temas unificadores sugeridos por el teorema de Belyi", en Dorian Goldfeld; Jay Jorgenson; Peter Jones; Dinakar Ramakrishnan; Kenneth A. Ribet; John Tate (eds.), Teoría, análisis y geometría de números. En memoria de Serge Lang , Springer, págs. 181–214, ISBN 978-1-4614-1259-5