Integral de Riemann – Stieltjes - Riemann–Stieltjes integral
En matemáticas , la integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann , llamada así por Bernhard Riemann y Thomas Joannes Stieltjes . La definición de esta integral fue publicada por primera vez en 1894 por Stieltjes. Sirve como un precursor instructivo y útil de la integral de Lebesgue y una herramienta invaluable para unificar formas equivalentes de teoremas estadísticos que se aplican a la probabilidad discreta y continua.
Definicion formal
El Riemann-Stieltjes integral de una función real de una variable real en el intervalo con respecto a otra función-real-a bienes se denota por
Su definición utiliza una secuencia de particiones del intervalo.
La integral, entonces, se define como el límite, a medida que se aproxima la norma (la longitud del subintervalo más largo) de las particiones , de la suma aproximada
donde está en el i -ésimo subintervalo [ x i , x i +1 ]. Las dos funciones y se denominan respectivamente integrando e integrador . Por lo general, se considera monótono (o al menos de variación limitada ) y semicontinuo a la derecha (sin embargo, este último es esencialmente una convención). Específicamente, no requerimos que sea continuo, lo que permite integrales que tienen términos de masa puntual.
El "límite" se entiende aquí como un número A (el valor de la integral de Riemann-Stieltjes) tal que para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que para cada partición P con norma ( P ) < δ , y para cada elección de puntos c i en [ x i , x i +1 ],
Propiedades
La integral de Riemann-Stieltjes admite la integración por partes en la forma
y la existencia de una de las integrales implica la existencia de la otra.
Por otra parte, un resultado clásico muestra que la integral está bien definido si f es α - Hölder continuas y g es decir β -Hölder continuo con α + β > 1 .
Aplicación a la teoría de la probabilidad
Si g es la función de distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria X que tiene una función de densidad de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue , y f es cualquier función para la cual el valor esperado es finito, entonces la función de densidad de probabilidad de X es la derivada de g y tenemos
Pero esta fórmula no funciona si X no tiene una función de densidad de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue. En particular, no funciona si la distribución de X es discreta (es decir, toda la probabilidad se explica por masas puntuales), e incluso si la función de distribución acumulativa g es continua, no funciona si g no es absolutamente continuo (de nuevo, la función de Cantor puede servir como ejemplo de este fracaso). Pero la identidad
Se cumple si g es cualquier función de distribución de probabilidad acumulada en la línea real, sin importar cuán mal se comporte. En particular, no importa cuán mal se comporte la función de distribución acumulativa g de una variable aleatoria X , si el momento E ( X n ) existe, entonces es igual a
Aplicación al análisis funcional
Los aparece Riemann-Stieltjes integrales en la formulación original del teorema de F. Riesz que representa el espacio dual del espacio de Banach C [ un , b ] de funciones continuas en un intervalo [ a , b ] como integrales de Riemann-Stieltjes contra funciones de acotado variación . Posteriormente, ese teorema fue reformulado en términos de medidas.
La integral de Riemann-Stieltjes también aparece en la formulación del teorema espectral para operadores autoadjuntos (no compactos) (o más generalmente, normales) en un espacio de Hilbert. En este teorema, la integral se considera con respecto a una familia espectral de proyecciones.
Existencia de la integral
El mejor teorema de existencia simple establece que si f es continua y g es de variación acotada en [ a , b ], entonces la integral existe. Una función g es de variación acotada si y solo si es la diferencia entre dos funciones monótonas (acotadas). Si g no es de variación acotada, entonces habrá funciones continuas que no se pueden integrar con respecto a g . En general, la integral no está bien definida si f y g comparten puntos de discontinuidad , pero también hay otros casos.
Generalización
Una generalización importante es la integral de Lebesgue-Stieltjes , que generaliza la integral de Riemann-Stieltjes de una manera análoga a cómo la integral de Lebesgue generaliza la integral de Riemann. Si se permiten integrales impropias de Riemann-Stieltjes, entonces la integral de Lebesgue no es estrictamente más general que la integral de Riemann-Stieltjes.
La integral de Riemann-Stieltjes también generaliza al caso en que sea el integrando ƒ El integrador o g valores tomar en un espacio de Banach . Si g : [ a , b ] → X toma valores en el espacio de Banach X , entonces es natural suponer que tiene una variación fuertemente acotada , lo que significa que
el supremo se hace cargo de todas las particiones finitas
del intervalo [ a , b ]. Esta generalización juega un papel en el estudio de semigrupos , a través de la transformada de Laplace-Stieltjes .
La integral Itô extiende la integral de Riemann-Stietjes para abarcar integrandos e integradores que son procesos estocásticos en lugar de funciones simples; ver también cálculo estocástico .
Integral de Riemann-Stieltjes generalizada
Una ligera generalización es considerar en la definición anterior particiones P que refinan otra partición P ε , lo que significa que P surge de P ε por la adición de puntos, en lugar de particiones con una malla más fina. Específicamente, la integral de Riemann-Stieltjes generalizada de f con respecto a g es un número A tal que para cada ε > 0 existe una partición P ε tal que para cada partición P que refina P ε ,
para cada elección de puntos c i en [ x i , x i +1 ].
Esta generalización exhibe la integral de Riemann-Stieltjes como el límite de Moore-Smith en el conjunto dirigido de particiones de [ a , b ].
Una consecuencia es que con esta definición, la integral todavía se puede definir en los casos en que f y g tienen un punto de discontinuidad en común.
Sumas de Darboux
La integral de Riemann-Stieltjes se puede manejar de manera eficiente usando una generalización apropiada de las sumas de Darboux . Para una partición P y una función no decreciente g en [ a , b ], defina la suma de Darboux superior de f con respecto a g por
y la suma menor por
Entonces el Riemann-Stieltjes generalizado de f con respecto a g existe si y solo si, para todo ε> 0, existe una partición P tal que
Además, f es integrable de Riemann-Stieltjes con respecto a g (en el sentido clásico) si
Ejemplos y casos especiales
Diferenciable g ( x )
Dada una que es continuamente diferenciable más se puede demostrar que existe la igualdad
donde la integral del lado derecho es la integral de Riemann estándar, asumiendo que puede ser integrada por la integral de Riemann-Stieltjes.
De manera más general, la integral de Riemann es igual a la integral de Riemann-Stieltjes si es la integral de Lebesgue de su derivada; en este caso se dice que es absolutamente continuo .
Puede ser el caso que tiene discontinuidades de salto, o puede tener derivada cero en casi todas partes mientras sigue siendo continuo y creciente (por ejemplo, podría ser la función de Cantor o la "escalera del diablo"), en cualquiera de los casos la integral de Riemann-Stieltjes es no capturado por ninguna expresión que involucre derivadas de g .
Integral de Riemann
La integral de Riemann estándar es un caso especial de la integral de Riemann-Stieltjes donde .
Rectificador
Considere la función utilizada en el estudio de las redes neuronales , llamada unidad lineal rectificada (ReLU) . Entonces el Riemann – Stieltjes se puede evaluar como
donde la integral del lado derecho es la integral estándar de Riemann.
Integración Cavaliere
El principio de Cavalieri se puede utilizar para calcular áreas delimitadas por curvas utilizando integrales de Riemann-Stieltjes. Las tiras de integración de la integración de Riemann se reemplazan por tiras que no son de forma rectangular. El método consiste en transformar una "región de Cavaliere" con una transformación , o utilizarla como integrando.
Para una función dada en un intervalo , una "función de traslación" debe cruzarse exactamente una vez para cualquier cambio en el intervalo. Una "región de Cavaliere" está delimitada por , el eje -y . El área de la región es entonces
- donde y son los valores -donde y se cruzan .
Notas
Referencias
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