Descomposición de Wold - Wold's decomposition

En matemáticas , particularmente en la teoría de operadores , la descomposición de Wold o descomposición de Wold-von Neumann , llamada así por Herman Wold y John von Neumann , es un teorema de clasificación para operadores lineales isométricos en un espacio de Hilbert dado . Establece que cada isometría es una suma directa de copias del desplazamiento unilateral y un operador unitario .

En el análisis de series de tiempo , el teorema implica que cualquier proceso estocástico de tiempo discreto estacionario puede descomponerse en un par de procesos no correlacionados, uno determinista y el otro un proceso de promedio móvil .

Detalles

Sea H un espacio de Hilbert, L ( H ) los operadores acotados en H y V ∈ L ( H ) una isometría. La descomposición de Wold establece que cada isometría V toma la forma

${\ Displaystyle V = (\ oplus _ {\ alpha \ in A} S) \ oplus U}$

para algún conjunto de índices A , donde S es el desplazamiento unilateral en un espacio de Hilbert H _α , y U es un operador unitario (posiblemente vacío). La familia { H _α } consta de espacios de Hilbert isomorfos.

Se puede bosquejar una prueba de la siguiente manera. Las aplicaciones sucesivas de V dan una secuencia descendente de copias de H incrustadas isomórficamente en sí mismo:

${\ Displaystyle H = H \ supset V (H) \ supset V ^ {2} (H) \ supset \ cdots = H_ {0} \ supset H_ {1} \ supset H_ {2} \ supset \ cdots,}$

donde V ( H ) indica el rango de V . Lo definido anteriormente H _i  =  V ⁱ ( H ). Si uno define

${\ Displaystyle M_ {i} = H_ {i} \ ominus H_ {i + 1} = V ^ {i} (H \ ominus V (H)) \ quad {\ text {para}} \ quad i \ geq 0 \ ;,}$

luego

${\ Displaystyle H = (\ oplus _ {i \ geq 0} M_ {i}) \ oplus (\ cap _ {i \ geq 0} H_ {i}) = K_ {1} \ oplus K_ {2}.}$

Está claro que K ₁ y K ₂ son subespacios invariables de V .

Entonces V ( K ₂ ) = K ₂ . En otras palabras, V restringido a K ₂ es una isometría sobreyectiva, es decir, un operador unitario U .

Además, cada M _i es isomorfo a otro, siendo V un isomorfismo entre M _i y M _{i +1} : V "desplaza" M _i a M _{i +1} . Suponga que la dimensión de cada M _i es un número cardinal α . Vemos que K ₁ se puede escribir como una suma directa de espacios de Hilbert

${\ Displaystyle K_ {1} = \ oplus H _ {\ alpha}}$

donde cada uno H _α es un subespacios invariables de V y V restringidas a cada H _α es el cambio unilateral S . Por lo tanto

${\ Displaystyle V = V \ vert _ {K_ {1}} \ oplus V \ vert _ {K_ {2}} = (\ oplus _ {\ alpha \ in A} S) \ oplus U,}$

que es una descomposición de Wold de la V .

Observaciones

Es inmediato a partir de la descomposición de Wold que el espectro de cualquier isometría propia, es decir, no unitaria, es el disco unitario en el plano complejo.

Se dice que una isometría V es pura si, en la notación de la demostración anterior, ∩ _{i ≥0} H _i = {0}. La multiplicidad de una isometría puro V es la dimensión del núcleo de V * , es decir, la cardinalidad del conjunto de índices A en la descomposición de Wold de la V . En otras palabras, una isometría pura de multiplicidad N toma la forma

${\ Displaystyle V = \ oplus _ {1 \ leq \ alpha \ leq N} S.}$

En esta terminología, la descomposición de Wold expresa una isometría como una suma directa de una isometría pura y un operador unitario.

Un subespacio M se denomina subespacio errante de V si V ⁿ ( M ) ⊥ V ^m ( M ) para todo n ≠ m . En particular, cada M _i definido anteriormente es un subespacio errante de  V .

Una secuencia de isometrías

La descomposición anterior se puede generalizar ligeramente a una secuencia de isometrías, indexadas por números enteros.

El álgebra C * generada por una isometría

Considere una isometría V ∈ L ( H ). Denote por C * ( V ) la C * -álgebra generada por V , es decir, C * ( V ) es el cierre normativo de polinomios en V y V * . La descomposición de Wold se puede aplicar para caracterizar C * ( V ).

Deje C ( T ) sea las funciones continuas en el círculo unitario T . Recordemos que la C * -álgebra C * ( S ) generada por el desplazamiento unilateral S toma la siguiente forma

C * ( S ) = { T _f + K | T _f es un operador de Toeplitz con símbolo continuo f ∈ C ( T ) y K es un operador compacto }.

En esta identificación, S = T _z donde z es la función de identidad en C ( T ). El álgebra C * ( S ) se llama álgebra de Toeplitz .

El teorema (Coburn) C * ( V ) es isomorfo al álgebra de Toeplitz y V es la imagen isomorfa de T _z .

Las bisagras de la prueba sobre el conexiones con C ( T ), en la descripción de la álgebra de Toeplitz y que el espectro de un operador unitario está contenido en el círculo T .

Se necesitarán las siguientes propiedades del álgebra de Toeplitz:

1. ${\ Displaystyle T_ {f} + T_ {g} = T_ {f + g}. \,}$
2. ${\ Displaystyle T_ {f} ^ {*} = T _ {\ bar {f}}.}$
3. El semicomutador es compacto.${\ Displaystyle T_ {f} T_ {g} -T_ {fg} \,}$

La descomposición de Wold dice que V es la suma directa de copias de T _z y luego alguna U unitaria :

${\ Displaystyle V = (\ oplus _ {\ alpha \ in A} T_ {z}) \ oplus U.}$

Entonces invocamos el cálculo funcional continuo f → f ( U ), y definimos

${\ Displaystyle \ Phi: C ^ {*} (S) \ rightarrow C ^ {*} (V) \ quad {\ text {por}} \ quad \ Phi (T_ {f} + K) = \ oplus _ { \ alpha \ in A} (T_ {f} + K) \ oplus f (U).}$

Ahora se puede verificar que Φ es un isomorfismo que mapea el cambio unilateral a V :

Por la propiedad 1 anterior, Φ es lineal. El mapa Φ es inyectivo porque T _f no es compacto para cualquier f ∈ C ( T ) distinto de cero y, por lo tanto, T _f + K = 0 implica f = 0. Dado que el rango de Φ es un C * -álgebra, sur es sobreyectiva por la minimidad de C * ( V ). La propiedad 2 y el cálculo funcional continuo aseguran que Φ conserva la operación *. Finalmente, la propiedad del semicomutador muestra que Φ es multiplicativo. Por tanto, el teorema es válido.

Referencias

• Coburn, L. (1967). "El C * -álgebra de una isometría" . Toro. Amer. Matemáticas. Soc. 73 (5): 722–726. doi : 10.1090 / S0002-9904-1967-11845-7 .
• Constantinescu, T. (1996). Parámetros de Schur, problemas de factorización y dilatación . Teoría, avances y aplicaciones del operador. 82 . Birkhäuser. ISBN 3-7643-5285-X.
• Douglas, RG (1972). Técnicas de álgebra de Banach en teoría de operadores . Prensa académica. ISBN 0-12-221350-5.
• Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1985). Clases resistentes y teoría del operador . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-503591-7.