Isometría - Isometry

En matemáticas , una isometría (o congruencia , o transformación congruente ) es una transformación que preserva la distancia entre espacios métricos , generalmente asumida como biyectiva .

Una composición de dos isometrías opuestas es una isometría directa. Una reflexión en una línea es una isometría opuesta, como R ₁ o R ₂ en la imagen. La traslación T es una isometría directa: un movimiento rígido .

Introducción

Dado un espacio métrico (vagamente, un conjunto y un esquema para asignar distancias entre elementos del conjunto), una isometría es una transformación que mapea elementos al mismo u otro espacio métrico de manera que la distancia entre los elementos de la imagen en el nuevo espacio métrico es igual a la distancia entre los elementos en el espacio métrico original. En un espacio euclidiano bidimensional o tridimensional , dos figuras geométricas son congruentes si están relacionadas mediante una isometría; la isometría que los relaciona es un movimiento rígido (traslación o rotación), o una composición de un movimiento rígido y una reflexión .

Las isometrías se utilizan a menudo en construcciones donde un espacio está incrustado en otro espacio. Por ejemplo, la finalización de un espacio métrico M implica una isometría de M en M' , un conjunto cociente del espacio de secuencias de Cauchy en M . Por tanto, el espacio original M es isométricamente isomorfo a un subespacio de un espacio métrico completo , y normalmente se identifica con este subespacio. Otras construcciones de incrustación muestran que cada espacio métrico es isomórfico isomórfico a un subconjunto cerrado de algún espacio vectorial normalizado y que cada espacio métrico completo es isomórfico isomórfico a un subconjunto cerrado de algún espacio de Banach .

Un operador lineal sobreyectivo isométrico en un espacio de Hilbert se denomina operador unitario .

Definición de isometría

Deje que X y Y sean espacios métricas con métricas (por ejemplo, distancias) d _X y d _Y . Un mapa f  : X → Y se llama isometría o preservación de distancia si para cualquier a , b ∈ X uno tiene

${\ Displaystyle d_ {Y} \! \ left (f (a), f (b) \ right) = d_ {X} (a, b).}$

Una isometría es inyectable automáticamente ; de otro modo dos puntos distintos, un y b , podría ser asignada al mismo punto, contradiciendo de esta manera el axioma coincidencia de la métrica d . Esta prueba es similar a la prueba de que la inserción de un orden entre conjuntos parcialmente ordenados es inyectiva. Claramente, cada isometría entre espacios métricos es una incrustación topológica.

Una isometría global , isomorfismo isométrico o mapeo de congruencia es una isometría biyectiva . Como cualquier otra biyección, una isometría global tiene una función inversa . La inversa de una isometría global también es una isometría global.

Dos espacios métricos X y Y son llamados isométrica si hay una isometría biyectiva de X a Y . El conjunto de isometrías biyectivas de un espacio métrico a sí mismo forma un grupo con respecto a la composición de funciones , llamado grupo de isometría .

También existe la noción más débil de isometría de trayectoria o isometría de arco :

Una isometría de trayectoria o isometría de arco es un mapa que conserva las longitudes de las curvas ; tal mapa no es necesariamente una isometría en el sentido de preservación de la distancia, y no tiene por qué ser necesariamente biyectivo, ni siquiera inyectivo. Este término a menudo se abrevia a simplemente isometría , por lo que se debe tener cuidado de determinar a partir del contexto qué tipo se pretende.

Ejemplos de

• Cualquier reflexión , traslación y rotación es una isometría global en espacios euclidianos . Ver también grupo euclidiano y espacio euclidiano § Isometrías .
• El mapa en una isometría camino, pero no una isometría. Tenga en cuenta que, a diferencia de una isometría, no es inyectiva.${\ Displaystyle x \ mapsto | x |}$${\ Displaystyle {\ mathbb {R}}}$

Isometrías entre espacios normativos

El siguiente teorema se debe a Mazur y Ulam.

Definición : El punto medio de dos elementos de x y y en un espacio de vector es el vector 1/2( x + y ) .

Isometria lineal

Dados dos espacios vectoriales normativos y , una isometría lineal es un mapa lineal que conserva las normas: ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$ ${\ Displaystyle A: V \ a W}$

${\ Displaystyle \ | Av \ | = \ | v \ |}$

para todos . Las isometrías lineales son mapas que preservan la distancia en el sentido anterior. Son isometrías globales si y solo si son sobreyectivas . ${\ Displaystyle v \ in V}$

En un espacio de producto interior , la definición anterior se reduce a

${\ Displaystyle \ langle v, v \ rangle = \ langle Av, Av \ rangle}$

para todos , lo que equivale a decir eso . Esto también implica que las isometrías preservan los productos internos, como ${\ Displaystyle v \ in V}$${\ Displaystyle A ^ {\ dagger} A = \ operatorname {I} _ {V}}$

${\ Displaystyle \ langle Au, Av \ rangle = \ langle u, A ^ {\ dagger} Av \ rangle = \ langle u, v \ rangle.}$

Sin embargo, las isometrías lineales no siempre son operadores unitarios , ya que requieren adicionalmente que y . ${\ Displaystyle V = W}$${\ displaystyle AA ^ {\ dagger} = \ operatorname {I} _ {V}}$

Según el teorema de Mazur-Ulam , cualquier isometría de espacios vectoriales normalizados sobre R es afín .

Ejemplos de

• Los mapas lineales isométricos de C ⁿ a sí mismo vienen dados por las matrices unitarias .

Colectores

Una isometría de una variedad es cualquier mapeo (suave) de esa variedad en sí misma, o en otra variedad que conserva la noción de distancia entre puntos. La definición de isometría requiere la noción de métrica en la variedad; una variedad con una métrica (definida positiva) es una variedad Riemanniana , una con una métrica indefinida es una variedad pseudo-Riemanniana . Por tanto, las isometrías se estudian en geometría riemanniana .

Una isometría local de una variedad ( pseudo ) riemanniana a otra es un mapa que retrae el tensor métrico de la segunda variedad al tensor métrico de la primera. Cuando dicho mapa es también un difeomorfismo , dicho mapa se denomina isometría (o isomorfismo isométrico ) y proporciona una noción de isomorfismo ("igualdad") en la categoría Rm de las variedades de Riemann.

Definición

Sea y sea ​​dos variedades (pseudo) riemannianas, y sea ​​un difeomorfismo. Entonces se llama isometría (o isomorfismo isométrico ) si ${\ Displaystyle R = (M, g)}$${\ Displaystyle R '= (M', g ')}$${\ Displaystyle f: R \ to R '}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle g = f ^ {*} g ', \,}$

donde denota el retroceso del tensor métrico de rango (0, 2) por . De manera equivalente, en términos del empuje hacia adelante , tenemos que para dos campos vectoriales cualesquiera en (es decir, secciones del paquete tangente ), ${\ Displaystyle f ^ {*} g '}$${\ Displaystyle g '}$${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle f _ {*}}$${\ Displaystyle v, w}$${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {T} M}$

${\ Displaystyle g (v, w) = g '\ left (f _ {*} v, f _ {*} w \ right). \,}$

Si es un difeomorfismo local tal que , entonces se llama isometría local . ${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle g = f ^ {*} g '}$${\ Displaystyle f}$

Propiedades

Una colección de isometrías típicamente forma un grupo, el grupo de isometrías . Cuando el grupo es un grupo continuo , los generadores infinitesimales del grupo son los campos del vector Killing .

El teorema de Myers-Steenrod establece que cada isometría entre dos variedades de Riemannian conectadas es suave (diferenciable). Una segunda forma de este teorema establece que el grupo de isometría de una variedad de Riemann es un grupo de Lie .

Las variedades de Riemann que tienen isometrías definidas en cada punto se denominan espacios simétricos .

Generalizaciones

• Dado un número real positivo ε, una ε-isometría o casi isometría (también llamada aproximación de Hausdorff ) es un mapa entre espacios métricos tal que ${\ Displaystyle f: X \ to Y}$
  1. para x , x ′ ∈ X uno tiene | d _Y (ƒ ( x ), ƒ ( x ′)) - d _X ( x , x ′) | <ε, y
  2. para cualquier punto y ∈ Y existe un punto x ∈ X con d _Y ( y , ƒ ( x )) <ε

Es decir, una isometría ε conserva distancias dentro de ε y no deja ningún elemento del codominio más lejos que ε de la imagen de un elemento del dominio. Tenga en cuenta que no se supone que las isometrías ε sean continuas .

• La propiedad de isometría restringida caracteriza matrices casi isométricas para vectores dispersos.
• La cuasi-isometría es otra generalización útil.
• También se puede definir un elemento en un álgebra C * unital abstracta como una isometría:

  ${\ Displaystyle a \ in {\ mathfrak {A}}}$es una isometría si y solo si .${\ Displaystyle a ^ {*} \ cdot a = 1}$

Tenga en cuenta que, como se mencionó en la introducción, esto no es necesariamente un elemento unitario porque, en general, no se tiene que el inverso de la izquierda sea un inverso de la derecha.

• En un espacio pseudoeuclidiano , el término isometría significa una biyección lineal que conserva la magnitud. Consulte también espacios cuadráticos .

Ver también

Referencias

Bibliografía

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Bibliografía

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