Geometría simpléctica - Symplectic geometry

Retrato de fase del oscilador Van der Pol , un sistema unidimensional. El espacio de fases fue el objeto original de estudio en geometría simpléctica.

La geometría simpléctica es una rama de la geometría diferencial y la topología diferencial que estudia las variedades simplécticas ; es decir, variedades diferenciables equipados con un cerrado , no degenerado 2-forma . La geometría simpléctica tiene su origen en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, donde el espacio de fase de ciertos sistemas clásicos adquiere la estructura de una variedad simpléctica.

El término "simpléctico", introducido por Weyl , es un calco de "complejo"; anteriormente, el "grupo simpléctico" se había denominado "grupo complejo de líneas". "Complejo" proviene del latín com-plexus , que significa "trenzado juntos" (co- + plexus), mientras que simpléctico proviene del correspondiente griego sym-plektikos (συμπλεκτικός); en ambos casos el tallo proviene de la raíz indoeuropea * plek-. El nombre refleja las profundas conexiones entre estructuras complejas y simplécticas.

Según el teorema de Darboux , las variedades simplécticas son isomorfas al espacio vectorial simpléctico estándar a nivel local, por lo que solo tienen invariantes globales (topológicos). Por lo tanto, "geometría simpléctica" a menudo se usa indistintamente con el término "topología simpléctica".

Introducción

Una geometría simpléctica se define en un espacio uniforme y uniforme que es una variedad diferenciable . En este espacio se define un objeto geométrico, la forma simpléctica , que permite medir tamaños de objetos bidimensionales en el espacio . La forma simpléctica en la geometría simpléctica juega un papel análogo al del tensor métrico en la geometría riemanniana . Donde el tensor métrico mide longitudes y ángulos, la forma simpléctica mide áreas orientadas.

La geometría simpléctica surgió del estudio de la mecánica clásica y un ejemplo de estructura simpléctica es el movimiento de un objeto en una dimensión. Para especificar la trayectoria del objeto, se requieren tanto la posición q como el momento p , que forman un punto ( p , q ) en el plano euclidiano ℝ ² . En este caso, la forma simpléctica es

${\ Displaystyle \ omega = dp \ wedge dq}$

y es una forma de área que mide el área A de una región S en el plano a través de la integración:

${\ Displaystyle A = \ int _ {S} \ omega.}$

El área es importante porque a medida que los sistemas dinámicos conservadores evolucionan en el tiempo, esta área es invariante.

Las geometrías simplécticas de dimensiones superiores se definen de forma análoga. A 2 n -dimensional geometría simpléctica se forma de pares de direcciones

${\ Displaystyle ((x_ {1}, x_ {2}), (x_ {3}, x_ {4}), \ ldots (x_ {2n-1}, x_ {2n}))}$

en un 2 n colector -dimensional junto con un formulario simpléctico

${\ Displaystyle \ omega = dx_ {1} \ wedge dx_ {2} + dx_ {3} \ wedge dx_ {4} + \ cdots + dx_ {2n-1} \ wedge dx_ {2n}.}$

Esta forma simpléctica produce el tamaño de una región 2 n- dimensional V en el espacio como la suma de las áreas de las proyecciones de V en cada uno de los planos formados por los pares de direcciones.

${\ Displaystyle A = \ int _ {V} \ omega = \ int _ {V} dx_ {1} \ wedge dx_ {2} + \ int _ {V} dx_ {3} \ wedge dx_ {4} + \ cdots + \ int _ {V} dx_ {2n-1} \ wedge dx_ {2n}.}$

Comparación con la geometría de Riemann

La geometría simpléctica tiene una serie de similitudes y diferencias con la geometría de Riemann , que es el estudio de variedades diferenciables equipadas con 2 tensores simétricos no degenerados (llamados tensores métricos ). A diferencia del caso de Riemann, las variedades simplécticas no tienen invariantes locales como la curvatura . Esto es una consecuencia de teorema de Darboux que establece que una vecindad de cualquier punto de un 2 n variedad simpléctica -dimensional es isomorfo a la estructura simpléctica estándar en un conjunto abierto de ℝ ^{2 n} . Otra diferencia con la geometría de Riemann es que no toda variedad diferenciable necesita admitir una forma simpléctica; existen ciertas restricciones topológicas. Por ejemplo, cada variedad simpléctica es uniforme y orientable . Además, si M es una variedad simpléctica cerrada, entonces el segundo grupo de cohomología de De Rham H ² ( M ) no es trivial; esto implica, por ejemplo, que la única n -esfera que admite una forma simpléctica es la 2-esfera . Un paralelo que se puede trazar entre los dos sujetos es la analogía entre las geodésicas en la geometría de Riemann y las curvas pseudoholomorfas en la geometría simpléctica: las geodésicas son curvas de menor longitud (localmente), mientras que las curvas pseudoholomorfas son superficies de área mínima. Ambos conceptos juegan un papel fundamental en sus respectivas disciplinas.

Ejemplos y estructuras

Cada colector de Kähler es también un colector simpléctico. Hasta bien entrada la década de 1970, los expertos simplécticos no estaban seguros de si existía alguna variedad simpléctica compacta que no fuera de Kähler, pero desde entonces se han construido muchos ejemplos (el primero se debió a William Thurston ); en particular, Robert Gompf ha demostrado que cada grupo presentado de manera finita ocurre como el grupo fundamental de alguna 4-variedad simpléctica, en marcado contraste con el caso de Kähler.

La mayoría de las variedades simplécticas, se puede decir, no son Kähler; y por tanto no tienen una estructura compleja integrable compatible con la forma simpléctica. Mikhail Gromov , sin embargo, hizo la importante observación de que las variedades simplécticas admiten una abundancia de estructuras casi complejas compatibles , de modo que satisfacen todos los axiomas de una variedad de Kähler, excepto el requisito de que los mapas de transición sean holomórficos .

Gromov utilizó la existencia de estructuras casi complejas en variedades simplécticas para desarrollar una teoría de curvas pseudoholomórficas , que ha llevado a una serie de avances en topología simpléctica, incluida una clase de invariantes simplécticos ahora conocidos como invariantes de Gromov-Witten . Más tarde, utilizando la técnica de la curva pseudoholomórfica, Andreas Floer inventó otra herramienta importante en geometría simpléctica conocida como homología de Floer .

Ver también

Notas

Referencias

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 978-0-8053-0102-1.
• Arnol'd, VI (1986). "Первые шаги симплектической топологии" [Primeros pasos en topología simpléctica]. Успехи математических наук (en ruso). 41 (6 (252)): 3–18. doi : 10.1070 / RM1986v041n06ABEH004221 . ISSN  0036-0279 - vía Russian Mathematical Surveys , 1986, 41: 6, 1-21.
• McDuff, Dusa ; Salamon, D. (1998). Introducción a la topología simpléctica . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-850451-1.
• Fomenko, AT (1995). Geometría simpléctica (2ª ed.). Gordon y Breach. ISBN 978-2-88124-901-3. (Una introducción a nivel de pregrado).
• de Gosson, Maurice A. (2006). Geometría simpléctica y mecánica cuántica . Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 978-3-7643-7574-4.
• Weinstein, Alan (1981). "Geometría simpléctica" (PDF) . Boletín de la American Mathematical Society . 5 (1): 1–13. doi : 10.1090 / s0273-0979-1981-14911-9 .
• Weyl, Hermann (1939). Los grupos clásicos. Sus invariantes y representaciones .Reimpreso por Princeton University Press (1997). ISBN  0-691-05756-7 . Señor 0000255 .

enlaces externos

• Medios relacionados con la geometría simpléctica en Wikimedia Commons
• "Estructura simpléctica" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]