Representación regular - Regular representation

En matemáticas , y en particular en la teoría de las representaciones de grupo , la representación regular de un grupo G es la representación lineal proporcionada por la acción grupal de G sobre sí mismo mediante la traducción .

Se distingue la representación regular a la izquierda λ dada por la traslación a la izquierda y la representación regular a la derecha ρ dada por la inversa de la traslación a la derecha.

Grupos finitos

Para un grupo finito G , la representación regular de la izquierda λ (sobre un campo K ) es una representación lineal en el K -espacio vectorial V generado libremente por los elementos de G , i. mi. ellos pueden ser identificados con una base de V . Dado g  ∈  G , λ _g es el mapa lineal determinado por su acción sobre la base de la traslación a la izquierda por g , es decir

${\ Displaystyle \ lambda _ {g}: h \ mapsto gh, {\ text {para todos}} h \ en G.}$

Para la representación regular correcta ρ, debe ocurrir una inversión para satisfacer los axiomas de una representación. Específicamente, dado g  ∈  G , ρ _g es el mapa lineal en V determinado por su acción sobre la base de la traslación a la derecha por g ⁻¹ , es decir

${\ Displaystyle \ rho _ {g}: h \ mapsto hg ^ {- 1}, {\ text {para todos}} h \ en G. \}$

Alternativamente, estas representaciones pueden ser definidos en el K espacio-vector W de todas las funciones G → K . Es de esta forma que la representación regular se generaliza a grupos topológicos como los grupos de Lie .

La definición específica en términos de W es la siguiente. Dada una función f  : G → K y un elemento g  ∈  G ,

${\ Displaystyle (\ lambda _ {g} f) (x) = f (\ lambda _ {g} ^ {- 1} (x)) = f ({g} ^ {- 1} x)}$

y

${\ Displaystyle (\ rho _ {g} f) (x) = f (\ rho _ {g} ^ {- 1} (x)) = f (xg).}$

Importancia de la representación regular de un grupo

Cada grupo G actúa sobre sí mismo mediante traducciones. Si consideramos esta acción como una representación de permutación que se caracteriza por tener una sola órbita y estabilizador el subgrupo identidad { e } de G . La representación regular de G , para un campo dado K , es la representación lineal realizado mediante la adopción de esta representación de permutación como un conjunto de vectores de la base de un espacio vectorial sobre K . El significado es que, si bien la representación de permutación no se descompone, es transitiva , la representación regular en general se divide en representaciones más pequeñas. Por ejemplo, si G es un grupo finito y K es el campo de números complejos , la representación regular se descompone como una suma directa de representaciones irreductibles , y cada representación irreducible aparece en la descomposición con multiplicidad de su dimensión. El número de estos irreducibles es igual al número de clases de conjugación de G .

El hecho anterior puede explicarse mediante la teoría del carácter . Recordemos que el carácter de la χ regular de representación (g) es el número de puntos fijos de g que actúa sobre la representación regular V . Significa que el número de puntos fijos χ (g) es cero cuando g no es id y | G | de lo contrario. Sea V tiene la descomposición ⊕ a _i V _i donde V _i son representaciones irreducibles de G y a _i son las multiplicidades correspondientes. Mediante la teoría del carácter , la multiplicidad a _i se puede calcular como

${\ Displaystyle a_ {i} = \ langle \ chi, \ chi _ {i} \ rangle = {\ frac {1} {| G |}} \ sum {\ overline {\ chi (g)}} \ chi _ {i} (g) = {\ frac {1} {| G |}} \ chi (1) \ chi _ {i} (1) = \ operatorname {dim} V_ {i},}$ lo que significa que la multiplicidad de cada representación irreductible es su dimensión.

El artículo sobre anillos de grupo articula la representación regular para grupos finitos , además de mostrar cómo la representación regular puede tomarse como un módulo .

Punto de vista de la teoría del módulo

Para decir la construcción de manera más abstracta, el anillo de grupo K [ G ] se considera como un módulo sobre sí mismo. (Aquí hay una opción de acción izquierda o acción derecha, pero eso no es importante excepto para la notación). Si G es finito y la característica de K no divide | G |, este es un anillo semisimple y estamos mirando sus ideales de anillo izquierdo (derecho) . Esta teoría se ha estudiado en profundidad. Se sabe en particular que la suma descomposición directa de la representación regular contiene un representante de cada clase isomorfismo de representaciones lineales irreducibles de G más de K . Se puede decir que la representación regular es completa para la teoría de la representación, en este caso. El caso modular, cuando la característica de K divide | G |, es más difícil principalmente porque con K [ G ] no semisimple, una representación puede dejar de ser irreductible sin dividirse como una suma directa.

Estructura para grupos cíclicos finitos

Para un grupo cíclico C generado por g de orden n , la forma matricial de un elemento de K [ C ] que actúa sobre K [ C ] por multiplicación toma una forma distintiva conocida como matriz circulante , en la que cada fila es un cambio a la a la derecha del anterior (en orden cíclico , es decir, con el elemento más a la derecha que aparece a la izquierda), cuando se hace referencia a la base natural

1, g , g ² , ..., g ^{n −1} .

Cuando el campo K contiene una raíz n-ésima primitiva de la unidad , se puede diagonalizar la representación de C escribiendo n vectores propios simultáneos linealmente independientes para todos los n × n circulantes. De hecho, si ζ es una raíz n -ésima de la unidad, el elemento

1 + ζ g + ζ ² g ² + ... + ζ ^{n −1} g ^{n −1}

es un autovector para la acción de g por multiplicación, con autovalor

ζ ⁻¹

y así también un vector propio de todas las potencias de gy sus combinaciones lineales.

Esta es la forma explícita en este caso del resultado abstracto de que sobre un campo algebraicamente cerrado K (como los números complejos ) la representación regular de G es completamente reducible , siempre que la característica de K (si es un número primo p ) no divide el orden de G . Eso se llama teorema de Maschke . En este caso, la condición de la característica está implicada por la existencia de una raíz primitiva n -ésima de la unidad, lo que no puede suceder en el caso de la característica prima p que divide n .

Los determinantes circulantes se encontraron por primera vez en las matemáticas del siglo XIX y se trazó la consecuencia de su diagonalización. Es decir, el determinante de un circulante es el producto de los n autovalores para los n autovectores descritos anteriormente. El trabajo básico de Frobenius sobre representaciones de grupo comenzó con la motivación de encontrar factorizaciones análogas de los determinantes de grupo para cualquier G finito ; Es decir, los factores determinantes de matrices arbitrarias que representan elementos de K [ G ] que actúa por la multiplicación de los elementos de la base dadas por g en G . A menos que G sea abeliano , la factorización debe contener factores no lineales correspondientes a representaciones irreductibles de G de grado> 1.

Caso de grupo topológico

Para un grupo topológico G , la representación regular en el sentido anterior debe ser reemplazada por un espacio adecuado de funciones en G , con G actuando por traslación. Consulte el teorema de Peter-Weyl para el caso compacto . Si G es un grupo de Lie pero no compacto ni abeliano , este es un asunto difícil de análisis armónico . El caso abeliano localmente compacto es parte de la teoría de la dualidad de Pontryagin .

Bases normales en la teoría de Galois

En la teoría de Galois se muestra que para un campo L , y un grupo finito G de automorfismos de L , el campo fijo K de G tiene [ L : K ] = | G |. De hecho, podemos decir más: L visto como un módulo K [ G ] es la representación regular. Este es el contenido del teorema de base normal , una base normal de ser un elemento x de L tal que el g ( x ) para g en G son un espacio de vector base para L sobre K . Tales x existen, y cada uno da un isomorfismo K [ G ] de L a K [ G ]. Desde el punto de vista de la teoría algebraica de números es de interés estudiar las bases integrales normales , donde intentamos reemplazar L y K por los anillos de enteros algebraicos que contienen. Ya Uno puede ver en el caso de los enteros de Gauss que no pueden existir tales bases: un + bi y un - bi nunca puede formar un Z base -module de Z [ i ] porque 1 no puede ser una combinación de número entero. Las razones se estudian en profundidad en la teoría del módulo de Galois .

Álgebras más generales

La representación regular de un anillo de grupo es tal que las representaciones regulares de la izquierda y la derecha dan módulos isomorfos (y a menudo no necesitamos distinguir los casos). Dada un álgebra sobre un campo A , no tiene sentido inmediatamente preguntar acerca de la relación entre A como módulo izquierdo sobre sí mismo y como módulo derecho. En el caso del grupo, el mapeo de los elementos base g de K [ G ] definidos tomando el elemento inverso da un isomorfismo de K [ G ] a su anillo opuesto . Para A general, tal estructura se llama álgebra de Frobenius . Como su nombre lo indica, estos fueron introducidos por Frobenius en el siglo XIX. Se ha demostrado que están relacionados con la teoría de campos cuánticos topológicos en dimensiones 1 + 1 mediante una instancia particular de la hipótesis del cobordismo .

Ver también

• Representación fundamental
• Representación de permutación
• Representación cuasirregular

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor  1153249 . OCLC  246650103 .