Revestimiento ramificado - Branched covering

En matemáticas , una cobertura ramificada es un mapa que es casi un mapa de cobertura , excepto en un conjunto pequeño.

En topología

En topología, un mapa es una cobertura ramificada si es un mapa de cobertura en todas partes excepto en un conjunto denso en ninguna parte conocido como conjunto de ramificaciones. Los ejemplos incluyen el mapa de una cuña de círculos a un solo círculo, donde el mapa es un homeomorfismo en cada círculo.

En geometría algebraica

En geometría algebraica , el término cobertura ramificada se usa para describir morfismos de una variedad algebraica a otra , siendo las dos dimensiones iguales, y la fibra típica de ser de dimensión 0. ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle f}$

En ese caso, habrá un conjunto abierto de (para la topología de Zariski ) que es denso en , de modo que la restricción de a (de a , es decir) no está ramificada . Dependiendo del contexto, podemos tomar esto como homeomorfismo local para la topología fuerte , sobre los números complejos , o como un morfismo étale en general (bajo algunas hipótesis un poco más fuertes, sobre planitud y separabilidad ). Entonces, genéricamente , tal morfismo se asemeja a un espacio de cobertura en el sentido topológico. Por ejemplo, si y son ambas superficies de Riemann , solo requerimos que sea ​​holomórfica y no constante, y luego hay un conjunto finito de puntos de , fuera de los cuales encontramos una cobertura honesta ${\ Displaystyle W '}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle W '}$${\ Displaystyle V '= f ^ {- 1} (W')}$${\ Displaystyle W '}$${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle W}$

${\ Displaystyle V '\ to W'}$.

Locus de ramificación

El conjunto de puntos excepcionales en se denomina locus de ramificación (es decir, este es el complemento del conjunto abierto más grande posible ). En general, la monodromía se produce según el grupo fundamental de actuación sobre las láminas del revestimiento (este cuadro topológico se puede precisar también en el caso de un campo base general). ${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle W '}$${\ Displaystyle W '}$

Extensiones Kummer

Los revestimientos ramificados se construyen fácilmente como extensiones de Kummer , es decir, como extensión algebraica del campo funcional . Las curvas hiperelípticas son ejemplos prototípicos.

Revestimiento sin ramificar

Una cubierta sin ramificar es entonces la aparición de un lugar de ramificación vacío.

Ejemplos

Curva elíptica

Los morfismos de las curvas proporcionan muchos ejemplos de revestimientos ramificados. Por ejemplo, sea C la curva elíptica de la ecuación

${\ Displaystyle y ^ {2} -x (x-1) (x-2) = 0.}$

La proyección de C sobre el eje x es una cubierta ramificada con un lugar de ramificación dado por

${\ displaystyle x (x-1) (x-2) = 0.}$

Esto se debe a que para estos tres valores de x la fibra es el punto doble, mientras que para cualquier otro valor de x , la fibra consta de dos puntos distintos (sobre un campo algebraicamente cerrado ). ${\ Displaystyle y ^ {2} = 0,}$

Esta proyección induce una extensión algebraica del grado dos de los campos de función : Además, si tomamos los campos de fracción de los anillos conmutativos subyacentes, obtenemos el morfismo

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ to \ mathbb {C} (x) [y] / (y ^ {2} -x (x-1) (x-2))}$

Por tanto, esta proyección es una cobertura ramificada de grado 2. Esta se puede homogeneizar para construir una cobertura ramificada de grado 2 de la correspondiente curva elíptica proyectiva a la línea proyectiva.

Curva algebraica plana

El ejemplo anterior se puede generalizar a cualquier curva plana algebraica de la siguiente manera. Sea C una curva plana definida por la ecuación f ( x , y ) = 0 , donde f es un polinomio separable e irreducible en dos indeterminados. Si n es el grado de f en y , entonces la fibra consta de n puntos distintos, excepto por un número finito de valores de x . Por tanto, esta proyección es una cobertura ramificada de grado n .

Los valores excepcionales de x son las raíces del coeficiente de en f , y las raíces del discriminante de f con respecto ay . ${\ Displaystyle y ^ {n}}$

Sobre una raíz r del discriminante, hay al menos un punto ramificado, que es un punto crítico o un punto singular . Si r también es una raíz del coeficiente de en f , entonces este punto ramificado está " en el infinito ". ${\ Displaystyle y ^ {n}}$

Sobre una raíz s del coeficiente de en f , la curva C tiene una rama infinita y la fibra en s tiene menos de n puntos. Sin embargo, si se extiende la proyección a las terminaciones proyectivas de C y el eje x , y si s no es una raíz del discriminante, la proyección se convierte en una cobertura sobre una vecindad de s . ${\ Displaystyle y ^ {n}}$

El hecho de que esta proyección sea una cobertura ramificada de grado n también se puede ver considerando los campos de función . De hecho, esta proyección corresponde a la extensión de campo de grado n

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ to \ mathbb {C} (x) [y] / f (x, y).}$

Diversas ramificaciones

También podemos generalizar recubrimientos ramificados de la línea con diferentes grados de ramificación. Considere un polinomio de la forma

${\ Displaystyle f (x, y) = g (x)}$

a medida que elegimos diferentes puntos , las fibras dadas por el locus de fuga varían. En cualquier punto donde la multiplicidad de uno de los términos lineales en la factorización de aumenta en uno, hay una ramificación. ${\ Displaystyle x = \ alpha}$${\ Displaystyle f (\ alpha, y) -g (\ alpha)}$${\ Displaystyle f (\ alpha, y) -g (\ alpha)}$

Ejemplos de teoría de esquemas

Curvas elípticas

Los morfismos de curvas proporcionan muchos ejemplos de revestimientos ramificados de esquemas. Por ejemplo, el morfismo de una curva elíptica afín a una línea

${\ Displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ mathbb {C} [x, y]} / {(y ^ {2} -x (x-1) (x-2)} \ right) \ a {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x])}$

es una cubierta ramificada con un lugar de ramificación dado por

${\ Displaystyle X = {\ text {Spec}} \ left ({\ mathbb {C} [x]} / {(x (x-1) (x-2))} \ right)}$

Esto es porque en cualquier punto de en la fibra es el esquema ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {1}}$

${\ Displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ mathbb {C} [y]} / {(y ^ {2})} \ right)}$

Además, si tomamos los campos de fracción de los anillos conmutativos subyacentes, obtenemos el homomorfismo de campo

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ to {\ mathbb {C} (x) [y]} / {(y ^ {2} -x (x-1) (x-2))},}$

que es una extensión algebraica del grado dos; de ahí que tengamos una cobertura ramificada de grado 2 de una curva elíptica a la línea afín. Esto se puede homogeneizar para construir un morfismo de una curva elíptica proyectiva a . ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$

Curva hiperelíptica

Una curva hiperelíptica proporciona una generalización de la cobertura de grado anterior de la línea afín, considerando el esquema afín definido por un polinomio de la forma ${\ Displaystyle 2}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle y ^ {2} - \ prod (x-a_ {i})}$donde para${\ Displaystyle a_ {i} \ neq a_ {j}}$${\ Displaystyle i \ neq j}$

Recubrimientos de grado superior de la línea Affine

Podemos generalizar el ejemplo anterior tomando el morfismo

${\ Displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(f (y) -g (x))}} \ right) \ to {\ text {Spec}} (\ mathbb {C} [x])}$

donde no tiene raíces repetidas. Entonces el lugar de ramificación viene dado por ${\ Displaystyle g (x)}$

${\ Displaystyle X = {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x]} {(f (x))}} \ right)}$

donde las fibras están dadas por

${\ Displaystyle {\ text {Spec}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [y]} {(f (y))}} \ right)}$

Entonces, obtenemos un morfismo inducido de campos de fracciones

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ to {\ frac {\ mathbb {C} (x) [y]} {(f (y) -g (x))}}}$

Hay un isomorfismo de módulo del objetivo con ${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x)}$

${\ Displaystyle \ mathbb {C} (x) \ oplus \ mathbb {C} (x) \ cdot y \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbb {C} (x) \ cdot y ^ {{\ text {deg}} (f (y))}}$

De ahí que la cobertura sea de grado . ${\ Displaystyle {\ text {deg}} (f)}$

Curvas superelípticas

Las curvas superelípticas son una generalización de las curvas hiperelípticas y una especialización de la familia de ejemplos anterior, ya que están dadas por esquemas afines de polinomios de la forma ${\ Displaystyle X / \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle y ^ {k} -f (x)}$donde y no tiene raíces repetidas.${\ Displaystyle k> 2}$${\ Displaystyle f (x)}$

Recubrimientos ramificados de espacio proyectivo

Otra clase útil de ejemplos proviene de revestimientos ramificados de espacio proyectivo. Dado un polinomio homogéneo podemos construir un recubrimiento ramificado de con locus de ramificación ${\ Displaystyle f \ in \ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]} {f (x)}} \ right)}$

considerando el morfismo de los esquemas proyectivos

${\ displaystyle {\ text {Proj}} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}] [y]} {y ^ {{\ text {deg} " } (f)} - f (x)}} \ derecha) \ to \ mathbb {P} ^ {n}}$

Nuevamente, esta será una cobertura de grado . ${\ Displaystyle f}$

Aplicaciones

Los revestimientos ramificados vienen con un grupo de transformaciones de simetría . Dado que el grupo de simetría tiene estabilizadores en los puntos del locus de ramificación, las cubiertas ramificadas se pueden usar para construir ejemplos de orbifolds o pilas Deligne-Mumford . ${\ Displaystyle C \ a X}$${\ Displaystyle G}$

Ver también

• Morfismo étale
• Orbifold
• Stack (matemáticas)

Referencias

• Dimca, Alexandru (1992), Singularidades y topología de hiperesuperficies , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97709-6
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157 , OCLC  13348052
• Osserman, Brian, cubiertas ramificadas de la esfera de Riemann (PDF)