Teorema de no clonación - No-cloning theorem

Parte de una serie de artículos sobre
Mecánica cuántica
${\ Displaystyle i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Ecuación de Schrödinger
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En física , el teorema de no clonación establece que es imposible crear una copia independiente e idéntica de un estado cuántico desconocido arbitrario , una afirmación que tiene profundas implicaciones en el campo de la computación cuántica, entre otros. El teorema es una evolución del teorema de no ir de 1970 escrito por James Park, en el que demuestra que no puede existir un esquema de medición no perturbador que sea a la vez simple y perfecto (el mismo resultado se derivaría de forma independiente en 1982 por Wootters y Zurek así como Dieks el mismo año). Los teoremas antes mencionados no excluyen que el estado de un sistema se enrede con el estado de otro, ya que la clonación se refiere específicamente a la creación de un estado separable con factores idénticos. Por ejemplo, se podría usar la puerta NOT controlada y la puerta Walsh-Hadamard para entrelazar dos qubits sin violar el teorema de no clonación, ya que ningún estado bien definido puede definirse en términos de un subsistema de un estado entrelazado. El teorema de no clonación (como se entiende generalmente) se refiere solo a estados puros, mientras que el enunciado generalizado con respecto a los estados mixtos se conoce como teorema de no transmisión .

El teorema de no clonación tiene un dual inverso en el tiempo , el teorema de no eliminación . Juntos, estos apuntalan la interpretación de la mecánica cuántica en términos de teoría de categorías y, en particular, como una categoría compacta . Esta formulación, conocida como mecánica cuántica categórica , permite, a su vez, establecer una conexión entre la mecánica cuántica y la lógica lineal como la lógica de la teoría de la información cuántica (en el mismo sentido que la lógica intuicionista surge de categorías cerradas cartesianas ).

Historia

Según Asher Peres y David Kaiser , la publicación de la prueba de 1982 del teorema de no clonación por Wootters y Zurek y por Dieks fue impulsada por una propuesta de Nick Herbert para un dispositivo de comunicación superluminal que utiliza entrelazamiento cuántico , y Giancarlo Ghirardi había demostrado que teorema 18 meses antes de la prueba publicada por Wootters y Zurek en su informe de árbitro a dicha propuesta (como lo demuestra una carta del editor). Sin embargo, Ortigoso señaló en 2018 que Park ya entregó una prueba completa junto con una interpretación en términos de la falta de medidas simples no perturbadoras en mecánica cuántica en 1970.

Teorema y prueba

Supongamos que tenemos dos sistemas cuánticos A y B con un espacio de Hilbert común . Supongamos que queremos tener un procedimiento para copiar el estado del sistema cuántico A , sobre el estado del sistema cuántico B, para cualquier estado original (ver notación bra-ket ). Es decir, comenzando por el estado , queremos terminar con el estado . Para hacer una "copia" del estado A , lo combinamos con el sistema B en algún estado inicial desconocido, o en blanco, independiente del que no tenemos conocimiento previo. ${\ Displaystyle H = H_ {A} = H_ {B}}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ Displaystyle | e \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A} \ otimes | e \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A} \ otimes | \ phi \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | e \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$

El estado del sistema compuesto inicial se describe a continuación mediante el siguiente producto tensorial :

${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A} \ otimes | e \ rangle _ {B}.}$

(a continuación omitiremos el símbolo y lo mantendremos implícito). ${\ Displaystyle \ otimes}$

Solo hay dos operaciones cuánticas permitidas con las que podemos manipular el sistema compuesto:

• Podemos realizar una observación , que colapsa irreversiblemente el sistema en algún estado propio de un observable , corrompiendo la información contenida en los qubit (s) . Obviamente, esto no es lo que queremos.
• Alternativamente, podríamos controlar el hamiltoniano del combinado del sistema, y por tanto el operador de evolución temporal U ( t ), por ejemplo para un hamiltoniano independiente del tiempo, . Evolucionando hasta algún tiempo fijo se obtiene un operador unitario U en , el espacio de Hilbert del sistema combinado. Sin embargo, ningún operador unitario U puede clonar todos los estados.${\ Displaystyle U (t) = e ^ {- iHt / \ hbar}}$${\ Displaystyle t_ {0}}$ ${\ Displaystyle H \ otimes H}$

El teorema de no clonación responde negativamente a la siguiente pregunta: ¿Es posible construir un operador unitario U , actuando sobre el cual el estado en el que se encuentra el sistema B siempre evoluciona hacia el estado en el que se encuentra el sistema A, independientemente del estado el sistema A está en? ${\ Displaystyle H_ {A} \ otimes H_ {B} = H \ otimes H}$

Teorema : No existe un operador unitario U en tal que para todos los estados normalizados y en${\ Displaystyle H \ otimes H}$${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ Displaystyle | e \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle U (| \ phi \ rangle _ {A} | e \ rangle _ {B}) = e ^ {i \ alpha (\ phi, e)} | \ phi \ rangle _ {A} | \ phi \ rangle _ {B}}$

para algún número real dependiendo de y . ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle e}$

El factor de fase adicional expresa el hecho de que un estado mecánico-cuántico define un vector normalizado en el espacio de Hilbert solo hasta un factor de fase, es decir, como un elemento del espacio de Hilbert proyectivizado .

Para demostrar el teorema, seleccionamos un par arbitrario de estados y en el espacio de Hilbert . Debido a que se supone que U es unitario, tendríamos ${\ Displaystyle | \ phi \ rangle _ {A}}$${\ Displaystyle | \ psi \ rangle _ {A}}$${\ Displaystyle H}$

${\ Displaystyle \ langle \ phi | \ psi \ rangle \ langle e | e \ rangle \ equiv \ langle \ phi | _ {A} \ langle e | _ {B} | \ psi \ rangle _ {A} | e \ rangle _ {B} = \ langle \ phi | _ {A} \ langle e | _ {B} U ^ {\ dagger} U | \ psi \ rangle _ {A} | e \ rangle _ {B} = e ^ {-i (\ alpha (\ phi, e) - \ alpha (\ psi, e))} \ langle \ phi | _ {A} \ langle \ phi | _ {B} | \ psi \ rangle _ {A} | \ psi \ rangle _ {B} \ equiv e ^ {- i (\ alpha (\ phi, e) - \ alpha (\ psi, e))} \ langle \ phi | \ psi \ rangle ^ {2}. }$

Dado que se supone que el estado cuántico está normalizado, obtenemos ${\ Displaystyle | e \ rangle}$

${\ Displaystyle | \ langle \ phi | \ psi \ rangle | ^ {2} = | \ langle \ phi | \ psi \ rangle |.}$

Esto implica que o bien . Por lo tanto por la desigualdad de Cauchy-Schwarz ya sea o es ortogonal a . Sin embargo, este no puede ser el caso de dos estados arbitrarios . Por lo tanto, una sola U universal no puede clonar un estado cuántico general . Esto prueba el teorema de no clonación. ${\ Displaystyle | \ langle \ phi | \ psi \ rangle | = 1}$${\ Displaystyle | \ langle \ phi | \ psi \ rangle | = 0}$${\ Displaystyle \ phi = e ^ {i \ beta} \ psi}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ psi}$

Tome un qubit, por ejemplo. Puede representarse mediante dos números complejos , llamados amplitudes de probabilidad ( normalizadas a 1 ), es decir, tres números reales (dos ángulos polares y un radio). Copiar tres números en una computadora clásica usando cualquier operación de copiar y pegar es trivial (hasta una precisión finita) pero el problema se manifiesta si el qubit se transforma unitariamente (por ejemplo, por la puerta cuántica de Hadamard ) para polarizarse (cuya transformación unitaria es una sobreyectiva isometría ). En tal caso, el qubit se puede representar con solo dos números reales (un ángulo polar y un radio igual a 1), mientras que el valor del tercero puede ser arbitrario en tal representación. Sin embargo, la realización de un qubit (fotón codificado por polarización, por ejemplo) es capaz de almacenar todo el soporte de información de qubit dentro de su "estructura". Por tanto, ninguna evolución unitaria universal U puede clonar un estado cuántico arbitrario de acuerdo con el teorema de no clonación. Tendría que depender del estado qubit (inicial) transformado y, por lo tanto, no habría sido universal .

Generalización

En el enunciado del teorema, se hicieron dos suposiciones: el estado a copiar es un estado puro y el copiado propuesto actúa a través de la evolución unitaria en el tiempo. Estos supuestos no causan pérdida de generalidad. Si el estado que se va a copiar es un estado mixto , se puede purificar . Alternativamente, se puede dar una prueba diferente que funcione directamente con estados mixtos; en este caso, el teorema se conoce a menudo como teorema de no transmisión . De manera similar, se puede implementar una operación cuántica arbitraria introduciendo una ancilla y realizando una evolución unitaria adecuada. Por tanto, el teorema de la no clonación es válido en toda su generalidad.

Consecuencias

• El teorema de no clonación impide el uso de ciertas técnicas clásicas de corrección de errores en estados cuánticos. Por ejemplo, las copias de seguridad de un estado en medio de un cálculo cuántico no se pueden crear ni utilizar para corregir errores posteriores. La corrección de errores es vital para la computación cuántica práctica, y durante algún tiempo no estaba claro si era posible o no. En 1995, Shor y Steane demostraron que es mediante el diseño independiente de los primeros códigos de corrección de errores cuánticos , que eluden el teorema de no clonación.
• De manera similar, la clonación violaría el teorema de no teletransportación , que dice que es imposible convertir un estado cuántico en una secuencia de bits clásicos (incluso una secuencia infinita de bits), copiar esos bits en una nueva ubicación y recrear una copia de el estado cuántico original en la nueva ubicación. Esto no debe confundirse con la teletransportación asistida por entrelazamiento , que permite destruir un estado cuántico en un lugar y recrear una copia exacta en otro lugar.
• El teorema de no clonación está implícito en el teorema de no comunicación , que establece que el entrelazamiento cuántico no se puede utilizar para transmitir información clásica (ya sea de forma superluminal o más lenta). Es decir, la clonación, junto con el entrelazamiento, permitiría que ocurriera tal comunicación. Para ver esto, considere el experimento mental EPR y suponga que los estados cuánticos podrían clonarse. Suponga que las partes de un estado de Bell con entrelazamiento máximo se distribuyen a Alice y Bob. Alice podría enviar bits a Bob de la siguiente manera: si Alice desea transmitir un "0", mide el giro de su electrón en la dirección z , colapsando el estado de Bob a o . Para transmitir "1", Alice no hace nada con su qubit. Bob crea muchas copias del estado de su electrón y mide el giro de cada copia en la dirección z . Bob sabrá que Alice ha transmitido un "0" si todas sus mediciones producirán el mismo resultado; de lo contrario, sus mediciones tendrán resultados o con igual probabilidad. Esto permitiría a Alice y Bob comunicar bits clásicos entre sí (posiblemente a través de separaciones espaciales , violando la causalidad ).${\ Displaystyle | z + \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | z- \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | z + \ rangle _ {B}}$${\ Displaystyle | z- \ rangle _ {B}}$
• Los estados cuánticos no se pueden discriminar perfectamente.
• El teorema de no clonación impide una interpretación del principio holográfico de los agujeros negros en el sentido de que hay dos copias de información, una en el horizonte de sucesos y la otra en el interior del agujero negro. Esto conduce a interpretaciones más radicales, como la complementariedad de los agujeros negros .
• El teorema de no clonación se aplica a todas las categorías compactas de daga : no existe un morfismo de clonación universal para ninguna categoría no trivial de este tipo. Aunque el teorema es inherente a la definición de esta categoría, no es trivial ver que esto es así; la comprensión es importante, ya que esta categoría incluye cosas que no son espacios de Hilbert de dimensión finita, incluida la categoría de conjuntos y relaciones y la categoría de cobordismos .

Clonación imperfecta

Aunque es imposible hacer copias perfectas de un estado cuántico desconocido, es posible producir copias imperfectas. Esto se puede hacer acoplando un sistema auxiliar más grande al sistema que se va a clonar y aplicando una transformación unitaria al sistema combinado. Si la transformación unitaria se elige correctamente, varios componentes del sistema combinado se convertirán en copias aproximadas del sistema original. En 1996, V. Buzek y M. Hillery demostraron que una máquina de clonación universal puede hacer un clon de un estado desconocido con la sorprendentemente alta fidelidad de 5/6.

La clonación cuántica imperfecta se puede utilizar como un ataque de espionaje en los protocolos de criptografía cuántica , entre otros usos en la ciencia de la información cuántica.

Ver también

Referencias

Otras fuentes

• V. Buzek y M. Hillery, Clonación cuántica , Physics World 14 (11) (2001), págs. 25-29.