Lista de identidades logarítmicas - List of logarithmic identities

En matemáticas , existen muchas identidades logarítmicas . La siguiente es una compilación de los más notables, muchos de los cuales se utilizan con fines computacionales.

Identidades triviales

${\ Displaystyle \ log _ {b} (1) = 0}$	porque	${\ displaystyle b ^ {0} = 1}$, dado que b no es igual a 0
${\ Displaystyle \ log _ {b} (b) = 1}$	porque	${\ Displaystyle b ^ {1} = b}$

Cancelar exponenciales

Los logaritmos y exponenciales con la misma base se cancelan entre sí. Esto es cierto porque los logaritmos y las exponenciales son operaciones inversas, al igual que la multiplicación y la división son operaciones inversas y la suma y resta son operaciones inversas.

${\ Displaystyle b ^ {\ log _ {b} (x)} = x {\ text {porque}} {\ mbox {antilog}} _ {b} (\ log _ {b} (x)) = x}$

${\ Displaystyle \ log _ {b} (b ^ {x}) = x {\ text {porque}} \ log _ {b} ({\ mbox {antilog}} _ {b} (x)) = x}$

Ambos de los anteriores se derivan de las siguientes dos ecuaciones que definen un logaritmo:

${\ Displaystyle b ^ {c} = x \ iff \ log _ {b} (x) = c}$

Sustituir c en la ecuación de la izquierda da b ^{log _b ( x )} = x , y sustituir x en la derecha da log _b ( b ^c ) = c . Finalmente, reemplace c con x .

Usando operaciones más simples

Los logaritmos se pueden utilizar para facilitar los cálculos. Por ejemplo, dos números se pueden multiplicar simplemente usando una tabla de logaritmos y sumando. A menudo se conocen como propiedades logarítmicas, que se documentan en la tabla siguiente. Las primeras tres operaciones siguientes asumen que x = b ^c y / o y = b ^d , de modo que log _b ( x ) = c y log _b ( y ) = d . Las derivaciones también utilizan las definiciones logarítmicas x = b ^{log _b ( x )} y x = log _b ( b ^x ) .

${\ Displaystyle \ log _ {b} (xy) = \ log _ {b} (x) + \ log _ {b} (y)}$	porque	${\ Displaystyle b ^ {c} b ^ {d} = b ^ {c + d}}$
${\ Displaystyle \ log _ {b} ({\ tfrac {x} {y}}) = \ log _ {b} (x) - \ log _ {b} (y)}$	porque	${\ Displaystyle {\ tfrac {b ^ {c}} {b ^ {d}}} = b ^ {cd}}$
${\ Displaystyle \ log _ {b} (x ^ {d}) = d \ log _ {b} (x)}$	porque	${\ Displaystyle (b ^ {c}) ^ {d} = b ^ {cd}}$
${\ Displaystyle \ log _ {b} \ left ({\ sqrt [{y}] {x}} \ right) = {\ frac {\ log _ {b} (x)} {y}}}$	porque	${\ Displaystyle {\ sqrt [{y}] {x}} = x ^ {1 / y}}$
${\ Displaystyle x ^ {\ log _ {b} (y)} = y ^ {\ log _ {b} (x)}}$	porque	${\ Displaystyle x ^ {\ log _ {b} (y)} = b ^ {\ log _ {b} (x) \ log _ {b} (y)} = (b ^ {\ log _ {b} (y)}) ^ {\ log _ {b} (x)} = y ^ {\ log _ {b} (x)}}$
${\ Displaystyle c \ log _ {b} (x) + d \ log _ {b} (y) = \ log _ {b} (x ^ {c} y ^ {d})}$	porque	${\ Displaystyle \ log _ {b} (x ^ {c} y ^ {d}) = \ log _ {b} (x ^ {c}) + \ log _ {b} (y ^ {d})}$

Donde , y son números reales positivos y , y , y son números reales. ${\ Displaystyle b}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle b \ neq 1}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle d}$

Las leyes resultan de cancelar exponenciales y la ley de índices apropiada. Comenzando con la primera ley:

${\ Displaystyle xy = b ^ {\ log _ {b} (x)} b ^ {\ log _ {b} (y)} = b ^ {\ log _ {b} (x) + \ log _ {b } (y)} \ Flecha derecha \ log _ {b} (xy) = \ log _ {b} (b ^ {\ log _ {b} (x) + \ log _ {b} (y)}) = \ log _ {b} (x) + \ log _ {b} (y)}$

La ley de poderes explota otra de las leyes de los índices:

${\ Displaystyle x ^ {y} = (b ^ {\ log _ {b} (x)}) ^ {y} = b ^ {y \ log _ {b} (x)} \ Rightarrow \ log _ {b } (x ^ {y}) = y \ log _ {b} (x)}$

La ley relativa a los cocientes sigue entonces:

${\ Displaystyle \ log _ {b} {\ bigg (} {\ frac {x} {y}} {\ bigg)} = \ log _ {b} (xy ^ {- 1}) = \ log _ {b } (x) + \ log _ {b} (y ^ {- 1}) = \ log _ {b} (x) - \ log _ {b} (y)}$

${\ Displaystyle \ log _ {b} {\ bigg (} {\ frac {1} {y}} {\ bigg)} = \ log _ {b} (y ^ {- 1}) = - \ log _ { por)}$

De manera similar, la ley de la raíz se deriva reescribiendo la raíz como un poder recíproco:

${\ Displaystyle \ log _ {b} ({\ sqrt [{y}] {x}}) = \ log _ {b} (x ^ {\ frac {1} {y}}) = {\ frac {1 } {y}} \ log _ {b} (x)}$

Cambiar la base

${\ Displaystyle \ log _ {b} a = {\ frac {\ log _ {10} (a)} {\ log _ {10} (b)}}}$

Esta identidad es útil para evaluar logaritmos en calculadoras. Por ejemplo, la mayoría de las calculadoras tienen botones para ln y para log ₁₀ , pero no todas las calculadoras tienen botones para el logaritmo de una base arbitraria.

Considere la ecuación ${\ Displaystyle b ^ {c} = a}$

Tome la base logarítmica de ambos lados:${\ Displaystyle d}$${\ Displaystyle \ log _ {d} b ^ {c} = \ log _ {d} a}$

Simplifica y resuelve :${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle c \ log _ {d} b = \ log _ {d} a}$

${\ Displaystyle c = {\ frac {\ log a} {\ log b}}}$

Desde entonces${\ Displaystyle c = \ log _ {b} a}$${\ Displaystyle \ log _ {b} a = {\ frac {\ log _ {d} a} {\ log _ {d} b}}}$

Esta fórmula tiene varias consecuencias:

${\ Displaystyle \ log _ {b} a = {\ frac {1} {\ log _ {a} b}}}$

${\ Displaystyle \ log _ {b ^ {n}} a = {\ log _ {b} a \ over n}}$

${\ Displaystyle b ^ {\ log _ {a} d} = d ^ {\ log _ {a} b}}$

${\ Displaystyle - \ log _ {b} a = \ log _ {b} \ left ({1 \ over a} \ right) = \ log _ {1 / b} a}$

${\ Displaystyle \ log _ {b_ {1}} a_ {1} \, \ cdots \, \ log _ {b_ {n}} a_ {n} = \ log _ {b _ {\ pi (1)}} a_ {1} \, \ cdots \, \ log _ {b _ {\ pi (n)}} a_ {n},}$

donde es cualquier permutación de los subíndices 1, ...,  n . Por ejemplo ${\ textstyle \ pi}$

${\ Displaystyle \ log _ {b} w \ cdot \ log _ {a} x \ cdot \ log _ {d} c \ cdot \ log _ {d} z = \ log _ {d} w \ cdot \ log _ {b} x \ cdot \ log _ {a} c \ cdot \ log _ {d} z.}$

Suma / resta

La siguiente regla de suma / resta es especialmente útil en la teoría de la probabilidad cuando se trata de una suma de probabilidades logarítmicas:

${\ Displaystyle \ log _ {b} (a + c) = \ log _ {b} a + \ log _ {b} \ left (1 + {\ frac {c} {a}} \ right)}$	porque	${\ Displaystyle \ left (a + c \ right) = a \ times \ left (1 + {\ frac {c} {a}} \ right)}$
${\ Displaystyle \ log _ {b} (ac) = \ log _ {b} a + \ log _ {b} \ left (1 - {\ frac {c} {a}} \ right)}$	porque	${\ Displaystyle \ left (ac \ right) = a \ times \ left (1 - {\ frac {c} {a}} \ right)}$

Tenga en cuenta que la identidad de la resta no se define si , ya que el logaritmo de cero no está definido. También tenga en cuenta que, al programar, y puede tener que cambiarse en el lado derecho de las ecuaciones para evitar perder el "1 +" debido a errores de redondeo. Muchos lenguajes de programación tienen una función específica que calcula sin subdesarrollo (cuando es pequeño). ${\ Displaystyle a = c}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle c}$${\ Displaystyle c >> a}$log1p(x)${\ Displaystyle \ log _ {e} (1 + x)}$${\ Displaystyle x}$

Más generalmente:

${\ Displaystyle \ log _ {b} \ sum \ limits _ {i = 0} ^ {N} a_ {i} = \ log _ {b} a_ {0} + \ log _ {b} \ left (1+ \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {a_ {i}} {a_ {0}}} \ right) = \ log _ {b} a_ {0} + \ log _ {b } \ left (1+ \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {N} b ^ {\ left (\ log _ {b} a_ {i} - \ log _ {b} a_ {0} \ right) }\Derecha)}$

Exponentes

Una identidad útil que involucra exponentes:

${\ Displaystyle x ^ {\ frac {\ log (\ log (x))} {\ log (x)}} = \ log (x)}$

o más universalmente:

${\ Displaystyle x ^ {\ frac {\ log (a)} {\ log (x)}} = a}$

Otras identidades / resultantes

${\ Displaystyle {\ frac {1} {{\ frac {1} {\ log _ {x} (a)}} + {\ frac {1} {\ log _ {y} (a)}}}} = \ log _ {xy} (a)}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {{\ frac {1} {\ log _ {x} (a)}} - {\ frac {1} {\ log _ {y} (a)}}}} = \ log _ {\ frac {x} {y}} (a)}$

Desigualdades

Basado en, y

${\ Displaystyle {\ frac {x} {1 + x}} \ leq \ ln (1 + x) \ leq {\ frac {x (6 + x)} {6 + 4x}} \ leq x {\ mbox { para todos}} {- 1} <x}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {2x} {2 + x}} y \ leq 3 - {\ sqrt {\ frac {27} {3 + 2x}}} \ leq {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x + x ^ {2} / 12}}} \\ [4pt] & \ leq \ ln (1 + x) \ leq {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x}} } \ leq {\ frac {x} {2}} {\ frac {2 + x} {1 + x}} \\ [4pt] & {\ text {for}} 0 \ leq x {\ text {, reverso para}} {- 1} <x \ leq 0 \ end {alineado}}}$

Todos son precisos , pero no para grandes números. ${\ Displaystyle x = 0}$

Identidades de cálculo

Limites

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ log _ {a} (x) = - \ infty \ quad {\ mbox {if}} a> 1}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} \ log _ {a} (x) = \ infty \ quad {\ mbox {if}} 0 <a <1}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} \ log _ {a} (x) = \ infty \ quad {\ mbox {if}} a> 1}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} \ log _ {a} (x) = - \ infty \ quad {\ mbox {if}} 0 <a <1}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {b} \ log _ {a} (x) = 0 \ quad {\ mbox {if}} b> 0}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ log _ {a} (x)} {x ^ {b}}} = 0 \ quad {\ mbox {if}} b> 0}$

El último límite a menudo se resume como "los logaritmos crecen más lentamente que cualquier potencia o raíz de x ".

Derivadas de funciones logarítmicas

${\ Displaystyle {d \ over dx} \ ln x = {1 \ over x},}$

${\ Displaystyle {d \ over dx} \ log _ {b} x = {1 \ over x \ ln b},}$

Donde , , y . ${\ Displaystyle x> 0}$${\ Displaystyle b> 0}$${\ Displaystyle b \ neq 1}$

Definición integral

${\ Displaystyle \ ln x = \ int _ {1} ^ {x} {\ frac {1} {t}} dt}$

Integrales de funciones logarítmicas

${\ Displaystyle \ int \ log _ {a} x \, dx = x (\ log _ {a} x- \ log _ {a} e) + C}$

Para recordar integrales superiores, es conveniente definir

${\ Displaystyle x ^ {\ left [n \ right]} = x ^ {n} (\ log (x) -H_ {n})}$

donde está el n- ^ésimo número armónico : ${\ Displaystyle H_ {n}}$

${\ displaystyle x ^ {\ left [0 \ right]} = \ log x}$

${\ Displaystyle x ^ {\ left [1 \ right]} = x \ log (x) -x}$

${\ Displaystyle x ^ {\ left [2 \ right]} = x ^ {2} \ log (x) - {\ begin {matrix} {\ frac {3} {2}} \ end {matrix}} x ^ {2}}$

${\ Displaystyle x ^ {\ left [3 \ right]} = x ^ {3} \ log (x) - {\ begin {matrix} {\ frac {11} {6}} \ end {matrix}} x ^ {3}}$

Luego

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} \, x ^ {\ left [n \ right]} = nx ^ {\ left [n-1 \ right]}}$

${\ Displaystyle \ int x ^ {\ left [n \ right]} \, dx = {\ frac {x ^ {\ left [n + 1 \ right]}} {n + 1}} + C}$

Aproximación de números grandes

Las identidades de los logaritmos se pueden utilizar para aproximar números grandes. Nota que log _b ( un ) + log _b ( c ) = log _b ( ac ) , donde un , b , y c son constantes arbitrarias. Suponga que uno quiere aproximar el número 44 primo de Mersenne , 2 ^32,582,657 −1 . Para obtener el logaritmo en base 10, multiplicaríamos 32,582,657 por log ₁₀ (2) , obteniendo 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543 . Entonces podemos obtener 10 ^9.808.357 × 10 ^0.09543 ≈ 1.25 × 10 ^9.808.357 .

De manera similar, los factoriales se pueden aproximar sumando los logaritmos de los términos.

Identidades de logaritmos complejos

El logaritmo complejo es el análogo de número complejo de la función logaritmo. Ninguna función de valor único en el plano complejo puede satisfacer las reglas normales de los logaritmos. Sin embargo, se puede definir una función multivalor que satisfaga la mayoría de las identidades. Es habitual considerar esto como una función definida en una superficie de Riemann . Se puede definir una versión de valor único, llamada valor principal del logaritmo, que es discontinua en el eje x negativo y es igual a la versión de valores múltiples en un solo corte de rama .

Definiciones

En lo que sigue, se usa una primera letra mayúscula para el valor principal de las funciones, y la versión en minúscula se usa para la función multivalor. La versión de valor único de las definiciones e identidades siempre se da primero, seguida de una sección separada para las versiones de valor múltiple.

ln ( r ) es el logaritmo natural estándar del número real r .

Arg ( z ) es el valor principal de la función arg ; su valor está restringido a (−π, π] . Se puede calcular usando Arg ( x  +  iy ) =  atan2 ( y ,  x ) .

Log ( z ) es el valor principal de la función de logaritmo complejo y tiene una parte imaginaria en el rango (−π, π] .

${\ Displaystyle \ operatorname {Log} (z) = \ ln (| z |) + i \ operatorname {Arg} (z)}$

${\ displaystyle e ^ {\ operatorname {Log} (z)} = z}$

La versión de valor múltiple de log ( z ) es un conjunto, pero es más fácil escribirlo sin llaves y usarlo en fórmulas sigue reglas obvias.

log ( z ) es el conjunto de números complejos v que satisfacen e ^v = z

arg ( z ) es el conjunto de valores posibles de la función arg aplicada a z .

Cuando k es cualquier número entero:

${\ Displaystyle \ log (z) = \ ln (| z |) + i \ arg (z)}$

${\ Displaystyle \ log (z) = \ operatorname {Log} (z) +2 \ pi ik}$

${\ Displaystyle e ^ {\ log (z)} = z}$

Constantes

Formas de valor principal:

${\ Displaystyle \ operatorname {Log} (1) = 0}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Log} (e) = 1}$

Formas de valor múltiple, para cualquier k un entero:

${\ Displaystyle \ log (1) = 0 + 2 \ pi ik}$

${\ Displaystyle \ log (e) = 1 + 2 \ pi ik}$

Suma

Formas de valor principal:

${\ Displaystyle \ operatorname {Log} (z_ {1}) + \ operatorname {Log} (z_ {2}) = \ operatorname {Log} (z_ {1} z_ {2}) {\ pmod {2 \ pi i }}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Log} (z_ {1}) - \ operatorname {Log} (z_ {2}) = \ operatorname {Log} (z_ {1} / z_ {2}) {\ pmod {2 \ pi I}}}$

Formas de valor múltiple:

${\ Displaystyle \ log (z_ {1}) + \ log (z_ {2}) = \ log (z_ {1} z_ {2})}$

${\ Displaystyle \ log (z_ {1}) - \ log (z_ {2}) = \ log (z_ {1} / z_ {2})}$

Potestades

Una potencia compleja de un número complejo puede tener muchos valores posibles.

Forma de valor principal:

${\ Displaystyle {z_ {1}} ^ {z_ {2}} = e ^ {z_ {2} \ operatorname {Log} (z_ {1})}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Log} {\ left ({z_ {1}} ^ {z_ {2}} \ right)} = z_ {2} \ operatorname {Log} (z_ {1}) {\ pmod {2 \ pi i}}}$

Formas de valor múltiple:

${\ Displaystyle {z_ {1}} ^ {z_ {2}} = e ^ {z_ {2} \ log (z_ {1})}}$

Donde k ₁ , k ₂ son números enteros:

${\ Displaystyle \ log {\ left ({z_ {1}} ^ {z_ {2}} \ right)} = z_ {2} \ log (z_ {1}) + 2 \ pi ik_ {2}}$

${\ Displaystyle \ log {\ left ({z_ {1}} ^ {z_ {2}} \ right)} = z_ {2} \ operatorname {Log} (z_ {1}) + z_ {2} 2 \ pi ik_ {1} +2 \ pi ik_ {2}}$

Ver también

• Lista de fórmulas que involucran π  - artículo de la lista de Wikipedia
• Lista de integrales de funciones logarítmicas  - artículo de la lista de Wikipedia
• Lista de identidades matemáticas  - artículo de la lista de Wikipedia
• Listas de temas de matemáticas  - artículo de la lista de Wikipedia
• Lista de identidades trigonométricas  - Igualdades que involucran funciones trigonométricas

Referencias

enlaces externos

• Logaritmo en Mathwords