Identidad (matemáticas) - Identity (mathematics)
En matemáticas , una identidad es una igualdad que relaciona una expresión matemática A con otra expresión matemática B , de manera que A y B (que pueden contener algunas variables ) producen el mismo valor para todos los valores de las variables dentro de un cierto rango de validez. En otras palabras, A = B es una identidad si A y B definen las mismas funciones , y una identidad es una igualdad entre funciones que se definen de manera diferente. Por ejemplo, y son identidades. Las identidades a veces se indican con el símbolo de barra triple ≡ en lugar de = , el signo igual .
Identidades comunes
Identidades algebraicas
Ciertas identidades, como y , forman la base del álgebra, mientras que otras identidades, como y , pueden ser útiles para simplificar expresiones algebraicas y expandirlas.
Identidades trigonométricas
Geométricamente, las identidades trigonométricas son identidades que involucran ciertas funciones de uno o más ángulos . Son distintas de las identidades de triángulos , que son identidades que involucran tanto ángulos como longitudes de lados de un triángulo . En este artículo solo se tratan los primeros.
Estas identidades son útiles cuando es necesario simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es la integración de funciones no trigonométricas: una técnica común que implica usar primero la regla de sustitución con una función trigonométrica y luego simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.
Uno de los ejemplos más destacados de identidades trigonométricas involucra la ecuación que es verdadera para todos los valores complejos de (ya que los números complejos forman el dominio del seno y el coseno). Por otro lado, la ecuación
solo es cierto para ciertos valores de , no todos (ni para todos los valores en un vecindario ). Por ejemplo, esta ecuación es verdadera cuando pero falsa cuando .
Otro grupo de identidades trigonométricas se refiere a las denominadas fórmulas de suma / resta (por ejemplo, la identidad de doble ángulo , la fórmula de suma para ), que se pueden utilizar para descomponer expresiones de ángulos más grandes en aquellas con constituyentes más pequeños.
Identidades exponenciales
Las siguientes identidades son válidas para todos los exponentes enteros, siempre que la base no sea cero:
A diferencia de la suma y la multiplicación, la potenciación no es conmutativa . Por ejemplo, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 y 2 · 3 = 3 · 2 = 6 , pero 2 3 = 8 , mientras que 3 2 = 9 .
Y a diferencia de la suma y la multiplicación, la exponenciación tampoco es asociativa . Por ejemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 y (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24 , pero 2 3 al 4 es 8 4 (o 4,096), mientras que 2 a 3 4 es 2 81 (o 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Sin paréntesis para modificar el orden de cálculo, por convención el orden es de arriba hacia abajo, no de abajo hacia arriba:
Identidades logarítmicas
Varias fórmulas importantes, a veces llamadas identidades logarítmicas o leyes logarítmicas, relacionan los logaritmos entre sí.
Producto, cociente, potencia y raíz
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los números que se multiplican; el logaritmo de la razón de dos números es la diferencia de los logaritmos. El logaritmo de la p -ésima potencia de un número es p multiplicado por el logaritmo del número mismo; el logaritmo de una raíz p - ésima es el logaritmo del número dividido por p . La siguiente tabla enumera estas identidades con ejemplos. Cada una de las identidades se puede derivar después de la sustitución de las definiciones de logaritmo x = b log b (x) , y / o y = b log b (y) , en los lados izquierdos.
Fórmula | Ejemplo | |
---|---|---|
producto | ||
cociente | ||
energía | ||
raíz |
Cambio de base
El logaritmo log b ( x ) se puede calcular a partir de los logaritmos de x y b con respecto a una base arbitraria k utilizando la siguiente fórmula:
Las calculadoras científicas típicas calculan los logaritmos en bases 10 ye . Los logaritmos con respecto a cualquier base b se pueden determinar usando cualquiera de estos dos logaritmos mediante la fórmula anterior:
Dado un número x y su logaritmo log b ( x ) en una base desconocida b , la base está dada por:
Identidades de funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas de forma similar a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn establece que uno puede convertir cualquier identidad trigonométrica en una identidad hiperbólica expandiéndola completamente en términos de potencias integrales de senos y cosenos, cambiando de seno a seno y coseno a cosh, y cambiando el signo de cada término que contiene un producto de 2, 6, 10, 14, ... sinhs.
La función de Gudermann da una relación directa entre las funciones circulares y las hiperbólicas que no involucra números complejos.
Lógica y álgebra universal
En la lógica matemática y en álgebra universal , una identidad se define como una fórmula de la forma " ∀ x 1 , ..., x n . S = t ", donde s y t son términos sin otros variables libres que x 1 , ..., x n . El prefijo cuantificador ("∀ x 1 , ..., x n .") A menudo se deja implícito, en particular en el álgebra universal. Por ejemplo, los axiomas de un monoide a menudo se dan como el conjunto de identidad
- { ∀ x , y , z . x * ( y * z ) = ( x * y ) * z , ∀ x . x * 1 = x , ∀ x . 1 * x = x },
o, en notación corta, como
- { x * ( y * z ) = ( x * y ) * z , x * 1 = x , 1 * x = x }.
Algunos autores utilizan el nombre "ecuación" en lugar de "identidad".
Ver también
Referencias
Notas
Citas
Fuentes
- Downing, Douglas (2003). Álgebra de la manera fácil . Serie Educativa Barrons. ISBN 978-0-7641-1972-9.
- Kate, SK; Bhapkar, HR (2009). Conceptos básicos de las matemáticas . Publicaciones técnicas. ISBN 978-81-8431-755-8.
- Shirali, S. (2002). Aventuras en la resolución de problemas . Prensa de Universidades. ISBN 978-81-7371-413-9.
enlaces externos
- The Encyclopedia of Equation Enciclopedia en línea de identidades matemáticas (archivada)
- Una colección de identidades algebraicas