Descomposición primaria - Primary decomposition

En matemáticas , el teorema de Lasker-Noether establece que cada anillo noetheriano es un anillo de Lasker , lo que significa que cada ideal puede descomponerse como una intersección, llamada descomposición primaria , de un número finito de ideales primarios (que están relacionados, pero no son exactamente iguales como, poderes de ideales primordiales ). El teorema fue probado por primera vez por Emanuel Lasker  ( 1905 ) para el caso especial de anillos polinomiales y anillos de series de potencia convergente, y Emmy Noether  ( 1921 ) lo demostró en toda su generalidad .

El teorema de Lasker-Noether es una extensión del teorema fundamental de la aritmética y, de manera más general, el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente a todos los anillos noetherianos. El teorema de Lasker-Noether juega un papel importante en la geometría algebraica , al afirmar que cada conjunto algebraico puede descomponerse de forma única en una unión finita de componentes irreducibles .

Tiene una extensión sencilla de los módulos que indica que cada submódulo de un módulo generado finitamente sobre un anillo noetheriano es una intersección finita de submódulos primarios. Esto contiene el caso de los anillos como un caso especial, considerando el anillo como un módulo sobre sí mismo, por lo que los ideales son submódulos. Esto también generaliza la forma de descomposición primaria del teorema de la estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal , y para el caso especial de anillos polinomiales sobre un campo, generaliza la descomposición de un conjunto algebraico en una unión finita de variedades (irreductibles). .

El primer algoritmo para calcular descomposiciones primarias para anillos polinomiales sobre un campo de característica 0 fue publicado por la estudiante de Noether, Grete Hermann  ( 1926 ). La descomposición no es válida en general para los anillos noetherianos no conmutativos. Noether dio un ejemplo de un anillo noetheriano no conmutativo con un ideal correcto que no es una intersección de ideales primarios.

Descomposición primaria de un ideal

Sea un anillo conmutativo noetheriano. Un ideal de se llama primario si es un ideal propio y para cada par de elementos y en los que está adentro , o algún poder de está adentro ; de manera equivalente, todo divisor de cero en el cociente es nilpotente. El radical de un ideal primario es un ideal primario y se dice que es primario para . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle xy}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle R / I}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ sqrt {Q}}}$

Deja entrar un ideal . Luego tiene una descomposición primaria irredundante en ideales primarios: ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle I = Q_ {1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {n} \}$.

Irredundancia significa:

• La eliminación de cualquiera de los cambios de la intersección, es decir, para cada uno tenemos: .${\ Displaystyle Q_ {i}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle \ cap _ {j \ neq i} Q_ {j} \ not \ subconjunto Q_ {i}}$
• Los ideales principales son todos distintos.${\ Displaystyle {\ sqrt {Q_ {i}}}}$

Además, esta descomposición es única de dos formas:

• El conjunto está determinado únicamente por y${\ Displaystyle \ {{\ sqrt {Q_ {i}}} \ mid i \}}$${\ Displaystyle I}$
• Si es un elemento mínimo del conjunto anterior, entonces está determinado únicamente por ; de hecho, es la imagen previa de debajo del mapa de localización .${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ sqrt {Q_ {i}}}}$${\ Displaystyle Q_ {i}}$${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle Q_ {i}}$${\ Displaystyle IR _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ Displaystyle R \ a R _ {\ mathfrak {p}}}$

Los ideales primarios que corresponden a ideales primos no mínimos no son, en general, únicos (ver un ejemplo a continuación). Para conocer la existencia de la descomposición, consulte # Descomposición primaria a partir de números primos asociados a continuación. ${\ Displaystyle I}$

Los elementos de se denominan divisores primos de o primos pertenecientes a . En el lenguaje de la teoría de módulos, como se analiza a continuación, el conjunto es también el conjunto de números primos asociados del módulo- . Explícitamente, eso significa que existen elementos en los que ${\ Displaystyle \ {{\ sqrt {Q_ {i}}} \ mid i \}}$${\ Displaystyle I}$ ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle \ {{\ sqrt {Q_ {i}}} \ mid i \}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R / I}$${\ Displaystyle g_ {1}, \ dots, g_ {n}}$${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle {\ sqrt {Q_ {i}}} = \ {f \ in R \ mid fg_ {i} \ in I \}.}$

A modo de atajo, algunos autores llaman a un número primo asociado de simplemente un número primo asociado de (tenga en cuenta que esta práctica entrará en conflicto con el uso en la teoría del módulo). ${\ Displaystyle R / I}$${\ Displaystyle I}$

• Los elementos mínimos de son los mismos que los ideales primos mínimos que contienen y se denominan primos aislados .${\ Displaystyle \ {{\ sqrt {Q_ {i}}} \ mid i \}}$${\ Displaystyle I}$
• Los elementos no mínimos, por otro lado, se denominan números primos incrustados .

En el caso del anillo de números enteros , el teorema de Lasker-Noether es equivalente al teorema fundamental de la aritmética . Si un número entero tiene factorización prima , entonces la descomposición primaria del ideal generado por in , es ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n = \ pm p_ {1} ^ {d_ {1}} \ cdots p_ {r} ^ {d_ {r}}}$${\ Displaystyle \ langle n \ rangle}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ Displaystyle \ langle n \ rangle = \ langle p_ {1} ^ {d_ {1}} \ rangle \ cap \ cdots \ cap \ langle p_ {r} ^ {d_ {r}} \ rangle.}$

De manera similar, en un dominio de factorización único , si un elemento tiene una factorización prima donde es una unidad , entonces la descomposición primaria del ideal principal generado por es ${\ Displaystyle f = up_ {1} ^ {d_ {1}} \ cdots p_ {r} ^ {d_ {r}},}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ langle f \ rangle = \ langle p_ {1} ^ {d_ {1}} \ rangle \ cap \ cdots \ cap \ langle p_ {r} ^ {d_ {r}} \ rangle.}$

Ejemplos de

Los ejemplos de la sección están diseñados para ilustrar algunas propiedades de las descomposiciones primarias, que pueden parecer sorprendentes o contrarias a la intuición. Todos los ejemplos son ideales en un anillo polinomial sobre un campo k .

Intersección vs producto

La descomposición primaria del ideal es ${\ Displaystyle k [x, y, z]}$${\ Displaystyle I = \ langle x, yz \ rangle}$

${\ Displaystyle I = \ langle x, yz \ rangle = \ langle x, y \ rangle \ cap \ langle x, z \ rangle.}$

Debido al generador del grado uno, yo no es el producto de dos ideales mayores. Se da un ejemplo similar, en dos indeterminados por

${\ Displaystyle I = \ langle x, y (y + 1) \ rangle = \ langle x, y \ rangle \ cap \ langle x, y + 1 \ rangle.}$

Poder primario vs.primario

En , el ideal es un ideal primario que tiene como primo asociado. No es un poder de su primo asociado. ${\ Displaystyle k [x, y]}$${\ Displaystyle \ langle x, y ^ {2} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

No unicidad y prima incrustada

Para cada entero positivo n , una descomposición primaria en del ideal es ${\ Displaystyle k [x, y]}$${\ Displaystyle I = \ langle x ^ {2}, xy \ rangle}$

${\ Displaystyle I = \ langle x ^ {2}, xy \ rangle = \ langle x \ rangle \ cap \ langle x ^ {2}, xy, y ^ {n} \ rangle.}$

Los primos asociados son

${\ Displaystyle \ langle x \ rangle \ subset \ langle x, y \ rangle.}$

Ejemplo: Sea N  =  R  =  k [ x ,  y ] para algún campo k , y sea M el ideal ( xy ,  y ² ). Entonces M tiene dos descomposiciones primarias mínimas diferentes M = ( y ) ∩ ( x , y ² ) = ( y ) ∩ ( x  +  y ,  y ² ). El primo mínimo es ( y ) y el primo incrustado es ( x ,  y ).

Primo no asociado entre dos primos asociados

En el ideal tiene la descomposición primaria (no única) ${\ Displaystyle k [x, y, z],}$${\ Displaystyle I = \ langle x ^ {2}, xy, xz \ rangle}$

${\ Displaystyle I = \ langle x ^ {2}, xy, xz \ rangle = \ langle x \ rangle \ cap \ langle x ^ {2}, y ^ {2}, z ^ {2}, xy, xz, yz \ rangle.}$

Los ideales primos asociados son y es un ideal primo no asociado tal que ${\ Displaystyle \ langle x \ rangle \ subset \ langle x, y, z \ rangle,}$${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle x \ rangle \ subset \ langle x, y \ rangle \ subset \ langle x, y, z \ rangle.}$

Un ejemplo complicado

A menos que se trate de ejemplos muy simples, una descomposición primaria puede ser difícil de calcular y puede tener un resultado muy complicado. El siguiente ejemplo ha sido diseñado para proporcionar una salida tan complicada y, sin embargo, ser accesible para cálculos escritos a mano.

Dejar

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} P & = a_ {0} x ^ {m} + a_ {1} x ^ {m-1} y + \ cdots + a_ {m} y ^ {m} \\ Q & = b_ {0} x ^ {n} + b_ {1} x ^ {n-1} y + \ cdots + b_ {n} y ^ {n} \ end {alineado}}}$

Ser dos polinomios homogéneos en x , y , cuyos coeficientes son polinomios en otros indeterminados sobre un campo k . Es decir, pertenecen a P y Q y es en este anillo donde se busca una descomposición primaria del ideal . Para el cálculo de la descomposición primaria, suponemos primero que 1 es un máximo común divisor de P y Q . ${\ Displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {m}, b_ {0}, \ ldots, b_ {n}}$${\ Displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {h}}$${\ Displaystyle R = k [x, y, z_ {1}, \ ldots, z_ {h}],}$${\ Displaystyle I = \ langle P, Q \ rangle}$

Esta condición implica que no tiene un componente principal de altura uno. Como I es generado por dos elementos, esto implica que es una intersección completa (más precisamente, define un conjunto algebraico , que es una intersección completa) y, por lo tanto, todos los componentes primarios tienen una altura de dos. Por lo tanto, los números primos asociados de que son exactamente los números primos ideales de altura dos que contienen I .

De ello se desprende que es un primer asociado de I . ${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle}$

Dejado ser la resultante homogénea en x , y de P y Q . Como el máximo común divisor de P y Q es una constante, la resultante D no es cero, y la teoría resultante implica que I contiene todos los productos de D por un monomio en x , y de grado m + n - 1 . Como todos estos monomios pertenecen al componente primario contenido en Este componente primario contiene P y Q , y el comportamiento de las descomposiciones primarias bajo localización muestra que este componente primario es ${\ Displaystyle D \ in k [z_ {1}, \ ldots, z_ {h}]}$${\ Displaystyle D \ not \ in \ langle x, y \ rangle,}$${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle.}$

${\ Displaystyle \ {t | \ existe e, D ^ {e} t \ in I \}.}$

En resumen, tenemos un componente primario, con el primo asociado muy simple tal que todos sus grupos generadores involucran todos los indeterminados. ${\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle,}$

El otro componente principal contiene D . Uno puede demostrar que si P y Q son suficientemente genérico (por ejemplo, si los coeficientes de P y Q son indeterminados distintas), entonces sólo hay otro componente principal, que es un ideal primo, y se genera por P , Q y D .

Interpretación geométrica

En geometría algebraica , un conjunto algebraico afín V ( I ) se define como el conjunto de ceros comunes de un I ideal de un anillo polinomial. ${\ Displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$

Una descomposición primaria irredundante

${\ Displaystyle I = Q_ {1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {r}}$

de I define una descomposición de V ( I ) en una unión de conjuntos algebraicos V ( Q _i ) , que son irreductibles, por no ser la unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños.

Si es el primo asociado de , entonces y el teorema de Lasker-Noether muestra que V ( I ) tiene una descomposición irredundante única en variedades algebraicas irreducibles${\ Displaystyle P_ {i}}$${\ Displaystyle Q_ {i}}$${\ Displaystyle V (P_ {i}) = V (Q_ {i}),}$

${\ Displaystyle V (I) = \ bigcup V (P_ {i}),}$

donde la unión está restringida a números primos asociados mínimos. Estos números primos asociados mínimos son los componentes primarios del radical de I . Por esta razón, la descomposición primaria del radical de que a veces se llama la descomposición primordial de I .

Los componentes de una descomposición primaria (así como de la descomposición de conjuntos algebraicos) correspondientes a primos mínimos se dicen aislados , y los demás se dicen incrustado .

Para la descomposición de variedades algebraicas, solo los primos mínimos son interesantes, pero en la teoría de la intersección y, más generalmente, en la teoría de esquemas , la descomposición primaria completa tiene un significado geométrico.

Descomposición primaria a partir de primos asociados

Hoy en día, es común hacer una descomposición primaria de ideales y módulos dentro de la teoría de primos asociados . El influyente libro de texto de Bourbaki , Algèbre conmutativo , en particular, adopta este enfoque.

Sea R un anillo y M un módulo sobre él. Por definición, un primer asociado es un ideal primo que aparece en el conjunto = el conjunto de aniquiladores de elementos distintos de cero de M . De manera equivalente, un ideal primo es un primer asociado de M si hay una inyección de un R -módulo . ${\ Displaystyle \ {\ operatorname {Ann} (m) | 0 \ neq m \ in M ​​\}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}} \ hookrightarrow M}$

Un elemento maximal del conjunto de aniquiladores de elementos distintos de cero de M puede demostrar ser un ideal primo y por lo tanto, cuando R es un anillo noetheriano, M es distinto de cero si y sólo si existe un primer asociado de M .

El conjunto de primos asociados de M se denota por o . Directamente de la definición, ${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (M)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (M)}$

• Si , entonces .${\ Displaystyle M = \ bigoplus _ {i} M_ {i}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (M) = \ bigcup _ {i} \ operatorname {Ass} (M_ {i})}$
• Para una secuencia exacta , .${\ Displaystyle 0 \ a N \ a M \ a L \ a 0}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (N) \ subset \ operatorname {Ass} (M) \ subset \ operatorname {Ass} (N) \ cup \ operatorname {Ass} (L)}$
• Si R es un anillo noetheriano, dónde se refiere al soporte . Además, el conjunto de elementos mínimos de es el mismo que el conjunto de elementos mínimos de .${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (M) \ subset \ operatorname {Supp} (M)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Supp}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (M)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Supp} (M)}$

Si M es un módulo generado finitamente sobre R , entonces hay una secuencia ascendente finita de submódulos

${\ Displaystyle 0 = M_ {0} \ subsetneq M_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq M_ {n-1} \ subsetneq M_ {n} = M \,}$

de tal manera que cada cociente M _i / M _i-1 es isomorfo a para algunos ideales primos , cada uno de los cuales es necesariamente en el apoyo de M . Además, cada primo asociado de M ocurre entre el conjunto de primos ; es decir, ${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (M) \ subset \ {{\ mathfrak {p}} _ {1}, \ dots, {\ mathfrak {p}} _ {n} \} \ subset \ operatorname {Supp} (METRO)}$.

(En general, estas inclusiones no son iguales.) En particular, es un conjunto finito cuando M se genera finitamente. ${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (M)}$

Dejado ser un módulo finitamente generado sobre un Noetherian anillo R y N un submódulo de M . Dado , el conjunto de primos asociados de , existen submódulos tales que y ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (M / N) = \ {{\ mathfrak {p}} _ {1}, \ dots, {\ mathfrak {p}} _ {n} \}}$${\ Displaystyle M / N}$${\ Displaystyle Q_ {i} \ subconjunto M}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (M / Q_ {i}) = \ {{\ mathfrak {p}} _ {i} \}}$

${\ Displaystyle N = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} Q_ {i}.}$

Un submódulo N de M se llama -primary if . Un submódulo del R -módulo R es -primario como submódulo si y solo si es un -primario ideal; así, cuando , la descomposición anterior es precisamente una descomposición primaria de un ideal. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (M / N) = \ {{\ mathfrak {p}} \}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle M = R}$

Tomando , la descomposición anterior dice que el conjunto de números primos asociados de un módulo M generado finitamente es el mismo que cuando (sin generación finita, puede haber infinitos números primos asociados). ${\ Displaystyle N = 0}$${\ Displaystyle \ {\ operatorname {Ass} (M / Q_ {i}) | i \}}$${\ Displaystyle 0 = \ cap _ {1} ^ {n} Q_ {i}}$

Propiedades de los primos asociados

Sea un anillo noetheriano. Luego ${\ Displaystyle R}$

• El conjunto de divisores cero en R es el mismo que la unión de los primos asociados de R (esto se debe a que el conjunto de divisores ceros de R es la unión del conjunto de aniquiladores de elementos distintos de cero, cuyos elementos máximos son primos asociados ).
• Por la misma razón, la unión de los primos asociados de un módulo R M es exactamente el conjunto de divisores cero en M , es decir, un elemento r tal que el endomorfismo no es inyectivo.${\ Displaystyle m \ mapsto rm, M \ to M}$
• Dado un subconjunto , M un módulo R , existe un submódulo tal que y .${\ Displaystyle \ Phi \ subset \ operatorname {Ass} (M)}$${\ Displaystyle N \ subconjunto M}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (N) = \ operatorname {Ass} (M) - \ Phi}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} (M / N) = \ Phi}$
• Sea un subconjunto multiplicativo, un -módulo y el conjunto de todos los ideales primos de no intersección . Luego ${\ Displaystyle S \ subconjunto R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle S}$

  ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ mapsto S ^ {- 1} {\ mathfrak {p}}, \, \ operatorname {Ass} _ {R} (M) \ cap \ Phi \ to \ operatorname {Ass } _ {S ^ {- 1} R} (S ^ {- 1} M)}$

es una biyección. Además ,.${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (M) \ cap \ Phi = \ operatorname {Ass} _ {R} (S ^ {- 1} M)}$

• Cualquier mínimo ideal primo con respecto a contener un ideal J está en. Estos primos son precisamente los primos aislados.${\ Displaystyle \ mathrm {Ass} _ {R} (R / J).}$
• Un módulo M sobre R tiene una longitud finita si y solo si M se genera finitamente y consta de ideales máximos.${\ Displaystyle \ mathrm {Ass} (M)}$
• Dejado ser un homomorfismo de anillos entre los anillos noetherianos y F un B -módulo que es plana sobre A . Entonces, para cada módulo A E ,${\ Displaystyle A \ to B}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Ass} _ {B} (E \ otimes _ {A} F) = \ bigcup _ {{\ mathfrak {p}} \ in \ operatorname {Ass} (E)} \ operatorname {Ass} _ {B} (F / {\ mathfrak {p}} F)}$.

Caso no noetheriano

El siguiente teorema da las condiciones necesarias y suficientes para que un anillo tenga descomposiciones primarias para sus ideales.

La demostración se da en el Capítulo 4 de Atiyah-MacDonald como una serie de ejercicios.

Existe el siguiente teorema de unicidad para un ideal que tiene una descomposición primaria.

Ahora, para cualquier conmutativa anillo R , un ideal I y un primer mínimo P sobre I , la imagen previa de I R _P bajo el mapa de localización es la más pequeña P ideales -primaria que contiene I . Por lo tanto, en el contexto de precedente teorema, el ideal primario Q correspondiente a un primer mínimo P es también el más pequeño P ideales -primaria que contiene I y se llama el P componente -primaria de I .

Por ejemplo, si la potencia P ⁿ de un primer P tiene una descomposición primaria, entonces su P componente -primaria es el n -ésimo poder simbólico de P .

Teoría aditiva de ideales

Este resultado es el primero en un área ahora conocida como la teoría aditiva de ideales, que estudia las formas de representar un ideal como la intersección de una clase especial de ideales. La decisión sobre la "clase especial", por ejemplo, los ideales primarios, es un problema en sí mismo. En el caso de los anillos no conmutativos, la clase de ideales terciarios es un sustituto útil de la clase de ideales primarios.

Notas

Referencias

• M. Atiyah , IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley , 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Bourbaki, Algèbre conmutativo .
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• Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960, esp. sección 3.3.
• Hermann, Grete (1926), "Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale" , Mathematische Annalen (en alemán), 95 : 736–788, doi : 10.1007 / BF01206635. Traducción al inglés en Communications in Computer Algebra 32/3 (1998): 8–30.
• Lasker, E. (1905), "Zur Theorie der Moduln und Ideale" , Math. Ana. , 60 : 19–116, doi : 10.1007 / BF01447495
• Markov, VT (2001) [1994], "Descomposición primaria" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
• Matsumura, Hideyuki (1970), álgebra conmutativa
• Noether, Emmy (1921), "Idealtheorie in Ringbereichen" , Mathematische Annalen , 83 (1): 24–66, doi : 10.1007 / BF01464225
• Curtis, Charles (1952), "Sobre la teoría aditiva ideal en anillos generales", American Journal of Mathematics , The Johns Hopkins University Press, 74 (3): 687–700, doi : 10.2307 / 2372273 , JSTOR  2372273
• Krull, Wolfgang (1928), "Zur Theorie der zweiseitigen Ideale in nichtkommutativen Bereichen", Mathematische Zeitschrift , 28 (1): 481–503, doi : 10.1007 / BF01181179

enlaces externos

• "¿Sigue siendo importante la descomposición primaria?" . MathOverflow . 21 de agosto de 2012.