Ideal primario - Primary ideal

En matemáticas , específicamente álgebra conmutativa , una adecuada ideales Q de un anillo conmutativo A se dice que es primaria si cada vez que xy es un elemento de Q entonces x o y ⁿ es también un elemento de Q , para algunos n  > 0. Por ejemplo, en el anillo de los enteros Z , ( p ⁿ ) es un ideal primario si p es un número primo.

La noción de ideales primarios es importante en la teoría de anillos conmutativos porque cada ideal de un anillo noetheriano tiene una descomposición primaria , es decir, puede escribirse como una intersección de un número finito de ideales primarios. Este resultado se conoce como el teorema de Lasker-Noether . En consecuencia, un ideal irreductible de un anillo noetheriano es primario.

Existen varios métodos para generalizar los ideales primarios a anillos no conmutativos, pero el tema se estudia con mayor frecuencia para los anillos conmutativos. Por lo tanto, se supone que los anillos de este artículo son anillos conmutativos con identidad.

Ejemplos y propiedades

• La definición se puede reformular de una manera más simétrica: un ideal es primario si, cuando sea , tenemos o o . (Aquí denota el radical de ).${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle xy \ in {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle x \ in {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle y \ in {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle x, y \ in {\ sqrt {\ mathfrak {q}}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {\ mathfrak {q}}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}$
• Un Q ideal de R es primario si y solo si cada divisor cero en R / Q es nilpotente. (Compare esto con el caso de los ideales primos, donde P es primo si y solo si cada divisor de cero en R / P es realmente cero).
• Cualquier ideal primo es primario y, además, un ideal es primo si y solo si es primario y semiprimo .
• Todo ideal primario es primario .
• Si Q es un ideales primaria, entonces el radical de Q es necesariamente un ideal primo P , y este ideal se llama el ideal primo asociado de Q . En esta situación, se dice que Q es P -primario .
  • Por otro lado, un ideal cuyo radical es primo no es necesariamente primaria: por ejemplo, si , y , a continuación, es primo y , pero tenemos , y para todo n> 0, por lo que no es primordial. La descomposición primaria de es ; aquí es -primario y es -primario. ${\ Displaystyle R = k [x, y, z] / (xy-z ^ {2})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = ({\ overline {x}}, {\ overline {z}})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}} = {\ mathfrak {p}} ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {\ mathfrak {q}}} = {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ overline {x}} {\ overline {y}} = {\ overline {z}} ^ {2} \ in {\ mathfrak {p}} ^ {2} = {\ mathfrak {q}} }$${\ Displaystyle {\ overline {x}} \ not \ in {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle {\ overline {y}} ^ {n} \ not \ in {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {q}}}$${\ displaystyle ({\ overline {x}}) \ cap ({\ overline {x}} ^ {2}, {\ overline {x}} {\ overline {z}}, {\ overline {y}}) }$${\ Displaystyle ({\ overline {x}})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle ({\ overline {x}} ^ {2}, {\ overline {x}} {\ overline {z}}, {\ overline {y}})}$${\ Displaystyle ({\ overline {x}}, {\ overline {y}}, {\ overline {z}})}$
    • Un ideal cuyo radical es máximo , sin embargo, es primario.
    • Cada ideales Q con radical P está contenida en un pequeño P ideales -primaria: todos los elementos de un tal que ax  ∈  Q para algunos x  ∉  P . El más pequeño P ideales -primaria que contiene P ⁿ se llama el n º poder simbólico de P .
• Si P es un ideal primo máximo, entonces cualquier ideal que contenga una potencia de P es P -primario. No todos los P- ideales primarios necesitan ser poderes de P ; por ejemplo el ideal ( x ,  y ² ) es P -primaria por el ideal P  = ( x ,  y ) en el anillo k [ x ,  y ], pero no es una potencia de P .
• Si A es un anillo noetheriano y P un ideal primo, entonces el núcleo de , el mapa de A a la localización de A en P , es la intersección de todos los P- ideales primarios.${\ Displaystyle A \ a A_ {P}}$
• Un producto finito no vacío de -ideales primarios es -primario, pero un producto infinito de -ideales primarios puede no ser -primario; ya que, por ejemplo, en un anillo local noetheriano con ideal máximo , ( teorema de la intersección de Krull ) donde cada uno es -primario. De hecho, en un anillo noetheriano, un producto no vacío de -ideales primarios es -primario si y solo si existe algún número entero tal que .${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle \ cap _ {n> 0} {\ mathfrak {m}} ^ {n} = 0}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle Q_ {i}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle n> 0}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} ^ {n} \ subconjunto \ cap _ {i} Q_ {i}}$

Notas al pie

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, p. 50, ISBN 978-0-201-40751-8
• Bourbaki, Algèbre conmutativo .
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• Goldman, Oscar (1969), "Anillos y módulos de cocientes", Journal of Algebra , 13 : 10–47, doi : 10.1016 / 0021-8693 (69) 90004-0 , ISSN  0021-8693 , MR  0245608
• Gorton, Christine; Heatherly, Henry (2006), "Anillos e ideales primarios generalizados", Mathematica Pannonica , 17 (1): 17-28, ISSN  0865-2090 , MR  2215638
• Sobre los ideales primarios , Ladislas Fuchs
• Lesieur, L .; Croisot, R. (1963), Algèbre noethérienne non commutative (en francés), Mémor. Sci. Math., Fasc. CLIV. Gauthier-Villars & Cie, Editeur -Imprimeur-Libraire, París, p. 119, MR  0155861

enlaces externos

• Ideal primario en Encyclopaedia of Mathematics