Conjetura de la suma de potencias de Euler - Euler's sum of powers conjecture

La conjetura de Euler es una conjetura refutada en matemáticas relacionada con el último teorema de Fermat . Fue propuesto por Leonhard Euler en 1769. Establece que para todos los enteros n y k mayores que 1, si la suma de n k- ésimas potencias de enteros positivos es en sí misma una k- ésima potencia, entonces n es mayor o igual que k :

a k
1 + un k
2 + ... + a k
n = b ^k ⇒ n ≥ k

La conjetura representa un intento de generalizar el último teorema de Fermat, que es el caso especial n = 2 : si un k
1 + un k
2 = b ^k , entonces 2 ≥ k .

Aunque la conjetura es válida para el caso k = 3 (que se sigue del último teorema de Fermat para las terceras potencias), fue refutada para k = 4 y k = 5 . Se desconoce si la conjetura falla o es válida para cualquier valor k ≥ 6 .

Fondo

Euler era consciente de la igualdad 59 ⁴ + 158 ⁴ = 133 ⁴ + 134 ^{4 que} involucra sumas de cuatro cuartos poderes; sin embargo, esto no es un contraejemplo porque ningún término está aislado en un lado de la ecuación. También proporcionó una solución completa al problema de los cuatro cubos como en el número de Platón 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ o el número de taxi 1729. La solución general de la ecuación

${\ Displaystyle x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} = x_ {3} ^ {3} + x_ {4} ^ {3}}$

es

${\ Displaystyle x_ {1} = 1- (a-3b) (a ^ {2} + 3b ^ {2}), \ quad x_ {2} = (a + 3b) (a ^ {2} + 3b ^ {2}) - 1}$

${\ Displaystyle x_ {3} = (a + 3b) - (a ^ {2} + 3b ^ {2}) ^ {2}, \ quad x_ {4} = (a ^ {2} + 3b ^ {2 }) ^ {2} - (a-3b)}$

donde un y b son enteros cualesquiera.

Contraejemplos

La conjetura de Euler fue refutada por LJ Lander y TR Parkin en 1966 cuando, a través de una búsqueda directa por computadora en un CDC 6600 , encontraron un contraejemplo para k = 5 . Esto se publicó en un artículo que constaba de solo dos frases. Se conocen un total de tres contraejemplos primitivos (es decir, en los que no todos los sumandos tienen un factor común):

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ (Lander y Parkin, 1966),

(−220) ⁵ + 5027 ⁵ + 6237 ⁵ +14 068 ⁵ =14 132 ⁵ (Scher y Seidl, 1996), y

55 ⁵ + 3183 ⁵ +28 969 ⁵ +85 282 ⁵ =85 359 ⁵ (Frye, 2004).

En 1988, Noam Elkies publicó un método para construir una serie infinita de contraejemplos para el caso k = 4 . Su contraejemplo más pequeño fue

2 682 440 ⁴ +15 365 639 ⁴ +18 796 760 ⁴ =20 615 673 ⁴ .

Un caso particular de las soluciones de Elkies se puede reducir a la identidad

(85 v ² + 484 v - 313) ⁴ + (68 v ² - 586 v + 10) ⁴ + (2 u ) ⁴ = (357 v ² - 204 v + 363) ⁴

dónde

u ² =22 030 +28 849 v -56 158 v ² +36 941 v ³ -31 790 v ⁴ .

Esta es una curva elíptica con un punto racional en v ₁ = - 31/467. Desde este punto racional inicial, se puede calcular una colección infinita de otros. Sustituyendo v ₁ en la identidad y eliminando factores comunes se obtiene el ejemplo numérico citado anteriormente.

En 1988, Roger Frye encontró el contraejemplo más pequeño posible

95 800 ⁴ +217 519 ⁴ +414 560 ⁴ =422 481 ⁴

para k = 4 mediante una búsqueda informática directa utilizando técnicas sugeridas por Elkies. Esta solución es la única con valores de las variables por debajo de 1.000.000.

Generalizaciones

En 1967, LJ Lander, TR Parkin y John Selfridge conjeturaron que si

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = \ sum _ {j = 1} ^ {m} b_ {j} ^ {k}}$,

donde un _i ≠ b _j son números enteros positivos para todos 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m , entonces m + n ≥ k . En el caso especial m = 1 , la conjetura establece que si

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {k} = b ^ {k}}$

(en las condiciones dadas anteriormente) entonces n ≥ k - 1 .

El caso especial puede describirse como el problema de dividir una potencia perfecta en pocas potencias similares. Para k = 4, 5, 7, 8 y n = k o k - 1 , hay muchas soluciones conocidas. Algunos de estos se enumeran a continuación. A partir de 2002, no existen soluciones para cuyo término final sea ≤ 730000. ${\ Displaystyle k = 6}$

Consulte OEIS :  A347773 para obtener más información.

k = 3

3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ ( número 216 de Platón )

Este es el caso a = 1, b = 0 de la fórmula de Srinivasa Ramanujan

${\ displaystyle (3a ^ {2} + 5ab-5b ^ {2}) ^ {3} + (4a ^ {2} -4ab + 6b ^ {2}) ^ {3} + (5a ^ {2} - 5ab-3b ^ {2}) ^ {3} = (6a ^ {2} -4ab + 4b ^ {2}) ^ {3}.}$

Un cubo como la suma de tres cubos también se puede parametrizar como

${\ Displaystyle a ^ {3} (a ^ {3} + b ^ {3}) ^ {3} = b ^ {3} (a ^ {3} + b ^ {3}) ^ {3} + a ^ {3} (a ^ {3} -2b ^ {3}) ^ {3} + b ^ {3} (2a ^ {3} -b ^ {3}) ^ {3}}$

o como

${\ Displaystyle a ^ {3} (a ^ {3} + 2b ^ {3}) ^ {3} = a ^ {3} (a ^ {3} -b ^ {3}) ^ {3} + b ^ {3} (a ^ {3} -b ^ {3}) ^ {3} + b ^ {3} (2a ^ {3} + b ^ {3}) ^ {3}.}$

El número 2 100 000 ³ se puede expresar como la suma de tres cubos de nueve formas diferentes.

k = 4

95 800 ⁴ +217 519 ⁴ +414 560 ⁴ =422 481 ⁴ (R. Frye, 1988)

30 ⁴ + 120 ⁴ + 272 ⁴ + 315 ⁴ = 353 ⁴ (R. Norrie, 1911)

Esta es la solución más pequeña al problema de R. Norrie.

k = 5

27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵ = 144 ⁵ (Lander y Parkin, 1966)

19 ⁵ + 43 ⁵ + 46 ⁵ + 47 ⁵ + 67 ⁵ = 72 ⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, más pequeño, 1967)

21 ⁵ + 23 ⁵ + 37 ⁵ + 79 ⁵ + 84 ⁵ = 94 ⁵ (Lander, Parkin, Selfridge, segundo más pequeño, 1967)

7 ⁵ + 43 ⁵ + 57 ⁵ + 80 ⁵ + 100 ⁵ = 107 ⁵ (Sastry, 1934, tercero más pequeño)

k = 7

127 ⁷ + 258 ⁷ + 266 ⁷ + 413 ⁷ + 430 ⁷ + 439 ⁷ + 525 ⁷ = 568 ⁷ (M. Dodrill, 1999)

k = 8

90 ⁸ + 223 ⁸ + 478 ⁸ + 524 ⁸ + 748 ⁸ + 1088 ⁸ + 1190 ⁸ + 1324 ⁸ = 1409 ⁸ (S. Chase, 2000)

Ver también

• Ecuación de Jacobi-Madden
• Problema de Prouhet-Tarry-Escott
• Conjetura de Beal
• Cuádruple pitagórico
• Número de taxi generalizado
• Sumas de potencias , una lista de conjeturas y teoremas relacionados

Referencias

enlaces externos

• Tito Piezas III, una colección de identidades algebraicas
• Jaroslaw Wroblewski, iguales sumas de potencias similares
• Ed Pegg Jr., Juegos de matemáticas, Power Sums
• James Waldby, Una tabla de quintos poderes igual a un quinto poder (2009)
• R. Gerbicz , J.-C. Meyrignac, U. Beckert, Todas las soluciones de la ecuación diofántica a ⁶ + b ⁶ = c ⁶ + d ⁶ + e ⁶ + f ⁶ + g ⁶ para a , b , c , d , e , f , g <250000 encontradas con un proyecto distribuido de Boinc
• EulerNet: Calcular sumas mínimas iguales de potencias similares
• Weisstein, Eric W. "Conjetura de la suma de poderes de Euler" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Conjetura del cuarto de Euler" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Ecuación diofántica - 4tos poderes" . MathWorld .
• Conjetura de Euler en library.thinkquest.org
• ¡Una explicación simple de la conjetura de Euler en matemáticas es buena para usted!