Paradoja de Burali-Forti - Burali-Forti paradox

En la teoría de conjuntos , campo de las matemáticas , la paradoja de Burali-Forti demuestra que construir "el conjunto de todos los números ordinales " conduce a una contradicción y, por tanto, muestra una antinomia en un sistema que permite su construcción. Lleva el nombre de Cesare Burali-Forti , quien, en 1897, publicó un artículo que probaba un teorema que, sin que él lo supiera, contradecía un resultado previamente probado por Cantor. Bertrand Russell notó posteriormente la contradicción, y cuando la publicó en su libro de 1903 Principles of Mathematics , afirmó que se lo había sugerido el artículo de Burali-Forti, con el resultado de que llegó a ser conocido por el nombre de Burali-Forti.

Expresado en términos de ordinales de von Neumann

Lo demostraremos mediante reductio ad absurdum.

1. Sea un conjunto que contenga todos los números ordinales.${\ Displaystyle \ Omega}$
2. ${\ Displaystyle \ Omega}$es transitivo porque para cada elemento de (que es un número ordinal y puede ser cualquier número ordinal) y cada elemento de (es decir, según la definición de los ordinales de Von Neumann , para cada número ordinal ), tenemos que es un elemento de porque cualquier ordinal number contiene sólo números ordinales, según la definición de esta construcción ordinal.${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y <x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle \ Omega}$
3. ${\ Displaystyle \ Omega}$está bien ordenado por la relación de pertenencia porque todos sus elementos también están bien ordenados por esta relación.
4. Entonces, en los pasos 2 y 3, tenemos que es una clase ordinal y también, en el paso 1, un número ordinal, porque todas las clases ordinales que son conjuntos también son números ordinales.${\ Displaystyle \ Omega}$
5. Esto implica que es un elemento de .${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$
6. Según la definición de ordinales de Von Neumann, es lo mismo que ser un elemento de . Esta última afirmación se prueba en el paso 5.${\ Displaystyle \ Omega <\ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$
7. Pero ninguna clase ordinal es menor que ella misma, incluso debido al paso 4 ( es una clase ordinal), es decir .${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$

Hemos deducido dos proposiciones contradictorias ( y ) del conjunto de y, por lo tanto, refutado que es un conjunto. ${\ Displaystyle \ Omega <\ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega \ nless \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$

Dicho de manera más general

La versión de la paradoja anterior es anacrónica, porque presupone la definición de los ordinales debida a John von Neumann , según la cual cada ordinal es el conjunto de todos los ordinales precedentes, que no se conocía en el momento en que Burali-Forti formuló la paradoja. . Aquí hay una explicación con menos presuposiciones: supongamos que asociamos con cada ordenamiento bien un objeto llamado su tipo de orden de una manera no especificada (los tipos de orden son los números ordinales). Los tipos de orden (números ordinales) en sí mismos están bien ordenados de forma natural, y este buen orden debe tener un tipo de orden . Se muestra fácilmente en la teoría de conjuntos ingenua (y sigue siendo cierto en ZFC pero no en New Foundations ) que el tipo de orden de todos los números ordinales menores que un fijo es él mismo. Por lo que el tipo de orden de todos los números ordinales menos que es en sí. Pero esto significa que , al ser el tipo de orden de un segmento inicial adecuado de los ordinales, es estrictamente menor que el tipo de orden de todos los ordinales, pero este último es en sí mismo por definición. Ésta es una contradicción. ${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$

Si usamos la definición de von Neumann, bajo la cual cada ordinal se identifica como el conjunto de todos los ordinales precedentes, la paradoja es inevitable: la proposición ofensiva de que el tipo de orden de todos los números ordinales menores que un fijo es en sí misma debe ser verdadera. La colección de ordinales de von Neumann, como la colección de la paradoja de Russell , no puede ser un conjunto en ninguna teoría de conjuntos con lógica clásica. Pero la colección de tipos de orden en New Foundations (definida como clases de equivalencia de ordenamientos de pozos bajo similitud) es en realidad un conjunto, y la paradoja se evita porque el tipo de orden de los ordinales menor que resulta no serlo . ${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega}$

Resoluciones de la paradoja

Los axiomas modernos para la teoría formal de conjuntos como ZF y ZFC evitan esta antinomia al no permitir la construcción de conjuntos usando términos como "todos los conjuntos con la propiedad "${\ Displaystyle P}$ , como es posible en la teoría de conjuntos ingenua y como es posible con los axiomas de Gottlob Frege : específicamente la Ley Fundamental V - en el "Grundgesetze der Arithmetik". El sistema New Foundations (NF) de Quine utiliza una solución diferente . Rosser ( 1942 ) mostró que en la versión original del sistema de Quine "Lógica Matemática" (ML), una extensión de Nuevos Fundamentos, es posible derivar la paradoja Burali-Forti, mostrando que este sistema era contradictorio. La revisión de Quine de ML después del descubrimiento de Rosser no adolece de este defecto y, de hecho, Hao Wang demostró posteriormente que era compatible con NF .

Ver también

• Infinito Absoluto

Referencias

• Burali-Forti, Cesare (1897), "Una questione sui numeri transfiniti" (PDF) , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 11 : 154–164, doi : 10.1007 / BF03015911
• Irving Copi (1958) "La paradoja Burali-Forti", Filosofía de la ciencia 25 (4): 281-286, doi : 10.1086 / 287617
• Moore, Gregory H; Garciadiego, Alejandro (1981), "La paradoja de Burali-Forti: una reevaluación de sus orígenes", Historia Mathematica , 8 (3): 319-350, doi : 10.1016 / 0315-0860 (81) 90070-7
• Rosser, Barkley (1942), "La paradoja Burali-Forti", Journal of Symbolic Logic , 7 (1): 1-17, doi : 10.2307 / 2267550 , JSTOR  2267550 , MR  0006327

enlaces externos

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Paradojas y lógica contemporánea " —por Andrea Cantini.