Simplectomorfismo - Symplectomorphism

En matemáticas , un simplectomorfismo o mapa simpléctico es un isomorfismo en la categoría de variedades simplécticas . En la mecánica clásica , un simplectomorfismo representa una transformación del espacio de fases que conserva el volumen y conserva la estructura simpléctica del espacio de fases, y se denomina transformación canónica .

Definicion formal

Un difeomorfismo entre dos variedades simplécticas se llama simplectomorfismo si ${\ Displaystyle f: (M, \ omega) \ rightarrow (N, \ omega ')}$

${\ displaystyle f ^ {*} \ omega '= \ omega,}$

donde está el retroceso de . Los difeomorfismos simplécticos de a son un (pseudo-) grupo, llamado grupo de simplectomorfismo (ver más abajo). ${\ displaystyle f ^ {*}}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle M}$

La versión infinitesimal de los simplectomorfismos da los campos vectoriales simplécticos. Un campo vectorial se llama simpléctico si ${\ Displaystyle X \ in \ Gamma ^ {\ infty} (TM)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X} \ omega = 0.}$

Además, es simpléctico si el flujo de es un simplectomorfismo para todos . Estos campos vectoriales construyen una subálgebra de Lie . Aquí, está el conjunto de campos vectoriales suaves en , y es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ phi _ {t}: M \ rightarrow M}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ infty} (TM)}$${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ infty} (TM)}$ ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {X}}$${\ Displaystyle X.}$

Ejemplos de simplectomorfismos incluyen las transformaciones canónicas de la mecánica clásica y la física teórica , el flujo asociado a cualquier función hamiltoniana, el mapa de haces cotangentes inducidos por cualquier difeomorfismo de variedades y la acción coadjunta de un elemento de un grupo de Lie en una órbita coadjunta .

Flujos

Cualquier función uniforme en una variedad simpléctica da lugar, por definición, a un campo vectorial hamiltoniano y el conjunto de todos esos campos vectoriales forma una subálgebra del álgebra de Lie de campos vectoriales simplécticos . La integración del flujo de un campo vectorial simpléctico es un simplectomorfismo. Dado que los simpléctomorfismos conservan la forma simpléctica de 2 y, por lo tanto, la forma simpléctica del volumen , se sigue el teorema de Liouville en la mecánica hamiltoniana . Los simplectomorfismos que surgen de los campos vectoriales hamiltonianos se conocen como simplectomorfismos hamiltonianos.

Desde { H , H } = X _H ( H ) = 0, el flujo de un campo vectorial hamiltoniano también preserva H . En física, esto se interpreta como la ley de conservación de la energía .

Si el primer número de Betti de una variedad simpléctica conectada es cero, los campos vectoriales simplécticos y hamiltonianos coinciden, por lo que coinciden las nociones de isotopía hamiltoniana e isotopía simpléctica de simpléctomorfismos.

Se puede demostrar que las ecuaciones para una geodésica se pueden formular como un flujo hamiltoniano, ver Geodésicas como flujos hamiltonianos .

El grupo de los simplectomorfismos (hamiltonianos)

Los simplectomorfismos de una variedad sobre sí mismos forman un pseudogrupo de dimensión infinita . El álgebra de Lie correspondiente consta de campos vectoriales simplécticos. Los simplectomorfismos hamiltonianos forman un subgrupo, cuyo álgebra de Lie viene dada por los campos vectoriales hamiltonianos. Este último es isomorfo al álgebra de Lie de funciones suaves en la variedad con respecto al corchete de Poisson , módulo las constantes.

El grupo de simplectomorfismos hamiltonianos de usualmente denotado como . ${\ Displaystyle (M, \ omega)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ham} (M, \ omega)}$

Los grupos de difeomorfismos hamiltonianos son simples , por un teorema de Banyaga . Tienen geometría natural dada por la norma Hofer . El tipo de homotopía del grupo de simpléctomorfismo para ciertas cuatro variedades simplécticas simples , como el producto de esferas , puede calcularse utilizando la teoría de Gromov de curvas pseudoholomórficas .

Comparación con la geometría de Riemann

A diferencia de las variedades de Riemann , las variedades simplécticas no son muy rígidas: el teorema de Darboux muestra que todas las variedades simplécticas de la misma dimensión son localmente isomórficas. Por el contrario, las isometrías en la geometría de Riemann deben preservar el tensor de curvatura de Riemann , que es, por tanto, un invariante local de la variedad de Riemann. Además, cada función H en una variedad simpléctica define un campo vectorial hamiltoniano X _H , que se expone a un grupo de un parámetro de difeomorfismos hamiltonianos. De ello se deduce que el grupo de simplectomorfismos es siempre muy grande y, en particular, de dimensión infinita. Por otro lado, el grupo de isometrías de una variedad de Riemann es siempre un grupo de Lie (de dimensión finita) . Además, las variedades riemannianas con grandes grupos de simetría son muy especiales, y una variedad riemanniana genérica no tiene simetrías no triviales.

Cuantizaciones

Las representaciones de subgrupos de dimensión finita del grupo de simplectomorfismos (después de las deformaciones ħ, en general) en los espacios de Hilbert se denominan cuantizaciones . Cuando el grupo de Lie es el definido por un hamiltoniano, se denomina "cuantificación por energía". El operador correspondiente del álgebra de Lie al álgebra de Lie de operadores lineales continuos también se denomina a veces cuantización ; esta es una forma más común de verlo en física.

Conjetura de Arnold

Una célebre conjetura de Vladimir Arnold relaciona el número mínimo de puntos fijos para un simplectomorfismo hamiltoniano f en M , en caso de que M sea ​​una variedad cerrada , con la teoría de Morse . Más precisamente, la conjetura establece que f tiene al menos tantos puntos fijos como el número de puntos críticos que debe tener una función suave en M (entendido como para un caso genérico , funciones Morse , para las cuales este es un número finito definido que es por lo menos 2).

Se sabe que esto se seguiría de la conjetura de Arnold-Givental que lleva el nombre de Arnold y Alexander Givental , que es una declaración sobre las subvariedades lagrangianas . Está probado en muchos casos mediante la construcción de una homología de Floer simpléctica .

Ver también

Referencias

• McDuff, Dusa & Salamon, D. (1998), Introducción a la topología simpléctica , Monografías matemáticas de Oxford, ISBN 0-19-850451-9.
• Abraham, Ralph & Marsden, Jerrold E. (1978), Fundamentos de la mecánica , Londres: Benjamin-Cummings, ISBN 0-8053-0102-X. Ver sección 3.2 .

Grupos de simplectomorfismo

• Gromov, M. (1985), "Curvas pseudoholomorfas en variedades simplécticas", Inventiones Mathematicae , 82 (2): 307–347, Bibcode : 1985InMat..82..307G , doi : 10.1007 / BF01388806.
• Polterovich, Leonid (2001), La geometría del grupo de difeomorfismo simpléctico , Basilea; Boston: Birkhauser Verlag, ISBN 3-7643-6432-7.