Cuadratura de la parábola -Quadrature of the Parabola

Un segmento parabólico.

Cuadratura de la parábola ( griego : Τετραγωνισμὸς παραβολῆς ) es un tratado sobre geometría , escrito por Arquímedes en el siglo III a. C. y dirigido a su conocido alejandrino Dositeo. Contiene 24 proposiciones con respecto a las parábolas , que culminan en dos pruebas que muestran que el área de un segmento parabólico (la región encerrada por una parábola y una línea ) es 4/3 de la de un cierto triángulo inscrito.

Es una de las obras más conocidas de Arquímedes, en particular la segunda parte por su ingenioso uso del método del agotamiento . Arquímedes pudo haber diseccionado el área en infinitos triángulos cuyas áreas forman una progresión geométrica . Luego calcula la suma de la serie geométrica resultante y demuestra que esta es el área del segmento parabólico. Esto representa el uso más sofisticado de un argumento reductio ad absurdum en la matemática griega antigua , y la solución de Arquímedes permaneció insuperable hasta el desarrollo del cálculo integral en el siglo XVII, siendo sucedido por la fórmula de cuadratura de Cavalieri .

Teorema principal

Un segmento parabólico es la región delimitada por una parábola y una línea. Para encontrar el área de un segmento parabólico, Arquímedes considera cierto triángulo inscrito. La base de este triángulo es la cuerda dada de la parábola, y el tercer vértice es el punto de la parábola tal que la tangente a la parábola en ese punto es paralela a la cuerda. La proposición 1 del trabajo establece que una línea desde el tercer vértice trazada paralela al eje divide la cuerda en segmentos iguales. El teorema principal afirma que el área del segmento parabólico es 4/3 de la del triángulo inscrito.

Estructura del texto

La primera prueba de Arquímedes usa el principio de la palanca para encontrar el área de un segmento parabólico.

Las secciones cónicas como la parábola ya eran bien conocidas en la época de Arquímedes gracias a Menaecmo un siglo antes. Sin embargo, antes del advenimiento del cálculo diferencial e integral , no existían medios fáciles para encontrar el área de una sección cónica. Arquímedes proporciona la primera solución atestiguada a este problema al centrarse específicamente en el área delimitada por una parábola y una cuerda.

Arquímedes da dos demostraciones del teorema principal: una usando mecánica abstracta y la otra por geometría pura. En la primera prueba, Arquímedes considera una palanca en equilibrio bajo la acción de la gravedad, con segmentos ponderados de una parábola y un triángulo suspendidos a lo largo de los brazos de una palanca a distancias específicas del fulcro. Cuando se conoce el centro de gravedad del triángulo, el equilibrio de la palanca produce el área de la parábola en términos del área del triángulo que tiene la misma base e igual altura. Aquí Arquímedes se desvía del procedimiento que se encuentra en Sobre el equilibrio de los planos en que tiene los centros de gravedad a un nivel por debajo del de la balanza. La segunda y más famosa prueba usa geometría pura, particularmente el método de agotamiento .

De las veinticuatro proposiciones, las tres primeras se citan sin prueba de los Elementos de las cónicas de Euclides (una obra perdida de Euclides sobre las secciones cónicas ). Las proposiciones 4 y 5 establecen propiedades elementales de la parábola. Las proposiciones 6 a 17 dan la demostración mecánica del teorema principal; Las proposiciones 18-24 presentan la demostración geométrica.

Prueba geométrica

La segunda prueba de Arquímedes disecciona el segmento parabólico en un número arbitrario de triángulos.

Disección del segmento parabólico

La idea principal de la demostración es la disección del segmento parabólico en infinitos triángulos, como se muestra en la figura de la derecha. Cada uno de estos triángulos está inscrito en su propio segmento parabólico de la misma manera que el triángulo azul está inscrito en el segmento grande.

Áreas de los triángulos

En las proposiciones dieciocho a veintiuno, Arquímedes prueba que el área de cada triángulo verde es un octavo del área del triángulo azul. Desde un punto de vista moderno, esto se debe a que el triángulo verde tiene la mitad del ancho y un cuarto de la altura:

Por extensión, cada uno de los triángulos amarillos tiene un octavo del área de un triángulo verde, cada uno de los triángulos rojos tiene un octavo del área de un triángulo amarillo, y así sucesivamente. Usando el método de agotamiento , se deduce que el área total del segmento parabólico está dada por

${\ Displaystyle {\ text {Área}} \; = \; T \, + \, 2 \ left ({\ frac {T} {8}} \ right) \, + \, 4 \ left ({\ frac {T} {8 ^ {2}}} \ right) \, + \, 8 \ left ({\ frac {T} {8 ^ {3}}} \ right) \, + \, \ cdots.}$

Aquí T representa el área del triángulo azul grande, el segundo término representa el área total de los dos triángulos verdes, el tercer término representa el área total de los cuatro triángulos amarillos, y así sucesivamente. Esto simplifica dar

${\ Displaystyle {\ text {Area}} \; = \; \ left (1 \, + \, {\ frac {1} {4}} \, + \, {\ frac {1} {16}} \ , + \, {\ frac {1} {64}} \, + \, \ cdots \ right) T.}$

Suma de la serie

La prueba de Arquímedes de que 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

Para completar la prueba, Arquímedes muestra que

${\ Displaystyle 1 \, + \, {\ frac {1} {4}} \, + \, {\ frac {1} {16}} \, + \, {\ frac {1} {64}} \ , + \, \ cdots \; = \; {\ frac {4} {3}}.}$

La fórmula anterior es una serie geométrica: cada término sucesivo es un cuarto del término anterior. En matemáticas modernas, esa fórmula es un caso especial de la fórmula de suma para una serie geométrica .

Arquímedes evalúa la suma utilizando un método completamente geométrico, ilustrado en la imagen adyacente. Esta imagen muestra un cuadrado unitario que se ha diseccionado en una infinidad de cuadrados más pequeños. Cada cuadrado violeta sucesivo tiene un cuarto del área del cuadrado anterior, siendo el área púrpura total la suma

${\ Displaystyle {\ frac {1} {4}} \, + \, {\ frac {1} {16}} \, + \, {\ frac {1} {64}} \, + \, \ cdots .}$

Sin embargo, los cuadrados púrpuras son congruentes con cualquiera de los conjuntos de cuadrados amarillos, por lo que cubren 1/3 del área del cuadrado unitario. De ello se deduce que la serie anterior suma 4/3 (ya que 1 + 1/3 = 4/3).

Ver también

• Historia del cálculo

Notas

Otras lecturas

• Ajose, Sunday y Roger Nelsen (junio de 1994). "Prueba sin palabras: Serie geométrica". Revista de Matemáticas . 67 (3): 230. doi : 10.2307 / 2690617 . JSTOR  2690617 .
• Ancora, Luciano (2014). "Cuadratura de la parábola con el número piramidal cuadrado" . Arquímedes . 66 (3).
• Bressoud, David M. (2006). Un enfoque radical del análisis real (2ª ed.). Asociación Matemática de América . ISBN 0-88385-747-2..
• Dijksterhuis, EJ (1987) "Archimedes", Princeton U. Press ISBN  0-691-08421-1
• Edwards Jr., CH (1994). El desarrollo histórico del cálculo (3ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-94313-7..
• Heath, Thomas L. (2011). Las obras de Arquímedes (2ª ed.). CreateSpace. ISBN 978-1-4637-4473-1.
• Simmons, George F. (2007). Gemas de cálculo . Asociación Matemática de América. ISBN 978-0-88385-561-4..
• Stein, Sherman K. (1999). Arquímedes: ¿Qué hizo además de llorar Eureka? . Asociación Matemática de América. ISBN 0-88385-718-9.
• Stillwell, John (2004). Matemáticas y su Historia (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-95336-1..
• Swain, Gordon y Thomas Dence (abril de 1998). "Cuadratura de Arquímedes de la parábola revisitada". Revista de Matemáticas . 71 (2): 123–30. doi : 10.2307 / 2691014 . JSTOR  2691014 .
• Wilson, Alistair Macintosh (1995). El infinito en lo finito . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-853950-9..

enlaces externos

• Casselman, Bill. "Cuadratura de Arquímedes de la parábola" . Texto completo, traducido por TL Heath.
• Departamento de Matemáticas e Informática de la Universidad Xavier . "Arquímedes de Siracusa" . Texto de las proposiciones 1-3 y 20-24, con comentario.
• http://planetmath.org/ArchimedesCalculus