Suma de Riemann - Riemann sum

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo curvas. Los métodos derecho e izquierdo hacen la aproximación utilizando los puntos finales derecho e izquierdo de cada subintervalo, respectivamente. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación utilizando los valores de punto final más grande y más pequeño de cada subintervalo, respectivamente. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos se reducen a la mitad de arriba a la izquierda a abajo a la derecha.

En matemáticas , una suma de Riemann es un cierto tipo de aproximación de una integral por una suma finita. Lleva el nombre del matemático alemán del siglo XIX Bernhard Riemann . Una aplicación muy común es la aproximación del área de funciones o líneas en un gráfico, pero también la longitud de curvas y otras aproximaciones.

La suma se calcula dividiendo la región en formas ( rectángulos , trapezoides , parábolas o cúbicos ) que juntos forman una región que es similar a la región que se mide, luego calcula el área para cada una de estas formas y finalmente suma todas estas pequeñas áreas juntas. Este enfoque se puede utilizar para encontrar una aproximación numérica para una integral definida incluso si el teorema fundamental del cálculo no facilita la búsqueda de una solución de forma cerrada .

Debido a que la región rellenada por las formas pequeñas generalmente no tiene exactamente la misma forma que la región que se mide, la suma de Riemann será diferente del área que se mide. Este error se puede reducir dividiendo la región más finamente, utilizando formas cada vez más pequeñas. A medida que las formas se hacen cada vez más pequeñas, la suma se aproxima a la integral de Riemann .

Definición

Sea una función definida en un intervalo cerrado de los números reales , y ${\ Displaystyle f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle [a, b]}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle P = \ left \ {[x_ {0}, x_ {1}], [x_ {1}, x_ {2}], \ dots, [x_ {n-1}, x_ {n}] \ " derecho\}}$,

ser una partición de yo , donde

${\ Displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <x_ {2} <\ cdots <x_ {n} = b}$.

Una suma de Riemann de f sobre I con partición P se define como ${\ Displaystyle S}$

${\ Displaystyle S = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} ^ {*}) \, \ Delta x_ {i}}$

donde y . Se pueden producir diferentes sumas de Riemann dependiendo de las que se elijan. Al final, esto no importará, si la función es integrable de Riemann , cuando la diferencia o el ancho de los sumandos se acerque a cero. ${\ Displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {i} -x_ {i-1}}$${\ Displaystyle x_ {i} ^ {*} \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]}$${\ Displaystyle x_ {i} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ Delta x_ {i}}$

Algunos tipos específicos de sumas de Riemann

Las opciones específicas nos dan diferentes tipos de sumas de Riemann: ${\ Displaystyle x_ {i} ^ {*}}$

• Si para todo i , entonces S se llama regla de la izquierda o suma de Riemann a la izquierda .${\ Displaystyle x_ {i} ^ {*} = x_ {i-1}}$
• Si para todo i , entonces S se llama regla recta o suma de Riemann recta .${\ Displaystyle x_ {i} ^ {*} = x_ {i}}$
• Si para todo i , entonces S se denomina regla del punto medio o suma de Riemann media .${\ Displaystyle x_ {i} ^ {*} = (x_ {i} + x_ {i-1}) / 2}$
• Si (es decir, el supremo de f sobre ), entonces S se define como una suma de Riemann superior o una suma de Darboux superior .${\ Displaystyle f (x_ {i} ^ {*}) = \ sup f ([x_ {i-1}, x_ {i}])}$${\ Displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$
• Si (es decir, el mínimo de f sobre ), entonces S se define como una suma de Riemann menor o una suma de Darboux menor .${\ Displaystyle f (x_ {i} ^ {*}) = \ inf f ([x_ {i-1}, x_ {i}])}$${\ Displaystyle [x_ {i-1}, x_ {i}]}$

Todos estos métodos se encuentran entre las formas más básicas de lograr la integración numérica . En términos generales, una función es integrable de Riemann si todas las sumas de Riemann convergen a medida que la partición "se vuelve cada vez más fina".

Si bien no se deriva como una suma de Riemann, el promedio de las sumas de Riemann izquierda y derecha es la suma trapezoidal y es una de las formas más simples de aproximar integrales utilizando promedios ponderados. Esto es seguido en complejidad por la regla de Simpson y las fórmulas de Newton-Cotes .

Cualquier suma de Riemann en una partición dada (es decir, para cualquier elección entre y ) está contenida entre las sumas Darboux inferior y superior. Esto forma la base de la integral de Darboux , que en última instancia es equivalente a la integral de Riemann. ${\ Displaystyle x_ {i} ^ {*}}$${\ Displaystyle x_ {i-1}}$${\ Displaystyle x_ {i}}$

Métodos

Los cuatro métodos de sumatoria de Riemann suelen abordarse mejor con particiones de igual tamaño. Por tanto, el intervalo [ a , b ] se divide en subintervalos, cada uno de longitud ${\ Displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ Delta x = {\ frac {ba} {n}}.}$

Los puntos de la partición serán

${\ Displaystyle a, \; a + \ Delta x, \; a + 2 \ Delta x, \; \ ldots, \; a + (n-2) \ Delta x, \; a + (n-1) \ Delta x, \;B.}$

Suma de Riemann izquierda

Suma de Riemann izquierda de x ³ sobre [0,2] usando 4 subdivisiones

Para la suma de Riemann izquierda, la aproximación de la función por su valor en el punto del extremo izquierdo da múltiples rectángulos con base Δ x y altura f ( a + i Δ x ). Haciendo esto para i = 0, 1,…, n  - 1, y sumando las áreas resultantes da

${\ Displaystyle A _ {\ mathrm {left}} = \ Delta x \ left [f (a) + f (a + \ Delta x) + f (a + 2 * \ Delta x) + \ cdots + f (b- \ Delta x) \ derecha].}$

La suma de Riemann izquierda equivale a una sobreestimación si f es monótonamente decreciente en este intervalo, y una subestimación si se aumenta monotónicamente .

Suma de Riemann derecha

Suma de Riemann derecha de x ³ sobre [0,2] usando 4 subdivisiones

f se aproxima aquí por el valor en el punto final derecho. Esto da múltiples rectángulos con base Δ x y altura f ( a + i  Δ x ). Haciendo esto para i = 1,…, n , y sumando las áreas resultantes produce

${\ Displaystyle A _ {\ mathrm {derecha}} = \ Delta x \ left [f (a + \ Delta x) + f (a + 2 \, \ Delta x) + \ cdots + f (b) \ right].}$

La suma de Riemann derecho equivale a una subestimación si f está disminuyendo de forma monótona , y una sobreestimación si está aumentando monótonamente . El error de esta fórmula será

${\ Displaystyle \ left \ vert \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx-A _ {\ mathrm {right}} \ right \ vert \ leq {\ frac {M_ {1} (ba) ^ {2}} {2n}}}$,

donde es el valor máximo del valor absoluto de en el intervalo. ${\ Displaystyle M_ {1}}$${\ Displaystyle f ^ {\ prime} (x)}$

Regla del punto medio

Punto medio Suma de Riemann de x ³ sobre [0,2] usando 4 subdivisiones

Aproximadamente f en el punto medio de los intervalos da f ( a + Δ x / 2) para el primer intervalo, para el siguiente f ( a + 3Δ x / 2), y así sucesivamente hasta f ( b  - Δ x / 2). Resumiendo las áreas da

${\ Displaystyle A _ {\ mathrm {mid}} = \ Delta x \ left [f (a + {\ tfrac {\ Delta x} {2}}) + f (a + {\ tfrac {3 \, \ Delta x} { 2}}) + \ cdots + f (b - {\ tfrac {\ Delta x} {2}}) \ right]}$.

El error de esta fórmula será

${\ Displaystyle \ left \ vert \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx-A _ {\ mathrm {mid}} \ right \ vert \ leq {\ frac {M_ {2} (ba) ^ {3}} {24n ^ {2}}}}$,

donde es el valor máximo del valor absoluto de en el intervalo. ${\ Displaystyle M_ {2}}$${\ Displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x)}$

Regla trapezoidal

Suma trapezoidal de Riemann de x ³ sobre [0,2] utilizando 4 subdivisiones

En este caso, los valores de la función f en un intervalo se aproximan por el promedio de los valores en los extremos izquierdo y derecho. De la misma manera que arriba, un cálculo simple usando la fórmula del área

${\ Displaystyle A = {\ tfrac {1} {2}} h (b_ {1} + b_ {2})}$

para un trapecio con lados paralelos b ₁ , b ₂ y altura h produce

${\ Displaystyle A _ {\ mathrm {trap}} = {\ tfrac {1} {2}} \, \ Delta x \ left [f (a) + 2f (a + \ Delta x) + 2f (a + 2 \, \ Delta x) + \ cdots + f (b) \ right].}$

El error de esta fórmula será

${\ Displaystyle \ left \ vert \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx-A _ {\ mathrm {trap}} \ right \ vert \ leq {\ frac {M_ {2} (ba) ^ {3}} {12n ^ {2}}},}$

donde es el valor máximo del valor absoluto de . ${\ Displaystyle M_ {2}}$${\ Displaystyle f ^ {\ prime \ prime} (x)}$

La aproximación obtenida con la regla del trapezoide para una función es la misma que el promedio de las sumas de la mano izquierda y derecha de esa función.

Conexión con integración

Para una suma de Riemann unidimensional sobre el dominio , cuando el tamaño máximo de un elemento de partición se reduce a cero (que es el límite de la norma de la partición va a cero), algunas funciones harán que todas las sumas de Riemann converjan al mismo valor. Este valor límite, si existe, se define como la integral de Riemann definida de la función sobre el dominio, ${\ Displaystyle [a, b]}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \! f (x) \, dx = \ lim _ {\ | \ Delta x \ | \ rightarrow 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} ^ {*}) \, \ Delta x_ {i}.}$

Para un dominio de tamaño finito, si el tamaño máximo de un elemento de partición se reduce a cero, esto implica que el número de elementos de partición llega al infinito. Para particiones finitas, las sumas de Riemann son siempre aproximaciones al valor límite y esta aproximación mejora a medida que la partición se vuelve más fina. Las siguientes animaciones ayudan a demostrar cómo aumentar el número de particiones (mientras se reduce el tamaño máximo del elemento de partición) se aproxima mejor al "área" debajo de la curva:

• 

  Suma izquierda

• 

  Suma correcta

• 

  Suma media

Dado que aquí se supone que la función roja es una función suave, las tres sumas de Riemann convergerán al mismo valor a medida que el número de particiones llegue al infinito.

Ejemplo

Comparación de las sumas de la derecha de la función y = x ² de 0 a 2 con su integral de 0 a 2.

Una representación visual del área bajo la curva y = x ² para el intervalo de 0 a 2. Usando antiderivadas, esta área es exactamente 8/3.

Aproximación del área por debajo de 0 a 2 usando sumas de regla de la derecha. Observe que debido a que la función aumenta monótonamente, las sumas de la derecha siempre sobrestimarán el área contribuida por cada término en la suma (y lo harán al máximo).${\ Displaystyle y = x ^ {2}}$

El valor de la suma de Riemann bajo la curva y = x ² de 0 a 2. A medida que aumenta el número de rectángulos, se acerca al área exacta de 8/3.

Tomando un ejemplo, el área bajo la curva de y = x ² entre 0 y 2 se puede calcular procedimentalmente usando el método de Riemann.

El intervalo [0, 2] se divide en primer lugar en n subintervalos, a cada uno de los cuales se le asigna un ancho de ; estos son los anchos de los rectángulos de Riemann (en adelante "cajas"). Debido a que se va a utilizar la suma de Riemann correcta, la secuencia de coordenadas x para los cuadros será . Por tanto, la secuencia de las alturas de las cajas será . Es un hecho importante que , y . ${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {n}}}$${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$${\ Displaystyle x_ {1} ^ {2}, x_ {2} ^ {2}, \ ldots, x_ {n} ^ {2}}$${\ Displaystyle x_ {i} = {\ tfrac {2i} {n}}}$${\ Displaystyle x_ {n} = 2}$

El área de cada cuadro será por lo que el n º derecha suma de Riemann será: ${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {n}} \ times x_ {i} ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} S & = {\ frac {2} {n}} \ times \ left ({\ frac {2} {n}} \ right) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {2} {n}} \ veces \ izquierda ({\ frac {2i} {n}} \ derecha) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {2} {n}} \ veces \ izquierda ({\ frac {2n} {n}} \ right) ^ {2} \\ & = {\ frac {8} {n ^ {3}}} \ left (1+ \ cdots + i ^ {2} + \ cdots + n ^ {2} \ right) \\ & = {\ frac {8} {n ^ {3}}} \ left ({\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} \ derecha) \\ & = {\ frac {8} {n ^ {3}}} \ left ({\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ {2} + n} {6}} \ right) \\ & = {\ frac {8} {3}} + {\ frac {4} {n}} + {\ frac {4} {3n ^ {2}}} \ end {alineado}}}$

Si el límite se considera n → ∞, se puede concluir que la aproximación se acerca al valor real del área bajo la curva a medida que aumenta el número de cajas. Por eso:

${\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {8} {3}} + {\ frac {4} {n}} + {\ frac {4} {3n ^ {2}}} \ right) = {\ frac {8} {3}}}$

Este método concuerda con la integral definida calculada de formas más mecánicas:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2} x ^ {2} \, dx = {\ frac {8} {3}}}$

Debido a que la función es continua y aumenta monótonamente en el intervalo, una suma de Riemann derecha sobreestima la integral en la mayor cantidad (mientras que una suma de Riemann izquierda subestimaría la integral en la mayor cantidad). Este hecho, intuitivamente claro en los diagramas, muestra cómo la naturaleza de la función determina la precisión con la que se estima la integral. Si bien las sumas de Riemann simples, derecha e izquierda, a menudo son menos precisas que las técnicas más avanzadas para estimar una integral, como la regla trapezoidal o la regla de Simpson .

La función de ejemplo tiene una anti-derivada fácil de encontrar, por lo que estimar la integral por sumas de Riemann es principalmente un ejercicio académico; sin embargo, debe recordarse que no todas las funciones tienen anti-derivadas, por lo que estimar sus integrales por suma es prácticamente importante.

Mayores dimensiones

La idea básica detrás de una suma de Riemann es "dividir" el dominio a través de una partición en piezas, multiplicar el "tamaño" de cada pieza por algún valor que la función toma en esa pieza y sumar todos estos productos. Esto se puede generalizar para permitir sumas de Riemann para funciones en dominios de más de una dimensión.

Aunque intuitivamente, el proceso de dividir el dominio es fácil de comprender, los detalles técnicos de cómo se puede dividir el dominio se vuelven mucho más complicados que el caso unidimensional e involucran aspectos de la forma geométrica del dominio.

Dos dimensiones

En dos dimensiones, el dominio, se puede dividir en varias celdas, de modo que . En dos dimensiones, se puede interpretar que cada celda tiene un "área" denotada por . La suma de Riemann es ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ textstyle A = \ bigcup _ {i} A_ {i}}$${\ Displaystyle \ Delta A_ {i}}$

${\ Displaystyle S = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} ^ {*}, y_ {i} ^ {*}) \, \ Delta A_ {i},}$

donde . ${\ Displaystyle (x_ {i} ^ {*}, y_ {i} ^ {*}) \ in A_ {i}}$

Tres dimensiones

En tres dimensiones, se acostumbra utilizar la letra para el dominio, de modo que debajo de la partición y está el "volumen" de la celda indexada por . La suma de Riemann tridimensional puede entonces escribirse como ${\ Displaystyle V}$${\ textstyle V = \ bigcup _ {i} V_ {i}}$${\ Displaystyle \ Delta V_ {i}}$${\ Displaystyle i}$

${\ Displaystyle S = \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} ^ {*}, y_ {i} ^ {*}, z_ {i} ^ {*}) \, \ Delta V_ {i}}$

con . ${\ Displaystyle (x_ {i} ^ {*}, y_ {i} ^ {*}, z_ {i} ^ {*}) \ in V_ {i}}$

Número arbitrario de dimensiones

Las sumas de Riemann de dimensiones más altas siguen una similar de una a dos a tres dimensiones. Para una dimensión arbitraria, n, una suma de Riemann se puede escribir como

${\ Displaystyle S = \ sum _ {i} f (P_ {i} ^ {*}) \, \ Delta V_ {i}}$

donde , es decir, es un punto en la celda n-dimensional con un volumen n-dimensional . ${\ Displaystyle P_ {i} ^ {*} \ in V_ {i}}$${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle \ Delta V_ {i}}$

Generalización

En alta generalidad, las sumas de Riemann se pueden escribir

${\ Displaystyle S = \ sum _ {i} f (P_ {i} ^ {*}) \ mu (V_ {i})}$

donde representa cualquier punto arbitrario contenido en el elemento de partición y es una medida del conjunto subyacente. En términos generales, una medida es una función que da un "tamaño" de un conjunto, en este caso el tamaño del conjunto ; en una dimensión, esto a menudo se puede interpretar como la longitud del intervalo, en dos dimensiones, un área, en tres dimensiones, un volumen, etc. ${\ Displaystyle P_ {i} ^ {*}}$${\ Displaystyle V_ {i}}$${\ Displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle V_ {i}}$

Ver también

• Antiderivada
• Método de Euler y método del punto medio , métodos relacionados para resolver ecuaciones diferenciales
• Integral de Lebesgue
• Integral de Riemann , límite de las sumas de Riemann cuando la partición se vuelve infinitamente fina
• La regla de Simpson , un poderoso método numérico más poderoso que las sumas básicas de Riemann o incluso la regla trapezoidal
• Regla trapezoidal , método numérico basado en el promedio de la suma de Riemann izquierda y derecha

Referencias

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Riemann Sum" . MathWorld .
• Una simulación que muestra la convergencia de las sumas de Riemann