Integral no elemental - Nonelementary integral

En matemáticas , una antiderivada no elemental de una función elemental dada es una antiderivada (o integral indefinida) que, en sí misma, no es una función elemental (es decir, una función construida a partir de un número finito de cocientes de constante , algebraico , exponencial , trigonométrico y logarítmico funciones que utilizan operaciones de campo ). Un teorema de Liouville en 1835 proporcionó la primera prueba de que existen antiderivadas no elementales. Este teorema también proporciona una base para el algoritmo de Risch para determinar (con dificultad) qué funciones elementales tienen antiderivadas elementales.

Ejemplos de funciones con antiderivadas no elementales incluyen:

• ${\ Displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {4}}}}$( integral elíptica )
• ${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ ln x}}}$( integral logarítmica )
• ${\ Displaystyle e ^ {- x ^ {2}}}$( función de error , integral gaussiana )
• ${\ Displaystyle \ sin (x ^ {2})}$y ( integral de Fresnel )${\ Displaystyle \ cos (x ^ {2})}$
• ${\ Displaystyle {\ frac {\ sin (x)} {x}} = \ operatorname {sinc} (x)}$( integral de seno , integral de Dirichlet )
• ${\ Displaystyle {\ frac {e ^ {- x}} {x}}}$( integral exponencial )
• ${\ Displaystyle e ^ {e ^ {x}} \,}$(en términos de la integral exponencial)
• ${\ Displaystyle \ ln (\ ln x) \,}$(en términos de la integral logarítmica)
• ${\ Displaystyle {x ^ {c-1}} e ^ {- x}}$( función gamma incompleta ); para c = 0, la antiderivada se puede escribir en términos de la integral exponencial; para c = 1/2, en términos de la función de error; para c = cualquier entero positivo, la antiderivada es elemental.

Algunas funciones antiderivadas no elementales comunes reciben nombres que definen las llamadas funciones especiales , y las fórmulas que involucran estas nuevas funciones pueden expresar una clase más grande de antiderivadas no elementales. Los ejemplos anteriores nombran las funciones especiales correspondientes entre paréntesis.

Las antiderivadas no elementales a menudo se pueden evaluar utilizando series de Taylor . Incluso si una función no tiene antiderivada elemental, su serie de Taylor siempre se puede integrar término por término como un polinomio , dando la función antiderivada como una serie de Taylor con el mismo radio de convergencia . Sin embargo, incluso si el integrando tiene una serie de Taylor convergente, su secuencia de coeficientes a menudo no tiene una fórmula elemental y debe evaluarse término por término, con la misma limitación para la serie de Taylor integral.

Incluso si no es posible evaluar una integral indefinida (antiderivada) en términos elementales, siempre se puede aproximar una integral definida correspondiente mediante integración numérica . También hay casos en los que no hay antiderivada elemental, pero integrales definidas específicas (a menudo integrales impropias sobre intervalos ilimitados ) se pueden evaluar en términos elementales: el más famoso es la integral gaussiana ${\ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = {\ sqrt {\ pi}}.}$

El cierre bajo integración del conjunto de las funciones elementales es el conjunto de las funciones de Liouvillian .

Ver también

• Listas de integrales
• Derivados
• Integraciones simbólicas
• Funciones algebraicas
• Funciones trascendentales

Referencias

• Integración de funciones no elementales , SOS MATHematics.com; consultado el 7 de diciembre de 2012.

Otras lecturas

• Williams, Dana P., ANTIDERIVATIVOS NO ELEMENTALES , 1 de diciembre de 1993. Consultado el 24 de enero de 2014.