Función integral logarítmica - Logarithmic integral function

En matemáticas , la función integral logarítmica o logaritmo integral li ( x ) es una función especial . Es relevante en problemas de física y tiene un significado teórico de números . En particular, de acuerdo con el teorema de Siegel-Walfisz , es una muy buena aproximación a la función de conteo de primos , que se define como el número de números primos menores o iguales a un valor dado .${\ Displaystyle x}$

Gráfico de función integral logarítmica

Representación integral

La integral logarítmica tiene una representación integral definida para todos los números reales positivos x  ≠ 1 por la integral definida

${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}}.}$

Aquí, ln denota el logaritmo natural . La función 1 / (ln t ) tiene una singularidad en t = 1 , y la integral para x > 1 se interpreta como un valor principal de Cauchy ,

${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 +} \ left (\ int _ {0} ^ {1- \ varepsilon} {\ frac {dt} {\ ln t} } + \ int _ {1+ \ varepsilon} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}} \ right).}$

Compensación integral logarítmica

La integral logarítmica desplazada o integral logarítmica euleriana se define como

${\ Displaystyle \ operatorname {Li} (x) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {dt} {\ ln t}} = \ operatorname {li} (x) - \ operatorname {li} ( 2).}$

Como tal, la representación integral tiene la ventaja de evitar la singularidad en el dominio de la integración.

Valores especiales

La función li ( x ) tiene un solo cero positivo; ocurre en x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930 ... OEIS :  A070769 ; este número se conoce como la constante de Ramanujan-Soldner .

−Li (0) = li (2) ≈ 1.045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151 ... OEIS :  A069284

Aquí es donde está la función gamma incompleta . Debe entenderse como el valor principal de Cauchy de la función. ${\ Displaystyle - (\ Gamma \ left (0, - \ ln 2 \ right) + i \, \ pi)}$${\ Displaystyle \ Gamma \ left (a, x \ right)}$

Representación de series

La función li ( x ) está relacionada con la integral exponencial Ei ( x ) a través de la ecuación

${\ Displaystyle {\ hbox {li}} (x) = {\ hbox {Ei}} (\ ln x), \, \!}$

que es válido para x  > 0. Esta identidad proporciona una representación en serie de li ( x ) como

${\ Displaystyle \ operatorname {li} (e ^ {u}) = {\ hbox {Ei}} (u) = \ gamma + \ ln | u | + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { u ^ {n} \ over n \ cdot n!} \ quad {\ text {para}} u \ neq 0 \ ;,}$

donde γ ≈ 0.57721 56649 01532 ... OEIS :  A001620 es la constante de Euler-Mascheroni . Una serie convergente más rápidamente de Ramanujan es

${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ gamma + \ ln \ ln x + {\ sqrt {x}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ { n-1} (\ ln x) ^ {n}} {n! \, 2 ^ {n-1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} {\ frac {1} {2k + 1}}.}$

Expansión asintótica

El comportamiento asintótico para x  → ∞ es

${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x) = O \ left ({\ frac {x} {\ ln x}} \ right).}$

donde está la notación O grande . La expansión asintótica completa es ${\ Displaystyle O}$

${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(\ ln x ) ^ {k}}}}$

o

${\ Displaystyle {\ frac {\ operatorname {li} (x)} {x / \ ln x}} \ sim 1 + {\ frac {1} {\ ln x}} + {\ frac {2} {(\ ln x) ^ {2}}} + {\ frac {6} {(\ ln x) ^ {3}}} + \ cdots.}$

Esto da el siguiente comportamiento asintótico más preciso:

${\ Displaystyle \ operatorname {li} (x) - {\ frac {x} {\ ln x}} = O \ left ({\ frac {x} {\ ln ^ {2} x}} \ right).}$

Como expansión asintótica, esta serie no es convergente : es una aproximación razonable solo si la serie está truncada en un número finito de términos y solo se emplean valores grandes de x . Esta expansión se sigue directamente de la expansión asintótica de la integral exponencial .

Esto implica, por ejemplo, que podemos poner entre corchetes li como:

${\ Displaystyle 1 + {\ frac {1} {\ ln x}} <\ operatorname {li} (x) {\ frac {\ ln x} {x}} <1 + {\ frac {1} {\ ln x}} + {\ frac {3} {(\ ln x) ^ {2}}}}$

para todos . ${\ Displaystyle \ ln x \ geq 11}$

Significado teórico del número

La integral logarítmica es importante en la teoría de números , ya que aparece en las estimaciones del número de números primos menores que un valor dado. Por ejemplo, el teorema de los números primos establece que:

${\ Displaystyle \ pi (x) \ sim \ operatorname {Li} (x)}$

donde denota el número de primos menores o iguales a . ${\ Displaystyle \ pi (x)}$${\ Displaystyle x}$

Suponiendo la hipótesis de Riemann , obtenemos la aún más fuerte:

${\ Displaystyle \ operatorname {Li} (x) - \ pi (x) = O ({\ sqrt {x}} \ log x)}$

Ver también

• Jørgen Pedersen Gram
• Número de sesgos
• Lista de integrales de funciones logarítmicas

Referencias

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 5" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 228. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Señor  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Temme, NM (2010), "Integrales exponenciales, logarítmicas, seno y coseno" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248