Cálculo no estándar - Nonstandard calculus

En matemáticas , el cálculo no estándar es la aplicación moderna de infinitesimales , en el sentido de análisis no estándar , al cálculo infinitesimal . Proporciona una justificación rigurosa para algunos argumentos en cálculo que anteriormente se consideraban meramente heurísticos .

Los cálculos no rigurosos con infinitesimales se usaron ampliamente antes de que Karl Weierstrass buscara reemplazarlos con la definición de límite (ε, δ) a partir de la década de 1870. (Véase la historia del cálculo .) Durante casi cien años a partir de entonces, matemáticos como Richard Courant vieron a los infinitesimales como ingenuos, vagos o sin sentido.

Contrariamente a tales puntos de vista, Abraham Robinson demostró en 1960 que los infinitesimales son precisos, claros y significativos, basándose en el trabajo de Edwin Hewitt y Jerzy Łoś . Según Howard Keisler , "Robinson resolvió un problema de trescientos años dando un tratamiento preciso de los infinitesimales. El logro de Robinson probablemente se ubicará como uno de los mayores avances matemáticos del siglo XX".

Historia

La historia del cálculo no estándar comenzó con el uso de cantidades infinitamente pequeñas, llamadas infinitesimales en cálculo . El uso de infinitesimales se puede encontrar en los fundamentos del cálculo desarrollados independientemente por Gottfried Leibniz e Isaac Newton a partir de la década de 1660. John Wallis refinó técnicas anteriores de indivisibles de Cavalieri y otros explotando una cantidad infinitesimal que denotó en los cálculos de áreas, preparando el terreno para el cálculo integral . Se basaron en el trabajo de matemáticos como Pierre de Fermat , Isaac Barrow y René Descartes . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ infty}}}$

En el cálculo temprano, el uso de cantidades infinitesimales fue criticado por varios autores, sobre todo Michel Rolle y el obispo Berkeley en su libro The Analyst .

Varios matemáticos, incluidos Maclaurin y d'Alembert , abogaron por el uso de límites. Augustin Louis Cauchy desarrolló un espectro versátil de enfoques fundamentales, incluida una definición de continuidad en términos de infinitesimales y un prototipo (algo impreciso) de un argumento ε, δ al trabajar con la diferenciación. Karl Weierstrass formalizó el concepto de límite en el contexto de un sistema numérico (real) sin infinitesimales. Siguiendo el trabajo de Weierstrass, eventualmente se hizo común basar el cálculo en argumentos ε, δ en lugar de infinitesimales.

Este enfoque formalizado por Weierstrass llegó a conocerse como el cálculo estándar . Después de muchos años de que el enfoque infinitesimal del cálculo cayera en desuso más que como una herramienta pedagógica introductoria, Abraham Robinson finalmente dio una base rigurosa al uso de cantidades infinitesimales en la década de 1960. El enfoque de Robinson se denomina análisis no estándar para distinguirlo del uso estándar de límites. Este enfoque utilizó maquinaria técnica de la lógica matemática para crear una teoría de números hiperrealistas que interpretan los infinitesimales de una manera que permite un desarrollo similar al de Leibniz de las reglas habituales del cálculo. Un enfoque alternativo, desarrollado por Edward Nelson , encuentra infinitesimales en la línea real ordinaria en sí, e implica una modificación del escenario fundamental mediante la ampliación de ZFC mediante la introducción de un nuevo predicado unario "estándar".

Motivación

Para calcular la derivada de la función en x , ambos enfoques coinciden en las manipulaciones algebraicas: ${\ displaystyle f '}$ ${\ Displaystyle y = f (x) = x ^ {2}}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {(x + \ Delta x) ^ {2} -x ^ {2}} {\ Delta x}} = {\ frac { 2x \ Delta x + (\ Delta x) ^ {2}} {\ Delta x}} = 2x + \ Delta x \ approx 2x}

Esto se convierte en un cálculo de las derivadas utilizando las hiperreal si se interpreta como un infinitesimal y el símbolo " " es la relación "es infinitamente cercana a". ${\ Displaystyle \ Delta x}$ ${\ Displaystyle \ approx}$

Para hacer de f ' una función de valor real, se prescinde del término final . En el enfoque estándar que usa solo números reales, eso se hace tomando el límite como tiende a cero. En el enfoque hiperreal , la cantidad se toma como un infinitesimal, un número distinto de cero que está más cerca de 0 que de cualquier real distinto de cero. Las manipulaciones que se muestran arriba muestran que está infinitamente cerca de 2 x , por lo que la derivada de f en x es 2 x . ${\ Displaystyle \ Delta x}$ ${\ Displaystyle \ Delta x}$ ${\ Displaystyle \ Delta x}$ ${\ Displaystyle \ Delta y / \ Delta x}$

El descarte del "término de error" se logra mediante una aplicación de la función de pieza estándar . Prescindir de términos de error infinitesimal fue considerado históricamente paradójico por algunos escritores, sobre todo George Berkeley .

Una vez que el sistema numérico hiperreal (un continuo enriquecido en infinitesimales) está en su lugar, uno ha incorporado con éxito una gran parte de las dificultades técnicas en el nivel fundamental. Por lo tanto, las técnicas épsilon, delta que algunos creen que son la esencia del análisis se pueden implementar de una vez por todas en el nivel fundamental, y los estudiantes no necesitan estar "vestidos para realizar acrobacias lógicas de cuantificadores múltiples con la pretensión de que se les enseñe infinitesimales". cálculo ", para citar un estudio reciente. Más específicamente, los conceptos básicos de cálculo como continuidad, derivada e integral se pueden definir usando infinitesimales sin referencia a épsilon, delta (ver la siguiente sección).

Libro de texto de Keisler

El cálculo elemental de Keisler : un enfoque infinitesimal define la continuidad en la página 125 en términos de infinitesimales, con exclusión de los métodos épsilon y delta. La derivada se define en la página 45 utilizando infinitesimales en lugar de un enfoque épsilon-delta. La integral se define en la página 183 en términos de infinitesimales. Las definiciones de Epsilon, delta se presentan en la página 282.

Definición de derivada

Los hiperrealistas pueden construirse en el marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la axiomatización estándar de la teoría de conjuntos utilizada en otras partes de las matemáticas. Para dar una idea intuitiva del enfoque hiperreal, tenga en cuenta que, hablando ingenuamente, el análisis no estándar postula la existencia de números positivos ε que son infinitamente pequeños , lo que significa que ε es más pequeño que cualquier real positivo estándar, pero mayor que cero. Cada número real x está rodeado por una "nube" infinitesimal de números hiperreales infinitamente cerca de él. Para definir la derivada de f en un número real estándar x en este enfoque, ya no se necesita un proceso de limitación infinita como en el cálculo estándar. En cambio, uno establece

{\ displaystyle f '(x) = \ mathrm {st} \ left ({\ frac {f ^ {*} (x + \ varepsilon) -f ^ {*} (x)} {\ varepsilon}} \ right), }

donde st es la función de parte estándar , lo que produce el número real infinitamente cercano al argumento hiperreal de st , y es la extensión natural de a los hiperreal. ${\ Displaystyle f ^ {*}}$ ${\ Displaystyle f}$

Continuidad

Una función real f es continua en un número real estándar x si para todo hiperreal x ' infinitamente cercano ax , el valor f ( x' ) también es infinitamente cercano af ( x ). Esto captura la definición de continuidad de Cauchy tal como se presenta en su libro de texto de 1821 Cours d'Analyse , p. 34.

Aquí, para ser precisos, f tendría que ser reemplazada por su extensión hiperreal natural usualmente denotada como f ^* (ver discusión sobre el principio de transferencia en el artículo principal en análisis no estándar ).

Usando la notación para la relación de estar infinitamente cerca como arriba, la definición puede extenderse a puntos arbitrarios (estándar o no estándar) de la siguiente manera: ${\ Displaystyle \ approx}$

Una función f es microcontinua en x si siempre que se tiene ${\ Displaystyle x '\ approx x}$ ${\ Displaystyle f ^ {*} (x ') \ approx f ^ {*} (x)}$

Aquí se supone que el punto x 'está en el dominio de (la extensión natural de) f .

Lo anterior requiere menos cuantificadores que la definición ( ε , δ ) familiar del cálculo elemental estándar:

f es continua en x si para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que para todo x ' , siempre que | x - x ' | < δ , uno tiene | f ( x ) - f ( x ' ) | < ε .

Continuidad uniforme

Una función f en un intervalo I es uniformemente continua si su extensión natural f * en I * tiene la siguiente propiedad (ver Keisler, Foundations of Infinitesimal Calculus ('07), p. 45):

para cada par de hyperreals x e y en I *, si a continuación . ${\ Displaystyle x \ approx y}$ ${\ Displaystyle f ^ {*} (x) \ approx f ^ {*} (y)}$

En términos de microcontinuidad definida en la sección anterior, esto se puede enunciar de la siguiente manera: una función real es uniformemente continua si su extensión natural f * es microcontinua en cada punto del dominio de f *.

Esta definición tiene una complejidad de cuantificador reducida en comparación con la definición estándar (ε, δ) . Es decir, la definición épsilon-delta de continuidad uniforme requiere cuatro cuantificadores, mientras que la definición infinitesimal requiere solo dos cuantificadores. Tiene la misma complejidad cuantificadora que la definición de continuidad uniforme en términos de secuencias en el cálculo estándar, que sin embargo no es expresable en el lenguaje de primer orden de los números reales.

La definición hiperreal se puede ilustrar con los siguientes tres ejemplos.

Ejemplo 1: una función f es uniformemente continua en el intervalo semiabierto (0,1], si y solo si su extensión natural f * es microcontinua (en el sentido de la fórmula anterior) en cada infinitesimal positivo, además de la continuidad en los puntos estándar del intervalo.

Ejemplo 2: una función f es uniformemente continua en el intervalo semiabierto [0, ∞) si y solo si es continua en los puntos estándar del intervalo, y además, la extensión natural f * es microcontinua en todo infinito positivo punto hiperreal.

Ejemplo 3: de manera similar, la falla de continuidad uniforme para la función de cuadratura

{\ Displaystyle x ^ {2}}

se debe a la ausencia de microcontinuidad en un único punto hiperreal infinito, ver más abajo.

Con respecto a la complejidad del cuantificador, Kevin Houston hizo las siguientes observaciones :

El número de cuantificadores en un enunciado matemático da una medida aproximada de la complejidad del enunciado. Las declaraciones que involucran tres o más cuantificadores pueden ser difíciles de entender. Esta es la razón principal por la que es difícil comprender las definiciones rigurosas de límite, convergencia, continuidad y diferenciabilidad en el análisis, ya que tienen muchos cuantificadores. De hecho, es la alternancia de y lo que causa la complejidad.

{\ Displaystyle \ forall}

{\ Displaystyle \ existe}

Andreas Blass escribió lo siguiente:

A menudo ... la definición no estándar de un concepto es más simple que la definición estándar (intuitivamente más simple y más simple en un sentido técnico, como cuantificadores sobre tipos más bajos o menos alternancias de cuantificadores).

Compacidad

Un conjunto A es compacto si y solo si su extensión natural A * tiene la siguiente propiedad: cada punto en A * está infinitamente cerca de un punto de A. Por lo tanto, el intervalo abierto (0,1) no es compacto porque su extensión natural contiene infinitesimales positivos que no están infinitamente cerca de ningún número real positivo.

Teorema de Heine-Cantor

El hecho de que una función continua en un intervalo compacto I sea necesariamente uniformemente continua (el teorema de Heine-Cantor ) admite una prueba hiperreal sucinta. Deje x , y sean hyperreals en la extensión natural I * de I . Desde I es compacto, tanto st ( x ) y st ( y ) pertenecen a I . Si X e Y eran infinitamente cerca, y luego por la desigualdad triangular, tendrían la misma parte estándar

{\ Displaystyle c = \ operatorname {st} (x) = \ operatorname {st} (y).}

Dado que la función se supone continua en c,

{\ Displaystyle f (x) \ approx f (c) \ approx f (y),}

y por lo tanto f ( x ) yf ( y ) son infinitamente cercanas, lo que demuestra la continuidad uniforme de f .

¿Por qué la función de cuadratura no es uniformemente continua?

Sea f ( x ) = x ² definido en . Sea un hiperreal infinito. El número hiperreal es infinitamente cerca de N . Mientras tanto, la diferencia ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle N \ in \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle N + {\ tfrac {1} {N}}}$

{\ displaystyle f (N + {\ tfrac {1} {N}}) - f (N) = N ^ {2} +2 + {\ tfrac {1} {N ^ {2}}} - N ^ {2 } = 2 + {\ tfrac {1} {N ^ {2}}}}

no es infinitesimal. Por lo tanto, f * deja de ser microcontinuous en el punto hyperreal N . Por tanto, la función de cuadratura no es uniformemente continua, según la definición de continuidad uniforme anterior.

Se puede dar una prueba similar en la configuración estándar ( Fitzpatrick 2006 , Ejemplo 3.15).

Ejemplo: función de Dirichlet

Considere la función de Dirichlet

{\ Displaystyle I_ {Q} (x): = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} x {\ text {es racional}}, \\ 0 & {\ text {if}} x {\ text {es irracional}}. \ end {cases}}}

Es bien sabido que, según la definición estándar de continuidad , la función es discontinua en todos los puntos. Comprobemos esto en términos de la definición hiperreal de continuidad anterior, por ejemplo, demostremos que la función de Dirichlet no es continua en π. Considere la aproximación de fracción continua a _n de π. Ahora sea el índice n un número hipernatural infinito . Por el principio de transferencia , la extensión natural de la función de Dirichlet toma el valor 1 en una _n . Tenga en cuenta que el punto hiperracional un _n es infinitamente cercana a π. Por lo tanto, la extensión natural de la función de Dirichlet toma valores diferentes (0 y 1) en estos dos puntos infinitamente cercanos y, por lo tanto, la función de Dirichlet no es continua en π .

Límite

Si bien la idea central del enfoque de Robinson es que se puede prescindir del enfoque utilizando múltiples cuantificadores, la noción de límite puede recapturarse fácilmente en términos de la función de parte estándar st , a saber

{\ Displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = L}

si y solo si siempre que la diferencia x - a es infinitesimal, la diferencia f ( x ) - L también es infinitesimal, o en fórmulas:

si st ( x ) = a entonces st ( f ( x )) = L,

cf. (ε, δ) -definición de límite .

Límite de secuencia

Dada una secuencia de números reales , si L es el límite de la secuencia y ${\ Displaystyle \ {x_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$ ${\ Displaystyle L \ in \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n}}

si para cada n hipernatural infinito , st ( x _n ) = L (aquí el principio de extensión se usa para definir x _n para cada hiperinteger n ).

Esta definición no tiene alteraciones de cuantificadores . La definición de estilo estándar (ε, δ) , por otro lado, tiene alternancias de cuantificadores:

{\ Displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} x_ {n} \ Longleftrightarrow \ forall \ varepsilon> 0 \;, \ existe N \ in \ mathbb {N} \;, \ forall n \ in \ mathbb {N}: n> N \ rightarrow | x_ {n} -L | <\ varepsilon.}

Teorema del valor extremo

Para mostrar que una función continua real f en [0,1] tiene un máximo, sea N un hiperintegro infinito . El intervalo [0, 1] tiene una extensión hiperreal natural. La función f también se extiende naturalmente a hiperreal entre 0 y 1. Considere la partición del intervalo hiperreal [0,1] en N subintervalos de igual longitud infinitesimal 1 / N , con puntos de partición x _i = i / N como i "corre "de 0 a N . En el ajuste estándar (cuando N es finito), un punto con el valor máximo de f siempre se puede elegir entre los N +1 puntos x _i , por inducción. Por tanto, por el principio de transferencia , hay un hiperinteger i ₀ tal que 0 ≤ i ₀ ≤ N y para todo i = 0,…, N (una explicación alternativa es que todo conjunto hiperfinito admite un máximo). Considere el punto real ${\ Displaystyle f (x_ {i_ {0}}) \ geq f (x_ {i})}$

{\ Displaystyle c = {\ rm {st}} (x_ {i_ {0}})}

donde st es la función de pieza estándar . Un punto real arbitrario x se encuentra en un subintervalo adecuado de la partición, a saber , de modo que st ( x _i ) = x . Aplicando st a la desigualdad , . Por continuidad de f , ${\ Displaystyle x \ in [x_ {i}, x_ {i + 1}]}$ ${\ Displaystyle f (x_ {i_ {0}}) \ geq f (x_ {i})}$ ${\ Displaystyle {\ rm {st}} (f (x_ {i_ {0}})) \ geq {\ rm {st}} (f (x_ {i}))}$

{\ Displaystyle {\ rm {st}} (f (x_ {i_ {0}})) = f ({\ rm {st}} (x_ {i_ {0}})) = f (c)}

.

Por tanto, f ( c ) ≥ f ( x ), para todo x , demostrando que c es un máximo de la función real f . Véase Keisler (1986 , pág. 164) .

Teorema del valor intermedio

Como otra ilustración del poder del enfoque de Robinson , una breve demostración del teorema del valor intermedio ( teorema de Bolzano) usando infinitesimales se realiza de la siguiente manera.

Sea f una función continua en [ a , b ] tal que f ( a ) <0 mientras que f ( b )> 0. Entonces existe un punto c en [ a , b ] tal que f ( c ) = 0.

La prueba procede de la siguiente manera. Sea N un hiperintegro infinito . Considere una partición de [ a , b ] en N intervalos de igual longitud, con puntos de partición x _i como i va de 0 a N . Considere la colección I de índices tales que f ( x _i )> 0. Sea i ₀ el elemento mínimo en I (tal elemento existe por el principio de transferencia , ya que I es un conjunto hiperfinito ). Entonces el numero real

{\ Displaystyle c = \ mathrm {st} (x_ {i_ {0}})}

es el cero deseado de f . Tal prueba reduce la complejidad cuantificadora de una prueba estándar del IVT.

Teoremas básicos

Si f es una función de valor real definida en un intervalo [ a , b ], entonces el operador de transferencia aplicado af , denotado por * f , es una función interna de valor hiperreal definida en el intervalo hiperreal [* a , * b ] .

Teorema : Sea f una función de valor real definida en un intervalo [ a , b ]. Entonces f es diferenciable en a <x <b si y solo si para cada h infinitesimal distinto de cero , el valor

{\ Displaystyle \ Delta _ {h} f: = \ operatorname {st} {\ frac {[{} ^ {*} \! f] (x + h) - [{} ^ {*} \! f] ( x)} {h}}}

es independiente de h . En ese caso, el valor común es la derivada de f en x .

Este hecho se deriva del principio de transferencia de análisis no estándar y desbordamiento .

Tenga en cuenta que un resultado similar es válido para la diferenciabilidad en los puntos finales a , b siempre que el signo del infinitesimal h esté adecuadamente restringido.

Para el segundo teorema, la integral de Riemann se define como el límite, si existe, de una familia dirigida de sumas de Riemann ; estas son sumas de la forma

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} f (\ xi _ {k}) (x_ {k + 1} -x_ {k})}

dónde

{\ Displaystyle a = x_ {0} \ leq \ xi _ {0} \ leq x_ {1} \ leq \ ldots x_ {n-1} \ leq \ xi _ {n-1} \ leq x_ {n} = B.}

Tal secuencia de valores se llama partición o malla y

{\ Displaystyle \ sup _ {k} (x_ {k + 1} -x_ {k})}

el ancho de la malla. En la definición de la integral de Riemann, el límite de las sumas de Riemann se toma cuando el ancho de la malla llega a 0.

Teorema : Sea f una función de valor real definida en un intervalo [ a , b ]. Entonces f es integrable de Riemann en [ a , b ] si y solo si para cada malla interna de ancho infinitesimal, la cantidad

{\ Displaystyle S_ {M} = \ operatorname {st} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} [* f] (\ xi _ {k}) (x_ {k + 1} -x_ {k })}

es independiente de la malla. En este caso, el valor común es la integral de Riemann de f sobre [ a , b ].

Aplicaciones

Una aplicación inmediata es una extensión de las definiciones estándar de diferenciación e integración a funciones internas en intervalos de números hiperreales.

Una función interna con valores hiperreal f en [ a, b ] es S -diferenciable en x , siempre que

{\ Displaystyle \ Delta _ {h} f = \ operatorname {st} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

existe y es independiente del infinitesimal h . El valor es la derivada S en x .

Teorema : Suponga que f es S -diferenciable en cada punto de [ a, b ] donde b - a es un hiperreal acotado. Supongamos además que

{\ Displaystyle | f '(x) | \ leq M \ quad a \ leq x \ leq b.}

Entonces, para algunos infinitesimales ε

{\ Displaystyle | f (b) -f (a) | \ leq M (ba) + \ epsilon.}

Para probar esto, sea N un número natural no estándar. Divida el intervalo [ a , b ] en N subintervalos colocando N - 1 puntos intermedios igualmente espaciados:

{\ Displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {N-1} <x_ {N} = b}

Luego

{\ Displaystyle | f (b) -f (a) | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} | f (x_ {k + 1}) - f (x_ {k}) | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} \ left \ {| f '(x_ {k}) | + \ epsilon _ {k} \ right \} | x_ {k + 1} -x_ { k} |.}

Ahora bien, el máximo de cualquier conjunto interno de infinitesimales es infinitesimal. Por tanto, todos los ε _k están dominados por un ε infinitesimal. Por lo tanto,

{\ Displaystyle | f (b) -f (a) | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} (M + \ epsilon) (x_ {k + 1} -x_ {k}) = M (ba) + \ epsilon (ba)}

de donde se sigue el resultado.

Ver también

Notas

Referencias

Fitzpatrick, Patrick (2006), cálculo avanzado , Brooks / Cole
H. Jerome Keisler: Cálculo elemental: un enfoque que utiliza infinitesimales. Primera edición 1976; 2ª edición 1986. (Este libro está agotado. El editor ha revertido los derechos de autor al autor, que ha puesto a disposición la 2ª edición en formato .pdf para su descarga en http://www.math.wisc.edu/ ~ keisler / calc.html .)
H. Jerome Keisler: Foundations of Infinitesimal Calculus, disponible para descargar en http://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html (10 de enero de 2007)
Blass, Andreas (1978), "Revisión: Martin Davis, Análisis no estándar aplicado, y KD Stroyan y WAJ Luxemburg, Introducción a la teoría de infinitesimales, y H. Jerome Keisler, Fundamentos del cálculo infinitesimal" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 84 (1): 34–41, doi : 10.1090 / S0002-9904-1978-14401-2
Baron, Margaret E .: Los orígenes del cálculo infinitesimal. Pergamon Press, Oxford-Edimburgo-Nueva York 1969. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1987. (Una nueva edición del libro de Baron apareció en 2004)
"Cálculo infinitesimal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

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