Teorema de Mordell-Weil - Mordell–Weil theorem

En matemáticas , el teorema de Mordell-Weil establece que para una variedad abeliana sobre un campo numérico , el grupo de puntos K -racionales de es un grupo abeliano generado finitamente , llamado grupo de Mordell-Weil . El caso de una curva elíptica y el campo numérico racional Q es el teorema de Mordell , que responde a una pregunta aparentemente planteada por Henri Poincaré alrededor de 1901; fue probado por Louis Mordell en 1922. Es un teorema fundamental de la geometría diofántica y la aritmética de las variedades abelianas . ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle A (K)}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle K}$

Historia

El proceso de la cuerda tangente (una forma de teorema de la adición en una curva cúbica ) se conocía ya en el siglo XVII. El proceso de descendencia infinita de Fermat era bien conocido, pero Mordell logró establecer la finitud del grupo cociente que constituye un paso importante en la demostración. Ciertamente, la finitud de este grupo es una condición necesaria para que se genere finitamente; y muestra que el rango es finito. Ésta resulta ser la dificultad esencial. Se puede demostrar por análisis directo de la duplicación de un punto en E . ${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q}) / 2E (\ mathbb {Q})}$${\ Displaystyle E (\ mathbb {Q})}$

Años más tarde, André Weil retoma el tema, produciendo la generalización a los jacobianos de las curvas de género superior sobre campos numéricos arbitrarios en su tesis doctoral publicada en 1928. Se requerían métodos más abstractos para realizar una prueba con la misma estructura básica. La segunda mitad de la demostración necesita algún tipo de función de altura , en términos de la cual limitar el 'tamaño' de los puntos . Alguna medida de las coordenadas servirá; las alturas son logarítmicas, por lo que (en términos generales) es una cuestión de cuántos dígitos se requieren para escribir un conjunto de coordenadas homogéneas . Sin embargo, para una variedad abeliana, no existe una representación preferida a priori como variedad proyectiva . ${\ Displaystyle A (K)}$

Ambas mitades de la prueba se han mejorado significativamente, gracias a los avances técnicos posteriores: en la cohomología de Galois aplicada al descenso, y en el estudio de las mejores funciones de altura (que son formas cuadráticas ).

Resultados adicionales

El teorema dejó sin respuesta una serie de preguntas:

• Cálculo del rango. Este sigue siendo un problema computacional exigente y no siempre tiene soluciones efectivas .
• Significado del rango: véase la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer .
• Posibles subgrupos de torsión: Barry Mazur demostró en 1978 que el grupo Mordell-Weil solo puede tener un número finito de subgrupos de torsión. Este es el caso de la curva elíptica de la conjetura de torsión .
• Para una curva en su variedad jacobiana como , ¿puede la intersección de con ser infinita? Debido al teorema de Faltings , esto es falso a menos que . ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A (K)}$${\ Displaystyle C = A}$
• En el mismo contexto, ¿puede contener un número infinito de puntos de torsión de ? Debido a la conjetura de Manin-Mumford , demostrada por Michel Raynaud, esto es falso a menos que sea el caso de la curva elíptica. ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle A}$

Ver también

• Geometría aritmética
• Grupo Mordell – Weil

Referencias

• Weil, André (1929). "L'arithmétique sur les courbes algébriques". Acta Mathematica . 52 (1). págs. 281–315. doi : 10.1007 / BF02592688 . Señor   1555278 .
• Mordell, Louis Joel (1922). "Sobre las soluciones racionales de las ecuaciones indeterminadas de tercer y cuarto grados" . Proc. Camb. Phil. Soc . 21 . págs. 179-192.
• Joseph H., Silverman (1986). La aritmética de curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 106 . Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-0-387-09494-6 . ISBN   0-387-96203-4 . Señor   2514094 .