Logaritmo de una matriz - Logarithm of a matrix

En matemáticas , un logaritmo de una matriz es otra matriz tal que la matriz exponencial de la última matriz es igual a la matriz original. Por tanto, es una generalización del logaritmo escalar y, en cierto sentido, una función inversa de la matriz exponencial . No todas las matrices tienen un logaritmo y las matrices que tienen un logaritmo pueden tener más de un logaritmo. El estudio de logaritmos de matrices conduce a la teoría de Lie, ya que cuando una matriz tiene un logaritmo entonces está en un grupo de Lie y el logaritmo es el elemento correspondiente del espacio vectorial del álgebra de Lie .

Definición

El exponencial de una matriz A se define por

{\ Displaystyle e ^ {A} \ equiv \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {n}} {n!}}}

.

Dada una matriz B , otra matriz A se dice que es un logaritmo matriz de $B si e A = B$ . Debido a que la función exponencial no es uno a uno para números complejos (p . Ej. ), Los números pueden tener múltiples logaritmos complejos y, como consecuencia de esto, algunas matrices pueden tener más de un logaritmo, como se explica a continuación. ${\ Displaystyle e ^ {\ pi i} = e ^ {3 \ pi i} = - 1}$

Expresión de la serie de potencias

Si B está lo suficientemente cerca de la matriz identidad, entonces se puede calcular un logaritmo de B mediante la siguiente serie de potencias:

{\ Displaystyle \ log (B) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {k + 1} {\ frac {(BI) ^ {k}} {k}}} = (BI) - {\ frac {(BI) ^ {2}} {2}} + {\ frac {(BI) ^ {3}} {3}} - {\ frac {(BI) ^ {4} } {4}} + \ cdots}

.

Específicamente, si , entonces la serie anterior converge y . ${\ Displaystyle \ left \ | BI \ right \ | <1}$ ${\ Displaystyle e ^ {\ log (B)} = B}$

Ejemplo: logaritmo de rotaciones en el plano

Las rotaciones en el plano dan un ejemplo sencillo. Una rotación del ángulo α alrededor del origen está representada por la matriz 2 × 2

{\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ alpha) & - \ sin (\ alpha) \\\ sin (\ alpha) & \ cos (\ alpha) \\\ end {pmatrix}}.}

Para cualquier entero n , la matriz

{\ Displaystyle B_ {n} = (\ alpha +2 \ pi n) {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {pmatrix}},}

es un logaritmo de A .

Prueba

${\ Displaystyle log (A) = B_ {n} ~}$ ⇔ ${\ Displaystyle ~~ e ^ {B_ {n}} = A}$

${\ Displaystyle e ^ {B_ {n}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {1 \ over k!} B_ {n} ^ {k} ~}$ dónde

${\ Displaystyle (B_ {n}) ^ {0} = 1 ~ I_ {2},}$

${\ displaystyle (B_ {n}) ^ {1} = (\ alpha +2 \ pi n) {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ + 1 & 0 \\\ end {pmatrix}},}$

${\ displaystyle (B_ {n}) ^ {2} = (\ alpha +2 \ pi n) ^ {2} {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \\\ end {pmatrix}},}$

${\ displaystyle (B_ {n}) ^ {3} = (\ alpha +2 \ pi n) ^ {3} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \\\ end {pmatrix}},}$

${\ Displaystyle (B_ {n}) ^ {4} = (\ alpha +2 \ pi n) ^ {4} ~ I_ {2}}$
...

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {1 \ over k!} B_ {n} ^ {k} = {\ begin {pmatrix} \ cos (\ alpha) & - \ sin (\ alpha) \\\ sin (\ alpha) & \ cos (\ alpha) \\\ end {pmatrix}} = A ~.}$
qed.

Por tanto, la matriz A tiene infinitos logaritmos. Esto corresponde al hecho de que el ángulo de rotación solo se determina hasta múltiplos de 2 π .

En el lenguaje de la teoría de Lie, las matrices de rotación A son elementos del grupo de Lie SO (2) . Los logaritmos correspondientes B son elementos del álgebra de Lie, por lo que (2), que consta de todas las matrices asimétricas . La matriz

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \\\ end {pmatrix}}}

es un generador del álgebra de Lie entonces (2).

Existencia

La pregunta de si una matriz tiene un logaritmo tiene la respuesta más fácil cuando se considera en el entorno complejo. Una matriz compleja tiene un logaritmo si y solo si es invertible . El logaritmo no es único, pero si una matriz no tiene autovalores reales negativos , entonces hay un logaritmo único que tiene autovalores todos en la tira { z ∈ C | −π <Im z <π}. Este logaritmo se conoce como logaritmo principal .

La respuesta está más involucrada en el escenario real. Una matriz real tiene un logaritmo real si y solo si es invertible y cada bloque de Jordan que pertenece a un valor propio negativo ocurre un número par de veces. Si una matriz real invertible no satisface la condición con los bloques de Jordan, entonces solo tiene logaritmos no reales. Esto ya se puede ver en el caso escalar: ninguna rama del logaritmo puede ser real en -1. La existencia de logaritmos matriciales reales de matrices reales de 2 × 2 se considera en una sección posterior.

Propiedades

Si A y B son matrices definidas positivas , entonces

{\ Displaystyle \ operatorname {tr} {\ log {(AB)}} = \ operatorname {tr} {\ log {(A)}} + \ operatorname {tr} {\ log {(B)}},}

y si A y B conmutan, es decir, AB = BA , entonces

{\ Displaystyle \ log {(AB)} = \ log {(A)} + \ log {(B)}. \,}

Sustituyendo en esta ecuación B = A ⁻¹ , se obtiene

{\ Displaystyle \ log {(A ^ {- 1})} = - \ log {(A)}.}

Del mismo modo, ahora para los no desplazamientos A y B ,

{\ Displaystyle \ log {(A + tB)} = \ log {(A)} + t \ int _ {0} ^ {\ infty} \! \! \! dz ~~ {\ frac {I} {A + zI}} B {\ frac {I} {A + zI}} + O (t ^ {2}).}

Más ejemplo: logaritmo de rotaciones en el espacio 3D

Una rotación $R$ ∈ SO (3) en ℝ³ viene dada por una matriz ortogonal de 3 × 3 .

El logaritmo de dicha matriz de rotación $R$ se puede calcular fácilmente a partir de la parte antisimétrica de la fórmula de rotación de Rodrigues (ver también Ángulo del eje ). Produce el logaritmo de la norma mínima de Frobenius , pero falla cuando $R$ tiene valores propios iguales a -1 donde no es único.

Observe además que, dadas las matrices de rotación A y B ,

{\ Displaystyle d_ {g} (A, B): = \ | \ log (A ^ {\ top} B) \ | _ {F}}

es la distancia geodésica en la variedad 3D de matrices de rotación.

Calcular el logaritmo de una matriz diagonalizable

Un método para encontrar ln A para una matriz diagonalizable A es el siguiente:

Encuentre la matriz V de vectores propios de A (cada columna de V es un vector propio de A ).

Encuentra la inversa V ^-1 de V .

Dejar

{\ Displaystyle A '= V ^ {- 1} AV. \,}

Entonces A ' será una matriz diagonal cuyos elementos diagonales son los valores propios de A .

Reemplace cada elemento diagonal de A ′ por su logaritmo (natural) para obtener .

{\ Displaystyle \ log A '}

Luego

{\ Displaystyle \ log A = V (\ log A ') V ^ {- 1}. \,}

Que el logaritmo de A podría ser una matriz compleja, incluso si A es real, se deduce del hecho de que una matriz con entradas reales y positivas podría tener valores propios negativos o incluso complejos (esto es cierto, por ejemplo, para matrices de rotación ). La no unicidad del logaritmo de una matriz se deriva de la no unicidad del logaritmo de un número complejo.

El logaritmo de una matriz no diagonalizable

El algoritmo ilustrado anteriormente no funciona para matrices no diagonalizables, como

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}

Para tales matrices, es necesario encontrar su descomposición de Jordan y, en lugar de calcular el logaritmo de las entradas diagonales como se indicó anteriormente, se calcularía el logaritmo de los bloques de Jordan .

Esto último se logra al notar que uno puede escribir un bloque de Jordan como

{\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} \ lambda & 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & \ lambda & 1 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ lambda & 1 & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ lambda \\\ end {pmatrix}} = \ lambda {\ begin {pmatrix} 1 & \ lambda ^ {- 1} & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ lambda ^ {-1} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ lambda ^ {- 1} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \ lambda ^ {- 1 } \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} = \ lambda (I + K)}

donde K es una matriz con ceros sobre y debajo de la diagonal principal. (El número λ es distinto de cero asumiendo que la matriz cuyo logaritmo se intenta tomar es invertible).

Entonces, por la serie Mercator

{\ Displaystyle \ log (1 + x) = x - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ { 4}} {4}} + \ cdots}

uno obtiene

{\ Displaystyle \ log B = \ log {\ big (} \ lambda (I + K) {\ big)} = \ log (\ lambda I) + \ log (I + K) = (\ log \ lambda) I + K - {\ frac {K ^ {2}} {2}} + {\ frac {K ^ {3}} {3}} - {\ frac {K ^ {4}} {4}} + \ cdots }

Esta serie tiene un número finito de términos ( K ^m es cero si m es la dimensión de K ), por lo que su suma está bien definida.

Usando este enfoque uno encuentra

{\ displaystyle \ log {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}}.}

Una perspectiva de análisis funcional

Una matriz cuadrada representa un operador lineal en el espacio euclidiano R ⁿ donde n es la dimensión de la matriz. Dado que dicho espacio es de dimensión finita, este operador en realidad está acotado .

Usando las herramientas del cálculo funcional holomórfico , dada una función holomórfica f ( z ) definida en un conjunto abierto en el plano complejo y un operador lineal acotado T , se puede calcular f ( T ) siempre que f ( z ) se defina en el espectro de T .

La función f ( z ) = log z se puede definir en cualquier conjunto abierto simplemente conectado en el plano complejo que no contiene el origen, y es holomórfica en dicho dominio. Esto implica que se puede definir ln T siempre que el espectro de T no contenga el origen y haya un camino que vaya desde el origen al infinito sin cruzar el espectro de T (por ejemplo, si el espectro de T es un círculo con el origen dentro de él, es imposible definir ln T ).

El espectro de un operador lineal en R ⁿ es el conjunto de valores propios de su matriz, por lo que es un conjunto finito. Siempre que el origen no esté en el espectro (la matriz es invertible), se cumple la condición de la ruta del párrafo anterior y ln T está bien definido. La no unicidad del logaritmo de la matriz se deriva del hecho de que se puede elegir más de una rama del logaritmo que se define en el conjunto de valores propios de una matriz.

Una perspectiva de la teoría de grupos de mentiras

En la teoría de los grupos de Lie , hay un mapa exponencial desde un álgebra de Lie g al correspondiente grupo de Lie G

{\ Displaystyle \ exp: g \ rightarrow G.}

Para grupos de Lie de matriz, los elementos de g y G son matrices cuadradas y el mapa exponencial está dada por la exponencial matriz . El mapa inverso tiene varios valores y coincide con el logaritmo de la matriz que se analiza aquí. El logaritmo se asigna del grupo de Lie G al álgebra de Lie g . Tenga en cuenta que el mapa exponencial es un difeomorfismo local entre una vecindad U de la matriz cero y una vecindad V de la matriz identidad . Por lo tanto, el logaritmo (de la matriz) está bien definido como un mapa, ${\ Displaystyle \ log = \ exp ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {0}} \ in g}$ ${\ Displaystyle {\ underline {1}} \ in G}$

{\ Displaystyle \ log: V \ subconjunto G \ rightarrow U \ subset g. \,}

Un corolario importante de la fórmula de Jacobi es entonces

{\ Displaystyle \ log (\ det (A)) = \ mathrm {tr} (\ log A) ~.}

Ver también

Notas

^ Teorema 2.8 de Hall 2015
^ Higham (2008) , Teorema 1.27
^ Higham (2008) , Teorema 1.31
↑ Culver (1966)
↑ Engø (2001)
^ Teorema 3.42 de Hall 2015

Referencias

Gantmacher, Felix R. (1959), The Theory of Matrices , 1 , Nueva York: Chelsea, págs. 239–241.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Culver, Walter J. (1966), "Sobre la existencia y unicidad del logaritmo real de una matriz", Proceedings of the American Mathematical Society , 17 (5): 1146-1151, doi : 10.1090 / S0002-9939-1966- 0202740-6 , ISSN 0002-9939.
Higham, Nicholas (2008), Funciones de matrices. Teoría y Computación , SIAM , ISBN 978-0-89871-646-7.
Engø, Kenth (junio de 2001), "On the BCH-formula in so (3)" , BIT Numerical Mathematics , 41 (3): 629–632, doi : 10.1023 / A: 1021979515229 , ISSN 0006-3835

[1] Teorema 2.8 de Hall 2015

[2] Higham (2008) , Teorema 1.27

[3] Higham (2008) , Teorema 1.31

[4] Culver (1966)

[5] Engø (2001)

[6] Teorema 3.42 de Hall 2015

Languages

In other projects