Campo local - Local field

En matemáticas , un campo K se denomina campo local si está completo con respecto a una topología inducida por una valoración discreta v y si su campo de residuos k es finito. De manera equivalente, un campo local es un campo topológico localmente compacto con respecto a una topología no discreta . Dado tal campo, la valoración definida en él puede ser de dos tipos, cada uno corresponde a uno de los dos tipos básicos de campos locales: aquellos en los que la valoración es de Arquímedes y aquellos en los que no lo es. En el primer caso, uno llama al campo local un campo local de Arquímedes , en el segundo caso, lo llama un campo local que no es de Arquímedes . Los campos locales surgen naturalmente en la teoría de números como terminaciones de campos globales .

Si bien los campos locales de Arquímedes han sido bastante conocidos en matemáticas durante al menos 250 años, los primeros ejemplos de campos locales no arquímedes, los campos de números p-ádicos para el entero primo positivo p , fueron introducidos por Kurt Hensel al final de la Siglo 19.

Cada campo local es isomorfo (como un campo topológico) a uno de los siguientes:

• Campos de Arquímedes locales ( característica cero): el números reales R , y los números complejos C .
• Campos locales no arquimedianos de característica cero: extensiones finitas de los números p -ádicos Q _p (donde p es cualquier número primo ).
• Campos locales no arquimedianos de característica p (para p cualquier número primo dado): el campo de la serie formal de Laurent F _q (( T )) sobre un campo finito F _q , donde q es una potencia de p .

En particular, de importancia en la teoría de números, las clases de campos locales aparecen como las terminaciones de campos numéricos algebraicos con respecto a su valoración discreta correspondiente a uno de sus ideales máximos. Los trabajos de investigación en la teoría de números moderna a menudo consideran una noción más general, que solo requiere que el campo de residuos sea perfecto de característica positiva, no necesariamente finito. Este artículo utiliza la definición anterior.

Valor absoluto inducido

Dado tal valor absoluto en un campo K , la siguiente topología se puede definir en K : para un número real positivo m , defina el subconjunto B _m de K por

${\ Displaystyle B_ {m}: = \ {a \ en K: | a | \ leq m \}.}$

A continuación, el B + B _m conforman una base barrio de b en K .

Por el contrario, un campo topológico con una topología localmente compacta no discreta tiene un valor absoluto que define su topología. Se puede construir usando la medida Haar del grupo aditivo del campo.

Características básicas de los campos locales no arquimedianos

Para un campo local F que no es de Arquímedes (con valor absoluto denotado por | · |), los siguientes objetos son importantes:

• su anillo de números enteros, que es un anillo de valoración discreto , es la bola unitaria cerrada de F y es compacto ;${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {a \ in F: | a | \ leq 1 \}}$
• las unidades en su anillo de enteros que forma un grupo y es la esfera unitaria de F ;${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ times} = \ {a \ in F: | a | = 1 \}}$
• el único ideal primo distinto de cero en su anillo de números enteros que es su unidad de bola abierta ;${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle \ {a \ en F: | a | <1 \}}$
• un generador de llamado uniformizador de ;${\ Displaystyle \ varpi}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle F}$
• su campo de residuos que es finito (ya que es compacto y discreto ).${\ Displaystyle k = {\ mathcal {O}} / {\ mathfrak {m}}}$

Cada elemento distinto de cero a de F se puede escribir como a = ϖ ⁿ u con u una unidad yn un número entero único. La valoración normalizado de F es la función sobreyectiva v  : F → Z ∪ {∞} definido por el envío de un no-cero una al entero único n de tal manera que un = π ⁿ u con u una unidad, y mediante el envío de 0 a ∞. Si q es la cardinalidad del campo de residuos, el valor absoluto de F inducido por su estructura como campo local viene dado por:

${\ Displaystyle | a | = q ^ {- v (a)}.}$

Una definición equivalente y muy importante de un campo local no arquimediano es que es un campo que es completo con respecto a una valoración discreta y cuyo campo de residuo es finito.

Ejemplos de

1. Los números p -ádicos : el anillo de los números enteros de Q _p es el anillo de los números enteros p -ádicos Z _p . Su ideal primo es p Z _p y su campo de residuos es Z / p Z . Cada elemento distinto de cero de Q _p se puede escribir como u p ⁿ donde u es una unidad en Z _p y n es un número entero, entonces v ( u p ⁿ ) = n para la valoración normalizada.
2. La serie formal de Laurent sobre un campo finito : el anillo de números enteros de F _q (( T )) es el anillo de la serie formal de potencias F _q [[ T ]]. Su ideal máximo es ( T ) (es decir, la serie de potencias cuyo término constante es cero) y su campo de residuos es F _q . Su valoración normalizada está relacionada con el grado (inferior) de una serie Laurent formal de la siguiente manera:

   ${\ Displaystyle v \ left (\ sum _ {i = -m} ^ {\ infty} a_ {i} T ^ {i} \ right) = - m}$(donde a _{- m} no es cero).

3. La serie formal de Laurent sobre los números complejos no es un campo local. Por ejemplo, su campo de residuos es C [[ T ]] / ( T ) = C , que no es finito.

Grupos de unidades superiores

El n- ^ésimo grupo unitario superior de un campo local F no arquimediano es

${\ Displaystyle U ^ {(n)} = 1 + {\ mathfrak {m}} ^ {n} = \ left \ {u \ in {\ mathcal {O}} ^ {\ times}: u \ equiv 1 \ , (\ mathrm {mod} \, {\ mathfrak {m}} ^ {n}) \ right \}}$

para n  ≥ 1. El grupo U ⁽¹⁾ se denomina grupo de unidades principales , y cualquier elemento del mismo se denomina unidad principal . El grupo de unidades completo se denota U ⁽⁰⁾ . ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ times}}$

Los grupos unitarios superiores forman una filtración decreciente del grupo unitario

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ times} \ supseteq U ^ {(1)} \ supseteq U ^ {(2)} \ supseteq \ cdots}$

cuyos cocientes están dados por

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {\ times} / U ^ {(n)} \ cong \ left ({\ mathcal {O}} / {\ mathfrak {m}} ^ {n} \ right) ^ {\ times} {\ text {y}} \, U ^ {(n)} / U ^ {(n + 1)} \ approx {\ mathcal {O}} / {\ mathfrak {m}}}$

para n  ≥ 1. (Aquí " " significa un isomorfismo no canónico). ${\ Displaystyle \ approx}$

Estructura del grupo unitario

El grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un campo local F no arquimediano es isomorfo a

${\ Displaystyle F ^ {\ times} \ cong (\ varpi) \ times \ mu _ {q-1} \ times U ^ {(1)}}$

donde q es el orden del campo de residuos, y μ _{q −1} es el grupo de ( q −1) st raíces de la unidad (en F ). Su estructura como grupo abeliano depende de su característica :

• Si F tiene característica positiva p , entonces

${\ Displaystyle F ^ {\ times} \ cong \ mathbf {Z} \ oplus \ mathbf {Z} / {(q-1)} \ oplus \ mathbf {Z} _ {p} ^ {\ mathbf {N}} }$

donde N denota los números naturales ;

• Si F tiene característica cero (es decir, es una extensión finita de Q _p de grado d ), entonces

${\ Displaystyle F ^ {\ times} \ cong \ mathbf {Z} \ oplus \ mathbf {Z} / (q-1) \ oplus \ mathbf {Z} / p ^ {a} \ oplus \ mathbf {Z} _ {p} ^ {d}}$

donde a  ≥ 0 se define de modo que el grupo de p raíces de potencia de la unidad en F es .${\ Displaystyle \ mu _ {p ^ {a}}}$

Teoría de los campos locales

Esta teoría incluye el estudio de tipos de campos locales, extensiones de campos locales usando el lema de Hensel , extensiones de campos locales de Galois, filtraciones de grupos de ramificación de campos locales de grupos de Galois , el comportamiento del mapa de normas en campos locales, el homomorfismo de reciprocidad local y teorema de existencia en la teoría del campo clase local , local de correspondencia Langlands , teoría Hodge-Tate (también llamada teoría Hodge p-adic ), fórmulas explícitas para el símbolo de Hilbert en la teoría del campo clase local, véase por ejemplo

Campos locales de mayor dimensión

Un campo local a veces se denomina campo local unidimensional .

Un campo local no arquimediano puede verse como el campo de fracciones de la terminación del anillo local de un esquema aritmético unidimensional de rango 1 en su punto no singular.

Para un número entero no negativo n , un campo local n- dimensional es un campo de valoración discreto completo cuyo campo de residuo es un campo local ( n - 1) -dimensional. Dependiendo de la definición de campo local, un campo local de dimensión cero es entonces un campo finito (con la definición utilizada en este artículo) o un campo perfecto de característica positiva.

Desde el punto de vista geométrico, los campos locales n- dimensionales con el último campo de residuo finito están asociados naturalmente a una bandera completa de subesquemas de un esquema aritmético n- dimensional.

Ver también

• Lema de Hensel
• Grupo de ramificación
• Teoría del campo de clase local
• Campo local superior

Citas

Referencias

enlaces externos

• "Campo local" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]