Medida invariante - Invariant measure

En matemáticas , una medida invariante es una medida que se conserva mediante alguna función . La teoría ergódica es el estudio de medidas invariantes en sistemas dinámicos . El teorema de Krylov-Bogolyubov prueba la existencia de medidas invariantes bajo ciertas condiciones sobre la función y el espacio en consideración.

Definición

Sea ( X , Σ) un espacio medible y sea f una función medible de X a sí misma. Se dice que una medida μ en ( X , Σ) es invariante bajo f si, para cada conjunto medible A en Σ,

{\ Displaystyle \ mu \ left (f ^ {- 1} (A) \ right) = \ mu (A).}

En términos del empuje hacia adelante , esto establece que f _∗ ( μ ) = μ .

La colección de medidas (generalmente medidas de probabilidad ) en X que son invariantes bajo f a veces se denota M _f ( X ). La colección de medidas ergódicas , E _f ( X ), es un subconjunto de M _f ( X ). Además, cualquier combinación convexa de dos medidas invariantes también es invariante, por lo que M _f ( X ) es un conjunto convexo ; E _f ( X ) consiste precisamente en los puntos extremos de M _f ( X ).

En el caso de un sistema dinámico ( X , T , φ ), donde ( X , Σ) es un espacio medible como antes, T es un monoide y φ : T × X → X es el mapa de flujo, una medida μ en ( X , Σ) se dice que es una medida invariante si es una medida invariante para cada mapa φ _t : X → X . Explícitamente, μ es invariante si y solo si

{\ Displaystyle \ mu \ left (\ varphi _ {t} ^ {- 1} (A) \ right) = \ mu (A) \ qquad \ forall t \ in T, A \ in \ Sigma.}

Dicho de otra manera, μ es una medida invariante para una secuencia de variables aleatorias ( Z _t ) _{t ≥0} (quizás una cadena de Markov o la solución de una ecuación diferencial estocástica ) si, siempre que la condición inicial Z ₀ se distribuya de acuerdo con μ , también lo es Z _t para cualquier tiempo t posterior .

Cuando el sistema dinámico puede ser descrito por un operador de transferencia , entonces la medida invariante es un autovector del operador, correspondiente a un autovalor de 1, siendo este el autovalor más grande dado por el teorema de Frobenius-Perron .

Ejemplos de

El mapeo de compresión deja invariante el ángulo hiperbólico a medida que mueve un sector hiperbólico (violeta) a una de la misma área. Los rectángulos azul y verde también mantienen la misma área

Considere la recta real R con su álgebra σ de Borel habitual ; fije a ∈ R y considere el mapa de traslación T _a : R → R dado por:

{\ Displaystyle T_ {a} (x) = x + a.}

Entonces, la medida de Lebesgue unidimensional λ es una medida invariante para T _a .

De manera más general, en el espacio euclidiano n- dimensional R ⁿ con su álgebra σ de Borel habitual, la medida de Lebesgue n- dimensional λ ⁿ es una medida invariante para cualquier isometría del espacio euclidiano, es decir, un mapa T : R ⁿ → R ⁿ que puede ser Escrito como

{\ Displaystyle T (x) = Ax + b}

para alguna matriz ortogonal n × n A ∈ O ( n ) y un vector b ∈ R ⁿ .

La medida invariante en el primer ejemplo es única hasta la renormalización trivial con un factor constante. Esto no tiene por qué ser necesariamente el caso: considere un conjunto que consta de solo dos puntos y el mapa de identidad que deja cada punto fijo. Entonces, cualquier medida de probabilidad es invariante. Tenga en cuenta que S tiene una descomposición trivial en T -componentes invariantes {A} y {B} . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ rm {S}}} = \ {A, B \}}$ ${\ Displaystyle T = {\ rm {Id}}}$ ${\ Displaystyle \ mu: {\ boldsymbol {\ rm {S}}} \ rightarrow {\ boldsymbol {\ rm {R}}}}$
La medida del área en el plano euclidiano es invariante bajo el grupo lineal especial SL (2, R ) de las matrices reales 2 × 2 del determinante 1.
Cada grupo localmente compacto tiene una medida de Haar que es invariable bajo la acción del grupo.
Un ángulo es una medida invariante bajo un movimiento euclidiano o afín. El movimiento euclidiano es rotación y la medida es un ángulo circular . El movimiento afín puede ser un mapeo de cizallamiento o un mapeo de compresión . La medida invariante bajo cizalla es una diferencia de pendientes , mientras que la medida invariante bajo mapeo de compresión es el ángulo hiperbólico .