Lógica intermedia - Intermediate logic

En lógica matemática , una lógica superintuicionista es una lógica proposicional que extiende la lógica intuicionista . La lógica clásica es la lógica superintuicionista consistente más fuerte ; así, las lógicas superintuicionistas consistentes se denominan lógicas intermedias (las lógicas son intermedias entre la lógica intuicionista y la lógica clásica).

Definición

Una lógica superintuicionista es un conjunto L de fórmulas proposicionales en un conjunto contable de variables p _{i que} satisfacen las siguientes propiedades:

1. todos los axiomas de la lógica intuicionista pertenecen a L ;

2. si F y G son fórmulas tales que F y F → G pertenecen a L , entonces G también pertenece a L (cierre bajo modus ponens );

3. si F ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n ) es una fórmula de L , y G ₁ , G ₂ , ..., G _n son fórmulas cualesquiera, entonces F ( G ₁ , G ₂ , ..., G _n ) pertenece a L (cierre en sustitución).

Tal lógica es intermedia si además

4. L no es el conjunto de todas las fórmulas.

Propiedades y ejemplos

Existe un continuo de diferentes lógicas intermedias. Las lógicas intermedias específicas a menudo se construyen agregando uno o más axiomas a la lógica intuicionista, o mediante una descripción semántica. Ejemplos de lógicas intermedias incluyen:

• lógica intuicionista ( IPC , Int , IL , H )
• lógica clásica ( CPC , Cl , CL ): IPC + p ∨ ¬ p = IPC + ¬¬ p → p = IPC + (( p → q ) → p ) → p
• la lógica del medio débil excluido ( KC , lógica de Jankov , lógica de De Morgan ): IPC + ¬¬ p ∨ ¬ p
• Gödel - lógica de Dummett ( LC , G ): IPC + ( p → q ) ∨ ( q → p )
• Kreisel - Lógica de Putnam ( KP ): IPC + (¬ p → ( q ∨ r )) → ((¬ p → q ) ∨ (¬ p → r ))
• Lógica de problemas finitos de Medvedev ( LM , ML ): definida semánticamente como la lógica de todos los marcos de la forma para conjuntos finitos X ("hipercubos booleanos sin top"), a partir de 2015 no se sabe que sea recursivamente axiomatizable ${\ Displaystyle \ langle {\ mathcal {P}} (X) \ setminus \ {X \}, \ subseteq \ rangle}$
• lógicas de realizabilidad
• Lógica de Scott ( SL ): IPC + ((¬¬ p → p ) → ( p ∨ ¬ p )) → (¬¬ p ∨ ¬ p )
• Lógica de Smetanich ( SmL ): IPC + (¬ q → p ) → ((( p → q ) → p ) → p )
• lógicas de cardinalidad acotada ( BC _n ): ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbf {IPC} + \ bigvee _ {i = 0} ^ {n} {\ bigl (} \ bigwedge _ {j <i} p_ {j} \ to p_ {i} {\ bigr) }}$
• lógicas de ancho acotado, también conocida como la lógica de anti-cadenas acotadas ( BW _n , BA _n ): ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbf {IPC} + \ bigvee _ {i = 0} ^ {n} {\ bigl (} \ bigwedge _ {j \ neq i} p_ {j} \ to p_ {i} {\ bigr )}}$
• lógicas de profundidad acotada ( BD _n ): IPC + p _n ∨ ( p _n → ( p _{n −1} ∨ ( p _{n −1} → ... → ( p ₂ ∨ ( p ₂ → ( p ₁ ∨ ¬ p ₁ )) )) ...)))
• lógicas de ancho superior acotado ( BTW _n ): ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbf {IPC} + \ bigvee _ {i = 0} ^ {n} {\ bigl (} \ bigwedge _ {j <i} p_ {j} \ to \ neg \ neg p_ {i} {\Gran R )}}$
• lógicas de ramificación acotada ( T _n , BB _n ): ${\ Displaystyle \ textstyle \ mathbf {IPC} + \ bigwedge _ {i = 0} ^ {n} {\ bigl (} {\ bigl (} p_ {i} \ to \ bigvee _ {j \ neq i} p_ { j} {\ bigr)} \ to \ bigvee _ {j \ neq i} p_ {j} {\ bigr)} \ to \ bigvee _ {i = 0} ^ {n} p_ {i}}$
• Lógicas con valor n de Gödel ( G _n ): LC + BC _{n −1} = LC + BD _{n −1}

Las lógicas superintuicionistas o intermedias forman un entramado completo con la lógica intuicionista como fondo y la lógica inconsistente (en el caso de las lógicas superintuicionistas) o la lógica clásica (en el caso de las lógicas intermedias) como la parte superior. La lógica clásica es el único coatom en el entramado de las lógicas superintuicionistas; la celosía de las lógicas intermedias también tiene una capa única, denominada SmL .

Las herramientas para estudiar la lógica intermedia son similares a las utilizadas para la lógica intuicionista, como la semántica de Kripke . Por ejemplo, la lógica de Gödel-Dummett tiene una caracterización semántica simple en términos de órdenes totales .

Semántica

Dada un álgebra de Heyting H , el conjunto de fórmulas proposicionales que son válidas en H es una lógica intermedia. Por el contrario, dada una lógica intermedia es posible construir su álgebra de Lindenbaum-Tarski , que es entonces un álgebra de Heyting.

Un intuicionista marco Kripke F es un conjunto parcialmente ordenado , y una Kripke modelo M es un marco de Kripke con la valoración de tal manera que es un subconjunto superior de F . El conjunto de fórmulas proposicionales que son válidas en F es una lógica intermedia. Dada una lógica intermedia L es posible construir un modelo Kripke M tal que la lógica de M sea L (esta construcción se llama modelo canónico ). Puede que no exista un marco Kripke con esta propiedad, pero siempre existe un marco general . ${\ Displaystyle \ {x \ mid M, x \ Vdash p \}}$

Relación con las lógicas modales

Sea A una fórmula proposicional. La traducción de Gödel- Tarski de A se define recursivamente de la siguiente manera:

• ${\ Displaystyle T (p_ {n}) = \ Box p_ {n}}$
• ${\ Displaystyle T (\ neg A) = \ Box \ neg T (A)}$
• ${\ Displaystyle T (A \ land B) = T (A) \ land T (B)}$
• ${\ Displaystyle T (A \ vee B) = T (A) \ vee T (B)}$
• ${\ Displaystyle T (A \ to B) = \ Box (T (A) \ to T (B))}$

Si M es una lógica modal que se extiende a S4, entonces ρ M = { A | T ( A ) ∈ M } es una lógica superintuitionistic, y M se llama un compañero modal de ρ M . En particular:

• IPC = ρ S4
• KC = ρ S4.2
• LC = ρ S4.3
• CPC = ρ S5

Por cada lógica intermedia L hay muchas lógicas modales M tal que L  = ρ M .

Ver también

• Lista de sistemas lógicos

Referencias

• Toshio Umezawa. Sobre lógicas intermedias entre la lógica de predicados intuicionista y clásica . Journal of Symbolic Logic , 24 (2): 141-153, junio de 1959.
• Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev. Lógica modal. Prensa de la Universidad de Oxford, 1997.