Alfred Tarski - Alfred Tarski

Alfred Tarski
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Nació
Alfred Teitelbaum

( 14/01/1901 )14 de enero de 1901
Varsovia , Congreso Polonia
Murió 26 de octubre de 1983 (1983-10-26)(82 años)
Berkeley, California , Estados Unidos
Nacionalidad Polaco
americano
Ciudadanía Polaco
americano
Educación Universidad de Varsovia (Ph.D., 1924)
Conocido por
Carrera científica
Los campos Matemáticas , lógica , lenguaje formal
Instituciones
Tesis O wyrazie pierwotnym logistyki (Sobre el término primitivo de la logística)  (1924)
Asesor de doctorado Stanisław Leśniewski
Estudiantes de doctorado
Otros estudiantes notables Evert Willem Beth
Influencias Charles Sanders Peirce
Influenciado

Alfred Tarski ( / t ɑr s k i / , 14 enero 1901 a 26 octubre 1983), nacido Alfred Teitelbaum , fue un estadounidense de origen polaco lógico y matemático . Un autor prolífico mejor conocido por su trabajo en teoría de modelos , metamatemáticas y lógica algebraica , también contribuyó al álgebra abstracta , topología , geometría , teoría de medidas , lógica matemática , teoría de conjuntos y filosofía analítica .

Educado en Polonia en la Universidad de Varsovia , y miembro de la escuela de lógica Lwów-Warsaw y de la escuela de matemáticas de Varsovia , emigró a los Estados Unidos en 1939, donde se naturalizó en 1945. Tarski enseñó e investigó. en matemáticas en la Universidad de California, Berkeley , desde 1942 hasta su muerte en 1983.

Sus biógrafos Anita Burdman Feferman y Solomon Feferman afirman que, "junto con su contemporáneo, Kurt Gödel , cambió el rostro de la lógica en el siglo XX, especialmente a través de su trabajo sobre el concepto de verdad y la teoría de modelos".

Vida

Alfred Tarski nació Alfred Teitelbaum ( ortografía polaca : "Tajtelbaum"), de padres que eran judíos polacos en circunstancias cómodas. Primero manifestó sus habilidades matemáticas mientras estaba en la escuela secundaria, en Szkoła Mazowiecka de Varsovia . Sin embargo, ingresó en la Universidad de Varsovia en 1918 con la intención de estudiar biología .

Después de que Polonia recuperó la independencia en 1918, la Universidad de Varsovia quedó bajo el liderazgo de Jan Łukasiewicz , Stanisław Leśniewski y Wacław Sierpiński y rápidamente se convirtió en una institución de investigación líder en el mundo en lógica, matemáticas fundamentales y filosofía de las matemáticas. Leśniewski reconoció el potencial de Tarski como matemático y lo alentó a abandonar la biología. A partir de entonces, Tarski asistió a cursos impartidos por Łukasiewicz, Sierpiński, Stefan Mazurkiewicz y Tadeusz Kotarbiński , y en 1924 se convirtió en la única persona en completar un doctorado bajo la supervisión de Leśniewski. Su tesis se tituló O wyrazie pierwotnym logistyki ( Sobre el término primitivo de la logística ; publicado en 1923). Tarski y Leśniewski pronto se volvieron tranquilos el uno con el otro. Sin embargo, en la vida posterior, Tarski reservó sus más cálidos elogios para Kotarbiński , que fue correspondido.

En 1923, Alfred Teitelbaum y su hermano Wacław cambiaron su apellido a "Tarski". Los hermanos Tarski también se convirtieron al catolicismo romano , la religión dominante de Polonia. Alfred lo hizo a pesar de que era un ateo declarado .

Después de convertirse en la persona más joven en completar un doctorado en la Universidad de Varsovia, Tarski enseñó lógica en el Instituto Pedagógico Polaco, matemáticas y lógica en la Universidad, y se desempeñó como asistente de Łukasiewicz. Debido a que estos puestos estaban mal pagados, Tarski también enseñó matemáticas en una escuela secundaria de Varsovia; antes de la Segunda Guerra Mundial, no era raro que los intelectuales europeos de calibre investigador enseñaran en la escuela secundaria. Por lo tanto, entre 1923 y su partida a los Estados Unidos en 1939, Tarski no solo escribió varios libros de texto y muchos artículos, algunos de ellos innovadores, sino que también lo hizo mientras se apoyaba principalmente en la enseñanza de matemáticas en la escuela secundaria. En 1929, Tarski se casó con la profesora Maria Witkowska, una polaca de origen católico. Había trabajado como mensajero para el ejército en la guerra polaco-soviética . Tuvieron dos hijos; un hijo, Jan, que se convirtió en físico, y una hija, Ina, que se casó con el matemático Andrzej Ehrenfeucht .

Tarski solicitó una cátedra de filosofía en la Universidad de Lwów , pero por recomendación de Bertrand Russell fue otorgada a Leon Chwistek . En 1930, Tarski visitó la Universidad de Viena , dio una conferencia en el coloquio de Karl Menger y conoció a Kurt Gödel . Gracias a una beca, pudo regresar a Viena durante la primera mitad de 1935 para trabajar con el grupo de investigación de Menger. Desde Viena viajó a París para presentar sus ideas sobre la verdad en la primera reunión del movimiento Unity of Science , una consecuencia del Círculo de Viena . En 1937, Tarski solicitó una cátedra en la Universidad de Poznań, pero la cátedra fue abolida. Los vínculos de Tarski con el movimiento Unity of Science probablemente le salvaron la vida, porque dieron lugar a que lo invitaran a hablar en el Congreso Unity of Science celebrado en septiembre de 1939 en la Universidad de Harvard . Así salió de Polonia en agosto de 1939, en el último barco que zarpó de Polonia hacia los Estados Unidos antes de la invasión alemana y soviética de Polonia y el estallido de la Segunda Guerra Mundial . Tarski se fue de mala gana, porque Leśniewski había muerto unos meses antes, creando una vacante que Tarski esperaba llenar. Ajeno a la amenaza nazi , dejó a su esposa e hijos en Varsovia. No volvió a verlos hasta 1946. Durante la guerra, casi toda su extensa familia judía fue asesinada a manos de las autoridades de ocupación alemanas.

Una vez en los Estados Unidos, Tarski ocupó varios puestos temporales de docencia e investigación: Harvard University (1939), City College of New York (1940) y, gracias a una beca Guggenheim , el Institute for Advanced Study en Princeton (1942), donde volvió a encontrar a Gödel. En 1942, Tarski se unió al Departamento de Matemáticas de la Universidad de California, Berkeley , donde pasó el resto de su carrera. Tarski se convirtió en ciudadano estadounidense en 1945. Aunque emérito desde 1968, enseñó hasta 1973 y supervisó el doctorado. candidatos hasta su muerte. En Berkeley, Tarski adquirió la reputación de ser un maestro asombroso y exigente, un hecho observado por muchos observadores:

Sus seminarios en Berkeley rápidamente se hicieron famosos en el mundo de la lógica matemática. Sus alumnos, muchos de los cuales se convirtieron en distinguidos matemáticos, notaron la asombrosa energía con la que él los persuadía y engatusaba para sacarles el mejor trabajo, exigiendo siempre los más altos estándares de claridad y precisión.

Tarski era extrovertido, ingenioso, de voluntad fuerte, enérgico y de lengua afilada. Prefería que su investigación fuera colaborativa, a veces trabajando toda la noche con un colega, y era muy meticuloso con la prioridad.

Un líder y maestro carismático, conocido por su estilo expositivo brillantemente preciso pero lleno de suspenso, Tarski tenía estándares intimidantemente altos para los estudiantes, pero al mismo tiempo podía ser muy alentador, y particularmente para las mujeres, en contraste con la tendencia general. Algunos estudiantes se asustaron, pero quedó un círculo de discípulos, muchos de los cuales se convirtieron en líderes de renombre mundial en el campo.

Biblioteca de la Universidad de Varsovia , con estatuas (sobre columnas, frente a la entrada) de los filósofos de la escuela Lwów-Warsaw Kazimierz Twardowski , Jan Łukasiewicz , Alfred Tarski, Stanisław Leśniewski

Tarski supervisó veinticuatro Ph.D. disertaciones que incluyen (en orden cronológico) las de Andrzej Mostowski , Bjarni Jónsson , Julia Robinson , Robert Vaught , Solomon Feferman , Richard Montague , James Donald Monk, Haim Gaifman , Donald Pigozzi y Roger Maddux , así como Chen Chung Chang y Jerome Keisler , autores de Model Theory (1973), un texto clásico en el campo. También influyó fuertemente en las disertaciones de Alfred Lindenbaum, Dana Scott y Steven Givant. Cinco de los estudiantes de Tarski eran mujeres, un hecho notable dado que los hombres representaban una abrumadora mayoría de estudiantes graduados en ese momento. Sin embargo, tuvo aventuras extramatrimoniales con al menos dos de estos estudiantes. Después de mostrarle otro trabajo de sus alumnas a un colega, el colega lo publicó él mismo, lo que la llevó a dejar el estudio de posgrado y luego trasladarse a una universidad diferente y un asesor diferente.

Tarski dio una conferencia en el University College de Londres (1950, 1966), el Institut Henri Poincaré en París (1955), el Instituto Miller de Investigación Básica en Ciencias en Berkeley (1958-1960), la Universidad de California en Los Ángeles (1967), y la Pontificia Universidad Católica de Chile (1974–75). Entre las muchas distinciones obtenidas a lo largo de su carrera, Tarski fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos , la Academia Británica y la Real Academia de Artes y Ciencias de los Países Bajos en 1958, recibió títulos honoríficos de la Pontificia Universidad Católica de Chile en 1975. , de la Universidad Paul Cézanne de Marsella en 1977 y de la Universidad de Calgary , así como de la Berkeley Citation en 1981. Tarski presidió la Asociación para la Lógica Simbólica , 1944-1946, y la Unión Internacional para la Historia y Filosofía de la Ciencia, 1956–57. También fue editor honorario de Algebra Universalis .

Matemático

Los intereses matemáticos de Tarski eran excepcionalmente amplios. La recopilación de sus artículos tiene unas 2.500 páginas, la mayoría de ellas sobre matemáticas, no sobre lógica. Para un resumen conciso de los logros matemáticos y lógicos de Tarski por su ex alumno Solomon Feferman, vea "Interludios I-VI" en Feferman y Feferman.

El primer artículo de Tarski, publicado cuando tenía 19 años, fue sobre teoría de conjuntos , tema al que volvió a lo largo de su vida. En 1924, él y Stefan Banach demostraron que, si uno acepta el axioma de elección , una bola se puede cortar en un número finito de piezas y luego volver a ensamblar en una bola de mayor tamaño, o alternativamente se puede volver a ensamblar en dos bolas cuyo cada tamaño es igual al del original. Este resultado ahora se llama la paradoja de Banach-Tarski .

En Un método de decisión para álgebra elemental y geometría , Tarski mostró, mediante el método de eliminación de cuantificadores , que la teoría de primer orden de los números reales bajo suma y multiplicación es decidible . (Si bien este resultado apareció solo en 1948, se remonta a 1930 y fue mencionado en Tarski (1931)). Este es un resultado muy curioso, porque Alonzo Church demostró en 1936 que la aritmética de Peano (la teoría de los números naturales ) no es decidible . La aritmética de Peano también está incompleta por el teorema de incompletitud de Gödel . En sus Teorías indecidibles de 1953 , Tarski et al. demostró que muchos sistemas matemáticos, incluida la teoría de la red , la geometría proyectiva abstracta y las álgebras de cierre , son indecidibles. La teoría de los grupos abelianos es decidible, pero la de los grupos no abelianos no lo es.

En las décadas de 1920 y 1930, Tarski solía enseñar geometría en la escuela secundaria . Usando algunas ideas de Mario Pieri , en 1926 Tarski ideó una axiomatización original para la geometría euclidiana plana , una considerablemente más concisa que la de Hilbert . Los axiomas de Tarski forman una teoría de primer orden desprovista de teoría de conjuntos, cuyos individuos son puntos y que tienen sólo dos relaciones primitivas . En 1930, demostró que esta teoría era decidible porque se puede mapear en otra teoría que ya había demostrado ser decidible, a saber, su teoría de primer orden de los números reales.

En 1929 demostró que gran parte de la geometría sólida euclidiana podría reformularse como una teoría de segundo orden cuyos individuos son esferas (una noción primitiva ), una sola relación binaria primitiva "está contenida en" y dos axiomas que, entre otras cosas, implican esa contención ordena parcialmente las esferas. Relajar el requisito de que todos los individuos sean esferas produce una formalización de la mereología mucho más fácil de exponer que la variante de Lesniewski . Cerca del final de su vida, Tarski escribió una carta muy larga, publicada como Tarski y Givant (1999), resumiendo su trabajo sobre geometría.

Cardinal Algebras estudió álgebras cuyos modelos incluyen la aritmética de números cardinales . Ordinal Algebras establece un álgebra para la teoría aditiva de tipos de orden . La suma cardinal, pero no ordinal, conmuta.

En 1941, Tarski publicó un importante artículo sobre relaciones binarias , que inició el trabajo sobre álgebra de relaciones y sus metamatemáticas que ocuparon a Tarski y sus estudiantes durante gran parte del resto de su vida. Si bien esa exploración (y el trabajo estrechamente relacionado de Roger Lyndon ) descubrió algunas limitaciones importantes del álgebra de relaciones, Tarski también mostró (Tarski y Givant 1987) que el álgebra de relaciones puede expresar la mayoría de la teoría axiomática de conjuntos y la aritmética de Peano . Para una introducción al álgebra de relaciones , vea Maddux (2006). A finales de la década de 1940, Tarski y sus estudiantes idearon álgebras cilíndricas , que son para la lógica de primer orden lo que el álgebra booleana de dos elementos es para la lógica enunciativa clásica . Este trabajo culminó con las dos monografías de Tarski, Henkin y Monk (1971, 1985).

Lógico

El alumno de Tarski, Vaught, ha clasificado a Tarski como uno de los cuatro mejores lógicos de todos los tiempos, junto con Aristóteles , Gottlob Frege y Kurt Gödel . Sin embargo, Tarski expresó a menudo una gran admiración por Charles Sanders Peirce , particularmente por su trabajo pionero en la lógica de las relaciones .

Tarski produjo axiomas de consecuencia lógica y trabajó en sistemas deductivos , el álgebra de la lógica y la teoría de la definibilidad. Sus métodos semánticos, que culminaron en la teoría del modelo que él y varios de sus estudiantes de Berkeley desarrollaron en las décadas de 1950 y 1960, transformaron radicalmente las metamatemáticas de la teoría de la prueba de Hilbert. Alrededor de 1930, Alfred Tarski desarrolló una teoría abstracta de deducciones lógicas que modela algunas propiedades de los cálculos lógicos. Matemáticamente, lo que describió es solo un operador de cierre finitario en un conjunto (el conjunto de oraciones ). En la lógica algebraica abstracta , los operadores de cierre finitario todavía se estudian bajo el nombre de operador de consecuencia , que fue acuñado por Tarski. El conjunto S representa un conjunto de oraciones, un subconjunto T de S una teoría y cl ( T ) es el conjunto de todas las oraciones que se derivan de la teoría. Este enfoque abstracto se aplicó a la lógica difusa (ver Gerla 2000).

En opinión [de Tarski], las metamatemáticas se volvieron similares a cualquier disciplina matemática. No solo se pueden matematizar sus conceptos y resultados, sino que en realidad se pueden integrar en las matemáticas. ... Tarski destruyó la frontera entre las metamatemáticas y las matemáticas. Se opuso a restringir el papel de las metamatemáticas a los fundamentos de las matemáticas.

El artículo de 1936 de Tarski "Sobre el concepto de consecuencia lógica" argumentó que la conclusión de un argumento se seguirá lógicamente de sus premisas si y sólo si cada modelo de las premisas es un modelo de la conclusión. En 1937, publicó un artículo en el que presentaba claramente sus puntos de vista sobre la naturaleza y el propósito del método deductivo y el papel de la lógica en los estudios científicos. Su enseñanza secundaria y universitaria sobre lógica y axiomática culminó en un texto corto clásico, publicado primero en polaco, luego en traducción al alemán y finalmente en una traducción al inglés de 1941 como Introducción a la lógica y a la metodología de las ciencias deductivas .

"Verdad y prueba" de Tarski de 1969 consideró tanto los teoremas de incompletitud de Gödel como el teorema de indefinibilidad de Tarski , y reflexionó sobre sus consecuencias para el método axiomático en matemáticas.

Verdad en lenguajes formalizados

Artículo principal: Teoría semántica de la verdad.

En 1933, Tarski publicó un artículo muy extenso en polaco, titulado "Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych", "Estableciendo una definición matemática de la verdad para los lenguajes formales". La traducción alemana de 1935 se tituló "Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen", "El concepto de verdad en lenguajes formalizados", a veces abreviado como "Wahrheitsbegriff". Una traducción al inglés apareció en la primera edición de 1956 del volumen Logic, Semantics, Metamathematics . Esta colección de artículos de 1923 a 1938 es un acontecimiento en la filosofía analítica del siglo XX , una contribución a la lógica simbólica , la semántica y la filosofía del lenguaje . Para una breve discusión de su contenido, consulte la Convención T (y también el esquema T ).

Algunos debates filosóficos recientes examinan hasta qué punto la teoría de la verdad de Tarski para los lenguajes formalizados puede verse como una teoría de la verdad por correspondencia . El debate se centra en cómo leer la condición de adecuación material de Tarski para una definición verdadera. Esa condición requiere que la teoría de la verdad tenga los siguientes teoremas para todas las oraciones p del lenguaje para el que se define la verdad:

"p" es verdadera si y solo si p.

(donde p es la proposición expresada por "p")

El debate se reduce a si leer oraciones de esta forma, como

"La nieve es blanca" es verdadera si y solo si la nieve es blanca

como expresando simplemente una teoría deflacionaria de la verdad o como encarnando la verdad como una propiedad más sustancial (ver Kirkham 1992). Es importante darse cuenta de que la teoría de la verdad de Tarski es para lenguajes formalizados, por lo que los ejemplos en lenguaje natural no son ilustraciones del uso de la teoría de la verdad de Tarski.

Consecuencia lógica

En 1936, Tarski publicó versiones en polaco y alemán de una conferencia que había dado el año anterior en el Congreso Internacional de Filosofía Científica en París. Una nueva traducción al inglés de este artículo, Tarski (2002), destaca las muchas diferencias entre las versiones alemana y polaca del artículo y corrige varios errores de traducción en Tarski (1983).

Esta publicación establece la definición teórica de modelos moderna de consecuencia lógica (semántica), o al menos la base para ella. Si la noción de Tarski era enteramente moderna depende de si tenía la intención de admitir modelos con dominios variables (y en particular, modelos con dominios de cardinalidades diferentes ). Esta pregunta es un tema de debate en la literatura filosófica actual. John Etchemendy estimuló gran parte de la discusión reciente sobre el tratamiento de Tarski de los diferentes dominios.

Tarski termina señalando que su definición de consecuencia lógica depende de una división de términos en lógica y extralógica y expresa cierto escepticismo de que se producirá una división objetiva de ese tipo. "¿Qué son las nociones lógicas?" por lo tanto, puede verse como una continuación de "Sobre el concepto de consecuencia lógica".

Trabaja en nociones lógicas

Alfred Tarski en Berkeley

Otra teoría que atrae la atención de Tarski en la literatura filosófica reciente es la que se describe en su "¿Qué son las nociones lógicas?" (Tarski 1986). Ésta es la versión publicada de una charla que dio originalmente en 1966 en Londres y luego en 1973 en Buffalo ; fue editado sin su participación directa por John Corcoran . Se convirtió en el artículo más citado en la revista History and Philosophy of Logic .

En la charla, Tarski propuso la demarcación de las operaciones lógicas (que él llama "nociones") de las no lógicas. Los criterios sugeridos se derivaron del programa de Erlangen del matemático alemán del siglo XIX Felix Klein . Mautner (en 1946), y posiblemente un artículo del matemático portugués Sebastiao e Silva, anticipó a Tarski al aplicar el Programa Erlangen a la lógica.

Ese programa clasificaba los diversos tipos de geometría (geometría euclidiana , geometría afín , topología , etc.) por el tipo de transformación uno-uno del espacio sobre sí mismo que dejaba invariables los objetos de esa teoría geométrica. (Una transformación uno a uno es un mapa funcional del espacio sobre sí mismo, de modo que cada punto del espacio se asocia o se asigna a otro punto del espacio. Por lo tanto, "gira 30 grados" y "amplía por un factor de 2 "son descripciones intuitivas de transformaciones simples uniformes uno-uno.) Las transformaciones continuas dan lugar a los objetos de la topología, las transformaciones de similitud con los de la geometría euclidiana, etc.

A medida que se amplía el rango de transformaciones permitidas, el rango de objetos que uno puede distinguir como preservados por la aplicación de las transformaciones se vuelve más estrecho. Las transformaciones de similitud son bastante estrechas (conservan la distancia relativa entre puntos) y, por lo tanto, nos permiten distinguir relativamente muchas cosas (por ejemplo, triángulos equiláteros de triángulos no equiláteros). Las transformaciones continuas (que pueden pensarse intuitivamente como transformaciones que permiten un estiramiento, compresión, flexión y torsión no uniformes, pero sin rasgar ni pegar) nos permiten distinguir un polígono de un anillo (anillo con un agujero en el centro), pero no nos permiten distinguir dos polígonos entre sí.

La propuesta de Tarski era demarcar las nociones lógicas considerando todas las posibles transformaciones uno a uno ( automorfismos ) de un dominio sobre sí mismo. Por dominio se entiende el universo de discurso de un modelo para la teoría semántica de la lógica. Si se identifica el valor de verdad Verdadero con el conjunto de dominios y el valor de verdad Falso con el conjunto vacío, las siguientes operaciones se cuentan como lógicas en la propuesta:

  1. Funciones de verdad: Todas las funciones de verdad son admitidas por la propuesta. Esto incluye, pero no se limita a, todas las n -funciones de verdad para n finitos. (También admite funciones de verdad con cualquier número infinito de lugares).
  2. Individuos : No individuos, siempre que el dominio tenga al menos dos miembros.
  3. Predicados :
    • los predicados totales y nulos de un lugar, el primero con todos los miembros del dominio en su extensión y el segundo sin miembros del dominio en su extensión
    • Predicados totales y nulos de dos lugares, el primero con el conjunto de todos los pares ordenados de miembros del dominio como extensión y el segundo con el conjunto vacío como extensión.
    • el predicado de identidad de dos lugares, con el conjunto de todos los pares de orden < a , a > en su extensión, donde a es un miembro del dominio
    • el predicado de diversidad de dos lugares, con el conjunto de todos los pares de orden < a , b > donde a y b son miembros distintos del dominio
    • Predicados n -ary en general: todos los predicados definibles a partir del predicado de identidad junto con conjunción , disyunción y negación (hasta cualquier ordinalidad, finita o infinita)
  4. Cuantificadores : Tarski discute explícitamente solo los cuantificadores monádicos y señala que todos esos cuantificadores numéricos son admitidos en su propuesta. Estos incluyen los cuantificadores estándar universales y existenciales, así como cuantificadores numéricos como "Exactamente cuatro", "Numerosos finitos", "Numerosos muchos" y "Entre cuatro y 9 millones", por ejemplo. Si bien Tarski no entra en el tema, también está claro que los cuantificadores poliádicos son admitidos en la propuesta. Estos son cuantificadores como, dados dos predicados Fx y Gy , "Más ( x, y )", que dice "Más cosas tienen F que G ".
  5. Relaciones teóricas de conjuntos : Las relaciones como la inclusión , la intersección y la unión aplicadas a subconjuntos del dominio son lógicas en el sentido actual.
  6. Membresía del conjunto : Tarski terminó su conferencia con una discusión sobre si la relación de pertenencia al conjunto contaba como lógica en su sentido. (Dada la reducción de (la mayoría de) las matemáticas a la teoría de conjuntos, esta era, en efecto, la cuestión de si la mayoría o la totalidad de las matemáticas son parte de la lógica). Señaló que la pertenencia a un conjunto es lógica si la teoría de conjuntos se desarrolla a lo largo de las líneas de la teoría de tipos , pero es extralógica si la teoría de conjuntos se establece axiomáticamente, como en la teoría canónica de conjuntos de Zermelo-Fraenkel .
  7. Nociones lógicas de orden superior : aunque Tarski limitó su discusión a operaciones de lógica de primer orden, no hay nada en su propuesta que necesariamente la restrinja a la lógica de primer orden. (Tarski probablemente restringió su atención a las nociones de primer orden, ya que la charla se dirigió a una audiencia no técnica). Por lo tanto, también se admiten cuantificadores y predicados de orden superior.

En cierto modo, la presente propuesta es el reverso de la de Lindenbaum y Tarski (1936), quienes demostraron que todas las operaciones lógicas de los Principia Mathematica de Russell y Whitehead son invariantes bajo transformaciones uno a uno del dominio sobre sí mismo. La presente propuesta también se emplea en Tarski y Givant (1987).

Solomon Feferman y Vann McGee discutieron más a fondo la propuesta de Tarski en un trabajo publicado después de su muerte. Feferman (1999) plantea problemas para la propuesta y sugiere una cura: reemplazar la preservación de Tarski por automorfismos con preservación por homomorfismos arbitrarios . En esencia, esta sugerencia evita la dificultad que tiene la propuesta de Tarski al tratar con una igualdad de operación lógica en distintos dominios de una cardinalidad dada y en dominios de cardinalidades distintas. La propuesta de Feferman resulta en una restricción radical de términos lógicos en comparación con la propuesta original de Tarski. En particular, termina contando como lógicos solo aquellos operadores de lógica estándar de primer orden sin identidad.

McGee (1996) proporciona una explicación precisa de qué operaciones son lógicas en el sentido de la propuesta de Tarski en términos de expresibilidad en un lenguaje que extiende la lógica de primer orden al permitir conjunciones y disyunciones arbitrariamente largas, y cuantificación sobre muchas variables arbitrariamente. "Arbitrariamente" incluye un infinito contable.

Obras

Antologías y colecciones
  • 1986. The Collected Papers of Alfred Tarski , 4 vols. Givant, SR y McKenzie, RN, eds. Birkhäuser.
  • Givant Steven (1986). "Bibliografía de Alfred Tarski". Revista de lógica simbólica . 51 (4): 913–41. doi : 10.2307 / 2273905 . JSTOR  2273905 .
  • 1983 (1956). Lógica, semántica, metamatemática: artículos de 1923 a 1938 de Alfred Tarski , Corcoran, J., ed. Hackett. 1ª edición editada y traducida por JH Woodger, Oxford Uni. Presionar. Esta colección contiene traducciones del polaco de algunos de los artículos más importantes de Tarski de su carrera temprana, incluido El concepto de verdad en lenguajes formalizados y Sobre el concepto de consecuencia lógica discutido anteriormente.
Publicaciones originales de Tarski
  • 1930 Una contribución a la théorie de la mesure. Fund Math 15 (1930), 42–50.
  • 1930. (con Jan Łukasiewicz ). "Untersuchungen uber den Aussagenkalkul" ["Investigaciones sobre el cálculo oracional"], Comptes Rendus des seances de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie , Vol, 23 (1930) Cl. III, págs. 31-32 en Tarski (1983): 38-59.
  • 1931. "Sur les ensembles définissables de nombres réels I", Fundamenta Mathematicae 17 : 210-239 en Tarski (1983): 110-142.
  • 1936. "Grundlegung der wissenschaftlichen Semantik" , Actes du Congrès international de philosophie scientifique, Sorbonne, París 1935 , vol. III, Language et pseudo-problèmes , París, Hermann, 1936, págs. 1-8 en Tarski (1983): 401-408.
  • 1936. "Über den Begriff der logischen Folgerung" , Actes du Congrès international de philosophie scientifique, Sorbonne, París 1935 , vol. VII, Logique , París: Hermann, págs. 1-11 en Tarski (1983): 409-420.
  • 1936 (con Adolf Lindenbaum). "Sobre las limitaciones de las teorías deductivas" en Tarski (1983): 384-92.
  • 1994 (1941). Introducción a la Lógica y a la Metodología de las Ciencias Deductivas . Dover.
  • 1941. "Sobre el cálculo de relaciones", Journal of Symbolic Logic 6 : 73–89.
  • 1944. " El concepto semántico de la verdad y los fundamentos de la semántica ", Filosofía e Investigación Fenomenológica 4 : 341-75.
  • 1948. Un método de decisión para álgebra y geometría elementales . Santa Mónica CA: RAND Corp.
  • 1949. Cardinal Algebras . Universidad de Oxford. Presionar.
  • 1953 (con Mostowski y Raphael Robinson). Teorías indecidibles . Holanda Septentrional.
  • 1956. Álgebras ordinales . Holanda Septentrional.
  • 1965. "Una formalización simplificada de la lógica de predicados con identidad", Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung 7 : 61-79
  • 1969. " Truth and Proof ", Scientific American 220 : 63–77.
  • 1971 (con Leon Henkin y Donald Monk). Cilíndrico Álgebras: Parte I . Holanda Septentrional.
  • 1985 (con Leon Henkin y Donald Monk). Álgebras cilíndricas: Parte II . Holanda Septentrional.
  • 1986. "¿Qué son las nociones lógicas?", Corcoran, J., ed., History and Philosophy of Logic 7 : 143–54.
  • 1987 (con Steven Givant). Una formalización de la teoría de conjuntos sin variables . Vol.41 de las publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society. Providence RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN  978-0821810415 . Revisar
  • 1999 (con Steven Givant). "Sistema de geometría de Tarski" , Boletín de lógica simbólica 5 : 175-214.
  • 2002. "Sobre el concepto de seguir lógicamente" (Magda Stroińska y David Hitchcock, trad.) Historia y filosofía de la lógica 23 : 155-196.

Ver también

Referencias

Otras lecturas

Referencias biográficas
Literatura lógica

enlaces externos