Secuencia entera - Integer sequence

Comienzo de la secuencia de Fibonacci en un edificio en Gotemburgo

En matemáticas , una secuencia de números enteros es una secuencia (es decir, una lista ordenada) de números enteros .

Una secuencia de número entero se puede especificar explícitamente por dar una fórmula para su n º plazo, o implícitamente , dando una relación entre sus términos. Por ejemplo, la secuencia 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (la secuencia de Fibonacci ) se forma comenzando con 0 y 1 y luego sumando dos términos consecutivos para obtener el siguiente: una descripción implícita. La secuencia de 0, 3, 8, 15, ... se forma de acuerdo con la fórmula n 2  - 1 para el n º plazo: una definición explícita.

Alternativamente, una secuencia de números enteros puede definirse por una propiedad que los miembros de la secuencia poseen y otros números enteros no poseen. Por ejemplo, podemos determinar si un entero dado es un número perfecto , aunque no tengamos una fórmula para el n- ésimo número perfecto.

Ejemplos de

Las secuencias de enteros que tienen su propio nombre incluyen:

Secuencias computables y definibles

Una secuencia entera es una secuencia computable si existe un algoritmo que, dado n , calcula una n , para todo n > 0. El conjunto de secuencias enteras computables es contable . El conjunto de todas las secuencias enteras es incontable (con cardinalidad igual a la del continuo ), por lo que no todas las secuencias enteras son computables.

Aunque algunas secuencias de enteros tienen definiciones, no existe una forma sistemática de definir lo que significa que una secuencia de enteros sea definible en el universo o en cualquier sentido absoluto (independiente del modelo).

Suponga que el conjunto M es un modelo transitivo de la teoría de conjuntos ZFC . La transitividad de M implica que los números enteros y las secuencias de números enteros dentro de M son en realidad números enteros y secuencias de números enteros. Una secuencia entera es una secuencia definible relativa a M si existe alguna fórmula P ( x ) en el lenguaje de la teoría de conjuntos, con una variable libre y sin parámetros, que es verdadera en M para esa secuencia entera y falsa en M para todas las demás. secuencias enteras. En cada uno de esos M , hay secuencias enteras definibles que no son computables, como secuencias que codifican los saltos de Turing de conjuntos computables.

Para algunos modelos transitivos M de ZFC, cada secuencia de números enteros en M es definible en relación con M ; para otros, solo algunas secuencias enteras lo son (Hamkins et al. 2013). No hay manera sistemática para definir en M sí mismo el conjunto de secuencias definibles con respecto a M y ese conjunto puede incluso no existir en algunos tal M . Del mismo modo, el mapa de la serie de fórmulas que definen número entero secuencias en M a las secuencias de números enteros que definen no es definible en M y no puede existir en M . Sin embargo, en cualquier modelo que posea tal mapa de definibilidad, algunas secuencias enteras en el modelo no serán definibles en relación con el modelo (Hamkins et al. 2013).

Si M contiene todas las secuencias de números enteros, entonces el conjunto de secuencias de números enteros definible en M existirá en M y ser contable y contable en M .

Secuencias completas

Una secuencia de enteros positivos se denomina secuencia completa si cada entero positivo puede expresarse como una suma de valores en la secuencia, utilizando cada valor como máximo una vez.

Ver también

Referencias

  • Hamkins, Joel David; Linetsky, David; Reitz, Jonas (2013), "Modelos definibles puntuales de teoría de conjuntos", Journal of Symbolic Logic , 78 (1): 139-156, arXiv : 1105.4597 , doi : 10.2178 / jsl.7801090 .

enlaces externos