Número altamente compuesto - Highly composite number

Demostración, con varillas Cuisenaire , de las cuatro primeras: 1, 2, 4, 6

Un número altamente compuesto es un número entero positivo con más divisores que cualquier número entero positivo más pequeño. El término fue acuñado por Ramanujan (1915). Sin embargo, Jean-Pierre Kahane ha sugerido que el concepto podría haber sido conocido por Platón , quien estableció 5040 como el número ideal de ciudadanos en una ciudad, ya que 5040 tiene más divisores que cualquier número menor.

El concepto relacionado de número mayormente compuesto se refiere a un entero positivo que tiene al menos tantos divisores como cualquier entero positivo más pequeño.

El nombre puede ser algo engañoso, ya que dos números muy compuestos (1 y 2) no son realmente números compuestos .

Ejemplos de

Los 38 números altamente compuestos iniciales o más pequeños se enumeran en la siguiente tabla (secuencia A002182 en la OEIS ). El número de divisores se da en la columna etiquetada d ( n ). Los asteriscos indican números superiores altamente compuestos .

Pedido	HCN n	factorización prima	exponentes primos	número de factores primos	d ( n )	factorización primordial
1	1			0	1
2	2 *	${\ Displaystyle 2}$	1	1	2	${\ Displaystyle 2}$
3	4	${\ Displaystyle 2 ^ {2}}$	2	2	3	${\ Displaystyle 2 ^ {2}}$
4	6 *	${\ Displaystyle 2 \ cdot 3}$	1,1	2	4	${\ Displaystyle 6}$
5	12 *	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 3}$	2,1	3	6	${\ Displaystyle 2 \ cdot 6}$
6	24	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3}$	3,1	4	8	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 6}$
7	36	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {2}}$	2,2	4	9	${\ Displaystyle 6 ^ {2}}$
8	48	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3}$	4,1	5	10	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 6}$
9	60 *	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 3 \ cdot 5}$	2,1,1	4	12	${\ Displaystyle 2 \ cdot 30}$
10	120 *	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3 \ cdot 5}$	3,1,1	5	dieciséis	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 30}$
11	180	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5}$	2,2,1	5	18	${\ Displaystyle 6 \ cdot 30}$
12	240	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 \ cdot 5}$	4,1,1	6	20	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 30}$
13	360 *	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5}$	3,2,1	6	24	${\ Displaystyle 2 \ cdot 6 \ cdot 30}$
14	720	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5}$	4,2,1	7	30	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 6 \ cdot 30}$
15	840	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}$	3,1,1,1	6	32	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 210}$
dieciséis	1260	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7}$	2,2,1,1	6	36	${\ Displaystyle 6 \ cdot 210}$
17	1680	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}$	4,1,1,1	7	40	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 210}$
18	2520 *	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7}$	3,2,1,1	7	48	${\ Displaystyle 2 \ cdot 6 \ cdot 210}$
19	5040 *	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7}$	4,2,1,1	8	60	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 6 \ cdot 210}$
20	7560	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 7}$	3,3,1,1	8	64	${\ Displaystyle 6 ^ {2} \ cdot 210}$
21	10080	${\ Displaystyle 2 ^ {5} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7}$	5,2,1,1	9	72	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 6 \ cdot 210}$
22	15120	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 7}$	4,3,1,1	9	80	${\ Displaystyle 2 \ cdot 6 ^ {2} \ cdot 210}$
23	20160	${\ Displaystyle 2 ^ {6} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7}$	6,2,1,1	10	84	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 6 \ cdot 210}$
24	25200	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7}$	4,2,2,1	9	90	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 30 \ cdot 210}$
25	27720	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11}$	3,2,1,1,1	8	96	${\ Displaystyle 2 \ cdot 6 \ cdot 2310}$
26	45360	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {4} \ cdot 5 \ cdot 7}$	4,4,1,1	10	100	${\ Displaystyle 6 ^ {3} \ cdot 210}$
27	50400	${\ Displaystyle 2 ^ {5} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7}$	5,2,2,1	10	108	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 30 \ cdot 210}$
28	55440 *	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11}$	4,2,1,1,1	9	120	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 6 \ cdot 2310}$
29	83160	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11}$	3,3,1,1,1	9	128	${\ Displaystyle 6 ^ {2} \ cdot 2310}$
30	110880	${\ Displaystyle 2 ^ {5} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11}$	5,2,1,1,1	10	144	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 6 \ cdot 2310}$
31	166320	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11}$	4,3,1,1,1	10	160	${\ Displaystyle 2 \ cdot 6 ^ {2} \ cdot 2310}$
32	221760	${\ Displaystyle 2 ^ {6} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11}$	6,2,1,1,1	11	168	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 6 \ cdot 2310}$
33	277200	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11}$	4,2,2,1,1	10	180	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 30 \ cdot 2310}$
34	332640	${\ Displaystyle 2 ^ {5} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11}$	5,3,1,1,1	11	192	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 6 ^ {2} \ cdot 2310}$
35	498960	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {4} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11}$	4,4,1,1,1	11	200	${\ Displaystyle 6 ^ {3} \ cdot 2310}$
36	554400	${\ Displaystyle 2 ^ {5} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 ^ {2} \ cdot 7 \ cdot 11}$	5,2,2,1,1	11	216	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 30 \ cdot 2310}$
37	665280	${\ Displaystyle 2 ^ {6} \ cdot 3 ^ {3} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11}$	6,3,1,1,1	12	224	${\ Displaystyle 2 ^ {3} \ cdot 6 ^ {2} \ cdot 2310}$
38	720720 *	${\ Displaystyle 2 ^ {4} \ cdot 3 ^ {2} \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 11 \ cdot 13}$	4,2,1,1,1,1	10	240	${\ Displaystyle 2 ^ {2} \ cdot 6 \ cdot 30030}$

Los divisores de los primeros 15 números altamente compuestos se muestran a continuación.

norte	d ( n )	Divisores de n
1	1	1
2	2	1, 2
4	3	1, 2, 4
6	4	1, 2, 3, 6
12	6	1, 2, 3, 4, 6, 12
24	8	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36	9	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
48	10	1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
60	12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
120	dieciséis	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
180	18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180
240	20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240
360	24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
720	30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360, 720
840	32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 40, 42, 56, 60, 70, 84, 105, 120, 140, 168, 210, 280, 420, 840

La siguiente tabla muestra los 72 divisores de 10080 escribiéndolo como un producto de dos números de 36 formas diferentes.

El número altamente compuesto: 10080 10080 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (3 × 3) × 5 × 7
1 × 10080	2 × 5040	3 × 3360	4 × 2520	5 × 2016	6 × 1680
7 × 1440	8 × 1260	9 × 1120	10 × 1008	12 × 840	14 × 720
15 × 672	16 × 630	18 × 560	20 × 504	21 × 480	24 × 420
28 × 360	30 × 336	32 × 315	35 × 288	36 × 280	40 × 252
42 × 240	45 × 224	48 × 210	56 × 180	60 × 168	63 × 160
70 × 144	72 × 140	80 × 126	84 × 120	90 × 112	96 × 105
Nota: Los números en negrita son en sí mismos números muy compuestos . Solo el vigésimo número altamente compuesto 7560 (= 3 × 2520) está ausente. 10080 es un número de 7 suaves (secuencia A002473 en la OEIS ) .

El número 15.000 altamente compuesto se puede encontrar en el sitio web de Achim Flammenkamp. Es el producto de 230 primos:

{\ Displaystyle a_ {0} ^ {14} a_ {1} ^ {9} a_ {2} ^ {6} a_ {3} ^ {4} a_ {4} ^ {4} a_ {5} ^ {3 } a_ {6} ^ {3} a_ {7} ^ {3} a_ {8} ^ {2} a_ {9} ^ {2} a_ {10} ^ {2} a_ {11} ^ {2} a_ {12} ^ {2} a_ {13} ^ {2} a_ {14} ^ {2} a_ {15} ^ {2} a_ {16} ^ {2} a_ {17} ^ {2} a_ {18 } ^ {2} a_ {19} a_ {20} a_ {21} \ cdots a_ {229},}

donde es la secuencia de números primos sucesivos, y todos los términos omitidos ( un ₂₂ a un ₂₂₈ ) son factores con exponente igual a uno (es decir, el número es ). De manera más concisa, es el producto de siete primarios distintos: ${\ Displaystyle a_ {n}}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {14} \ times 3 ^ {9} \ times 5 ^ {6} \ times \ cdots \ times 1451}$

{\ Displaystyle b_ {0} ^ {5} b_ {1} ^ {3} b_ {2} ^ {2} b_ {4} b_ {7} b_ {18} b_ {229},}

donde está el primorial . ${\ Displaystyle b_ {n}}$ ${\ Displaystyle a_ {0} a_ {1} \ cdots a_ {n}}$

Gráfica del número de divisores de números enteros del 1 al 1000. Los números muy compuestos están marcados en negrita y los números superiores muy compuestos están marcados con estrellas. En el archivo SVG , coloque el cursor sobre una barra para ver sus estadísticas.

Factorización prima

En términos generales, para que un número sea altamente compuesto debe tener factores primos lo más pequeños posible, pero no demasiados iguales. Según el teorema fundamental de la aritmética , todo entero positivo n tiene una factorización prima única:

{\ Displaystyle n = p_ {1} ^ {c_ {1}} \ times p_ {2} ^ {c_ {2}} \ times \ cdots \ times p_ {k} ^ {c_ {k}} \ qquad (1 )}

donde son primos y los exponentes son números enteros positivos. ${\ Displaystyle p_ {1} <p_ {2} <\ cdots <p_ {k}}$ ${\ Displaystyle c_ {i}}$

Cualquier factor de n debe tener la misma o menor multiplicidad en cada primo:

{\ Displaystyle p_ {1} ^ {d_ {1}} \ times p_ {2} ^ {d_ {2}} \ times \ cdots \ times p_ {k} ^ {d_ {k}}, 0 \ leq d_ { i} \ leq c_ {i}, 0 <i \ leq k}

Entonces el número de divisores de n es:

{\ Displaystyle d (n) = (c_ {1} +1) \ times (c_ {2} +1) \ times \ cdots \ times (c_ {k} +1). \ qquad (2)}

Por lo tanto, para un número n altamente compuesto ,

los k números primos dados p _i deben ser precisamente los primeros k números primos (2, 3, 5, ...); si no, podríamos reemplazar uno de los números primos dados por uno más pequeño, y así obtener un número menor que n con el mismo número de divisores (por ejemplo, 10 = 2 × 5 puede reemplazarse con 6 = 2 × 3; ambos tienen cuatro divisores);
la secuencia de exponentes debe ser no creciente, es decir ; de lo contrario, al intercambiar dos exponentes obtendríamos de nuevo un número menor que n con el mismo número de divisores (por ejemplo, 18 = 2 ¹ × 3 ² puede reemplazarse con 12 = 2 ² × 3 ¹ ; ambos tienen seis divisores). ${\ Displaystyle c_ {1} \ geq c_ {2} \ geq \ cdots \ geq c_ {k}}$

Además, excepto en dos casos especiales n = 4 yn = 36, el último exponente c _k debe ser igual a 1. Significa que 1, 4 y 36 son los únicos números cuadrados altamente compuestos. Decir que la secuencia de exponentes no es creciente equivale a decir que un número altamente compuesto es un producto de primarios o, alternativamente, el número más pequeño para su firma prima .

Tenga en cuenta que, aunque las condiciones descritas anteriormente son necesarias, no son suficientes para que un número sea altamente compuesto. Por ejemplo, 96 = 2 ⁵ × 3 satisface las condiciones anteriores y tiene 12 divisores, pero no es muy compuesto, ya que hay un número menor 60 que tiene el mismo número de divisores.

Crecimiento y densidad asintóticos

Si Q ( x ) denota el número de número altamente compuesto de menos de o igual a x , entonces hay dos constantes a y b , tanto mayor que 1, de manera que

{\ Displaystyle (\ log x) ^ {a} \ leq Q (x) \ leq (\ log x) ^ {b} \ ,.}

La primera parte de la desigualdad fue probada por Paul Erdős en 1944 y la segunda parte por Jean-Louis Nicolas en 1988. Tenemos

{\ Displaystyle 1,13862 <\ liminf {\ frac {\ log Q (x)} {\ log \ log x}} \ leq 1,44 \}

y

{\ Displaystyle \ limsup {\ frac {\ log Q (x)} {\ log \ log x}} \ leq 1.71 \.}

Secuencias relacionadas

Diagrama de Euler de números abundantes , primitivos abundantes , altamente abundantes , sobreabundantes , colosalmente abundantes , altamente compuestos , superiores altamente compuestos , extraños y perfectos por debajo de 100 en relación con los números deficientes y compuestos.

Los números muy compuestos superiores a 6 también son números abundantes . Uno solo necesita mirar los tres divisores propios más grandes de un número altamente compuesto en particular para determinar este hecho. Es falso que todos los números altamente compuestos también sean números de Harshad en base 10. El primer HCN que no es un número de Harshad es 245,044,800, que tiene una suma de dígitos de 27, pero 27 no se divide uniformemente en 245,044,800.

10 de los primeros 38 números altamente compuestos son números altamente compuestos superiores . La secuencia de números altamente compuestos (secuencia A002182 en la OEIS ) es un subconjunto de la secuencia de números más pequeños k con exactamente n divisores (secuencia A005179 en la OEIS ).

Los números altamente compuestos cuyo número de divisores también es un número altamente compuesto son para n = 1, 2, 6, 12, 60, 360, 1260, 2520, 5040, 55440, 277200, 720720, 3603600, 61261200, 2205403200, 293318625600, 6746328388800 , 195643523275200 (secuencia A189394 en la OEIS ). Es muy probable que esta secuencia esté completa.

Un entero positivo n es un número compuesto en gran medida si d ( n ) ≥ d ( m ) para todo m ≤ n . La función de conteo Q _L ( x ) de números compuestos en gran parte satisface

{\ Displaystyle (\ log x) ^ {c} \ leq \ log Q_ {L} (x) \ leq (\ log x) ^ {d} \}

para c positivo , d con . ${\ Displaystyle 0.2 \ leq c \ leq d \ leq 0.5}$

Debido a que la factorización prima de un número altamente compuesto utiliza todos los primeros k primos, cada número altamente compuesto debe ser un número práctico . Debido a su facilidad de uso en cálculos que involucran fracciones , muchos de estos números se utilizan en sistemas tradicionales de medición y diseños de ingeniería.

Ver también

Notas

Referencias

Ramanujan, S. (1915). "Números altamente compuestos" (PDF) . Proc. London Math. Soc . Serie 2. 14 : 347–409. doi : 10.1112 / plms / s2_14.1.347 . JFM 45.1248.01 .(en línea )
Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I . Dordrecht: Springer-Verlag . págs. 45–46. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 .
Erdös, P. (1944). "Sobre números altamente compuestos" (PDF) . Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda Serie. 19 (75_Part_3): 130-133. doi : 10.1112 / jlms / 19.75_part_3.130 . Señor 0013381 .
Alaoglu, L .; Erdös, P. (1944). "En números muy compuestos y similares" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 56 (3): 448–469. doi : 10.2307 / 1990319 . JSTOR 1990319 . Señor 0011087 .
Ramanujan, Srinivasa (1997). "Números altamente compuestos" (PDF) . Diario Ramanujan . 1 (2): 119-153. doi : 10.1023 / A: 1009764017495 . Señor 1606180 . Anotado y con prólogo de Jean-Louis Nicolas y Guy Robin.

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