Grupo de índice - Index group
En la teoría de operadores , una rama de las matemáticas, cada álgebra de Banach puede asociarse con un grupo llamado grupo de índice abstracto .
Definición
Deje que A sea un álgebra de Banach y G el grupo de elementos invertibles en A . El conjunto G está abierto y es un grupo topológico . Considere el componente de identidad
- G 0 ,
o en otras palabras, el componente conectado que contiene la identidad 1 de A ; G 0 es un subgrupo normal de G . El grupo del cociente
- Λ A = G / G 0
es el índice de grupo abstracto de A . Debido a que G 0 , al ser el componente de un conjunto abierto, es tanto abierto como cerrado en G , el grupo índice es un grupo discreto .
Ejemplos de
Sea L ( H ) el álgebra de Banach de operadores acotados en un espacio de Hilbert. El conjunto de elementos invertibles en L ( H ) está conectado por trayectoria. Por lo tanto, Λ L ( H ) es el grupo trivial.
Sea T el círculo unitario en el plano complejo. El álgebra C ( T ) de funciones continuas desde T hasta los números complejos es un álgebra de Banach, con la topología de convergencia uniforme. Una función en C ( T ) es invertible (lo que significa que tiene un inverso multiplicativo puntual , no que sea una función invertible ) si no asigna ningún elemento de T a cero. El grupo G 0 consta de elementos homotópicos , en G , a la identidad en G , la función constante 1 . Uno puede elegir las funciones f n ( z ) = z n como representantes en G de las clases de homotopía distintos de mapas T → T . Por lo tanto, el grupo índice Λ C ( T ) es el conjunto de clases de homotopía, indexado por el número de bobinado de sus miembros. Por lo tanto Λ C ( T ) es isomorfo al grupo fundamental de T . Es un grupo discreto contable.
El álgebra K de Calkin es el cociente C * -álgebra de L ( H ) con respecto a los operadores compactos . Suponga que π es el mapa de cocientes. Según el teorema de Atkinson , un elemento invertible en K tiene la forma π ( T ) donde T es un operador de Fredholm . El grupo índice Λ K es nuevamente un grupo discreto contable. De hecho, Λ K es isomorfo al grupo aditivo de números enteros Z , a través del índice de Fredholm . En otras palabras, para los operadores de Fredholm, las dos nociones de índice coinciden.