Operador de Fredholm - Fredholm operator

En matemáticas , los operadores de Fredholm son ciertos operadores que surgen en la teoría de ecuaciones integrales de Fredholm . Se nombran en honor a Erik Ivar Fredholm . Por definición, un operador de Fredholm es un operador lineal acotado T  :  X  →  Y entre dos espacios de Banach con kernel de dimensión finita y cokernel de dimensión finita (algebraica) , y con rango cerrado . La última condición es realmente redundante. ${\ Displaystyle \ ker T}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {coker} \, T = Y / \ mathrm {ran} \, T}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {ran} \, T}$

El índice de un operador de Fredholm es el número entero

${\ Displaystyle \ mathrm {ind} \, T: = \ dim \ ker T- \ mathrm {codim} \, \ mathrm {ran} \, T}$

o en otras palabras,

${\ Displaystyle \ mathrm {ind} \, T: = \ dim \ ker T- \ mathrm {dim} \, \ mathrm {coker} \, T.}$

Propiedades

Intuitivamente, los operadores de Fredholm son aquellos operadores que son invertibles "si se ignoran los efectos de dimensión finita". Sigue la declaración formalmente correcta. Un operador acotado T  :  X  →  Y entre los espacios de Banach X e Y es Fredholm si y solo si es operadores de módulo compacto invertibles , es decir, si existe un operador lineal acotado

${\ Displaystyle S: Y \ a X}$

tal que

${\ Displaystyle \ mathrm {Id} _ {X} -ST \ quad {\ text {y}} \ quad \ mathrm {Id} _ {Y} -TS}$

son operadores compactos en X e Y respectivamente.

Si un operador de Fredholm se modifica ligeramente, sigue siendo Fredholm y su índice sigue siendo el mismo. Formalmente: el conjunto de operadores de Fredholm de X a Y está abierto en el espacio de Banach L ( X ,  Y ) de operadores lineales acotados, equipados con la norma de operador , y el índice es localmente constante. Más precisamente, si T ₀ es Fredholm de X a Y , existe ε  > 0 tal que cada T en L ( X ,  Y ) con || T - T ₀ || < ε es Fredholm, con el mismo índice que el de  T ₀ .

Cuando T es Fredholm de X a Y y U Fredholm de Y a Z , entonces la composición es Fredholm de X a Z y ${\ Displaystyle U \ circ T}$

${\ Displaystyle \ mathrm {ind} (U \ circ T) = \ mathrm {ind} (U) + \ mathrm {ind} (T).}$

Cuando T es Fredholm, el operador de transposición (o adjunto) T  ′ es Fredholm de Y  ′ a X  ′ , e ind ( T  ′) = −ind ( T ) . Cuando X e Y son espacios de Hilbert , la misma conclusión es válida para el adjunto hermitiano  T ^∗ .

Cuando T es Fredholm y K un operador compacto, T  +  K es Fredholm. El índice de T se mantiene sin cambios bajo un perturbaciones tales compactas de T . Esto se sigue del hecho de que el índice i ( s ) de T + s  K es un número entero definido para cada s en [0, 1], e i ( s ) es localmente constante, por lo tanto i (1) =  i (0) .

La invariancia por perturbación es cierta para clases más grandes que la clase de operadores compactos. Por ejemplo, cuando U es Fredholm y T un operador estrictamente singular , entonces T  +  U es Fredholm con el mismo índice. La clase de operadores no esenciales , que contiene propiamente la clase de operadores estrictamente singulares, es la "clase de perturbación" para los operadores de Fredholm. Esto significa que un operador no es esencial si y solo si T + U es Fredholm para cada operador de Fredholm . ${\ Displaystyle T \ en B (X, Y)}$${\ Displaystyle U \ in B (X, Y)}$

Ejemplos de

Sea un espacio de Hilbert con una base ortonormal indexada por los enteros no negativos. El operador de cambio (derecha) S en H está definido por ${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ {e_ {n} \}}$

${\ Displaystyle S (e_ {n}) = e_ {n + 1}, \ quad n \ geq 0. \,}$

Este operador S es inyectivo (en realidad, isométrico) y tiene un rango cerrado de codimensión 1, por lo que S es Fredholm con . Los poderes , son Fredholm con índice . El adjunto S * es el desplazamiento a la izquierda, ${\ Displaystyle \ mathrm {ind} (S) = - 1}$${\ Displaystyle S ^ {k}}$${\ Displaystyle k \ geq 0}$${\ Displaystyle -k}$

${\ Displaystyle S ^ {*} (e_ {0}) = 0, \ \ S ^ {*} (e_ {n}) = e_ {n-1}, \ quad n \ geq 1. \,}$

El desplazamiento a la izquierda S * es Fredholm con índice 1.

Si H es el espacio clásico de Hardy en el círculo unitario T en el plano complejo, entonces el operador de desplazamiento con respecto a la base ortonormal de exponenciales complejos ${\ Displaystyle H ^ {2} (\ mathbf {T})}$

${\ Displaystyle e_ {n}: \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t} \ in \ mathbf {T} \ rightarrow \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}, \ quad n \ geq 0, \,}$

es el operador de multiplicación M _φ con la función . De manera más general, sea φ una función continua compleja en T que no desaparece , y sea T _φ el operador de Toeplitz con el símbolo φ , igual a la multiplicación por φ seguido de la proyección ortogonal : ${\ Displaystyle \ varphi = e_ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {T}}$${\ Displaystyle P: L ^ {2} (\ mathbf {T}) \ to H ^ {2} (\ mathbf {T})}$

${\ Displaystyle T _ {\ varphi}: f \ in H ^ {2} (\ mathrm {T}) \ rightarrow P (f \ varphi) \ in H ^ {2} (\ mathrm {T}). \,}$

Entonces T _φ es un operador de Fredholm en , con índice relacionado con el número de devanado alrededor de 0 de la trayectoria cerrada : el índice de T _φ , como se define en este artículo, es el opuesto de este número de devanado. ${\ Displaystyle H ^ {2} (\ mathbf {T})}$${\ Displaystyle t \ in [0,2 \ pi] \ mapsto \ varphi (e ^ {it})}$

Aplicaciones

Cualquier operador elíptico puede extenderse a un operador Fredholm. El uso de operadores de Fredholm en ecuaciones diferenciales parciales es una forma abstracta del método parametrix .

El teorema del índice de Atiyah-Singer proporciona una caracterización topológica del índice de ciertos operadores en variedades.

El teorema de Atiyah-Jänich identifica la teoría K K ( X ) de un espacio topológico compacto X con el conjunto de clases de homotopía de mapas continuos desde X al espacio de los operadores de Fredholm H → H , donde H es el espacio de Hilbert separable y el conjunto de estos operadores lleva la norma de operador.

Generalizaciones

Operadores de B-Fredholm

Para cada número entero , defina como la restricción de para ser visto como un mapa desde dentro (en particular ). Si para algún número entero el espacio está cerrado y es un operador de Fredholm, entonces se llama operador B-Fredholm . El índice de un operador de B-Fredholm se define como el índice del operador de Fredholm . Se muestra que el índice es independiente del número entero . Los operadores de B-Fredholm fueron introducidos por M. Berkani en 1999 como una generalización de los operadores de Fredholm. ${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle T_ {n}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle R (T ^ {n})}$${\ Displaystyle R (T ^ {n})}$${\ Displaystyle R (T ^ {n})}$${\ Displaystyle T_ {0} = T}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle R (T ^ {n})}$${\ Displaystyle T_ {n}}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T}$${\ Displaystyle T_ {n}}$${\ Displaystyle n}$

Operadores de Semi-Fredholm

Un operador lineal acotado T se llama semi-Fredholm si su rango es cerrado y al menos uno de , es de dimensión finita. Para un operador semi-Fredholm, el índice se define por ${\ Displaystyle \ ker T}$${\ Displaystyle \ mathrm {coker} \, T}$

${\ Displaystyle \ mathrm {ind} \, T = {\ begin {cases} + \ infty, & \ dim \ ker T = \ infty; \\\ dim \ ker T- \ dim \ mathrm {coker} \, T , & \ dim \ ker T + \ dim \ mathrm {coker} \, T <\ infty; \\ - \ infty, & \ dim \ mathrm {coker} \, T = \ infty. \ end {cases}}}$

Operadores ilimitados

También se pueden definir operadores de Fredholm ilimitados. Sean X e Y dos espacios de Banach.

1. El operador lineal cerrado se llama Fredholm si su dominio es denso , su rango es cerrado y tanto el núcleo como el cokernel de T son de dimensión finita.${\ Displaystyle T: \, X \ a Y}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {D}} (T)}$${\ Displaystyle X}$
2. ${\ Displaystyle T: \, X \ a Y}$se llama semi-Fredholm si su dominio es denso , su rango es cerrado, y el núcleo o el cokernel de T (o ambos) es de dimensión finita.${\ Displaystyle {\ mathfrak {D}} (T)}$${\ Displaystyle X}$

Como se señaló anteriormente, el rango de un operador cerrado está cerrado siempre que el cokernel sea de dimensión finita (Edmunds y Evans, Teorema I.3.2).

Notas

Referencias

• DE Edmunds y WD Evans (1987), Teoría espectral y operadores diferenciales, Oxford University Press. ISBN  0-19-853542-2 .
• AG Ramm, " Una prueba simple de la alternativa de Fredholm y una caracterización de los operadores de Fredholm ", American Mathematical Monthly , 108 (2001) p. 855 (NB: En este documento, la palabra "operador de Fredholm" se refiere al "operador de Fredholm de índice 0").
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Fredholm" . MathWorld .
• BV Khvedelidze (2001) [1994], "Teoremas de Fredholm" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Bruce K. Driver, " Operadores compactos y de Fredholm y el teorema espectral ", Herramientas de análisis con aplicaciones , Capítulo 35, págs. 579–600.
• Robert C. McOwen, " Teoría de Fredholm de ecuaciones diferenciales parciales en variedades completas de Riemann ", Pacific J. Math. 87 , no. 1 (1980), 169-185.
• Tomasz Mrowka, Una breve introducción al análisis lineal: operadores de Fredholm , geometría de colectores, otoño de 2004 (Instituto de Tecnología de Massachusetts: MIT OpenCouseWare)