Producto interior Frobenius - Frobenius inner product

En matemáticas , el producto interno de Frobenius es una operación binaria que toma dos matrices y devuelve un número. A menudo se denota . La operación es un producto interno por componentes de dos matrices como si fueran vectores. Las dos matrices deben tener la misma dimensión, el mismo número de filas y columnas, pero no están restringidas a ser matrices cuadradas . ${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}$

Definición

Dadas dos matrices A y B de n × m con valores numéricos complejos , escritas explícitamente como

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & \ cdots & A_ {1m} \\ A_ {21} & A_ {22} & \ cdots & A_ {2m} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {n1} & A_ {n2} & \ cdots & A_ {nm} \\\ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = {\ begin { pmatrix} B_ {11} & B_ {12} & \ cdots & B_ {1m} \\ B_ {21} & B_ {22} & \ cdots & B_ {2m} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ B_ {n1} & B_ {n2} & \ cdots & B_ {nm} \\\ end {pmatrix}}}$

el producto interno de Frobenius se define como,

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = \ sum _ {i, j} {\ overline {A_ {ij}}} B_ {ij} \ , = \ mathrm {Tr} \ left ({\ overline {\ mathbf {A} ^ {T}}} \ mathbf {B} \ right) \ equiv \ mathrm {Tr} \ left (\ mathbf {A} ^ { \! \ dagger} \ mathbf {B} \ right)}$

donde la línea superior denota el conjugado complejo y denota el conjugado hermitiano . Explícitamente esta suma es ${\ Displaystyle \ daga}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = & {\ overline {A}} _ {11} B_ {11} + {\ overline {A}} _ {12} B_ {12} + \ cdots + {\ overline {A}} _ {1m} B_ {1m} \\ & + {\ overline {A}} _ {21} B_ {21} + {\ overline {A}} _ {22} B_ {22} + \ cdots + {\ overline {A}} _ {2m} B_ {2m} \\ & \ vdots \\ & + {\ overline {A}} _ {n1} B_ {n1} + {\ overline {A}} _ {n2} B_ {n2} + \ cdots + {\ overline {A}} _ {nm} B_ {nm} \\\ final {alineado}}}$

El cálculo es muy similar al producto escalar , que a su vez es un ejemplo de producto interno.

Relación con otros productos

Si A y B son matrices de valor real , el producto interno de Frobenius es la suma de las entradas del producto de Hadamard . Si las matrices están vectorizadas (es decir, convertidas en vectores columna, denotados por " "), entonces ${\ Displaystyle \ mathrm {vec} (\ cdot)}$

${\ Displaystyle \ mathrm {vec} (\ mathbf {A}) = {\ begin {pmatrix} A_ {11} \\ A_ {12} \\\ vdots \\ A_ {21} \\ A_ {22} \\ \ vdots \\ A_ {nm} \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathrm {vec} (\ mathbf {B}) = {\ begin {pmatrix} B_ {11} \\ B_ {12} \\\ vdots \\ B_ {21} \\ B_ {22} \\\ vdots \\ B_ {nm} \ end {pmatrix}} \ ,,}$${\ Displaystyle \ quad {\ overline {\ mathrm {vec} (\ mathbf {A})}} ^ {T} \ mathrm {vec} (\ mathbf {B}) = {\ begin {pmatrix} {\ overline { A}} _ {11} & {\ overline {A}} _ {12} & \ cdots & {\ overline {A}} _ {21} & {\ overline {A}} _ {22} & \ cdots & {\ overline {A}} _ {nm} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} B_ {11} \\ B_ {12} \\\ vdots \\ B_ {21} \\ B_ {22} \ \\ vdots \\ B_ {nm} \ end {pmatrix}}}$

Por lo tanto

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = {\ overline {\ mathrm {vec} (\ mathbf {A})}} ^ {T} \ mathrm {vec} (\ mathbf {B}) \ ,.}$

Propiedades

Es una forma sesquilinear , por cuatro matrices de valor complejo A , B , C , D , y dos números complejos una y b :

${\ Displaystyle \ langle a \ mathbf {A}, b \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = {\ overline {a}} b \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}$

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A} + \ mathbf {C}, \ mathbf {B} + \ mathbf {D} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf { B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} + \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {D} \ rangle _ {\ mathrm {F}} + \ langle \ mathbf {C}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} + \ langle \ mathbf {C}, \ mathbf {D} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}$

Además, intercambiar las matrices equivale a una conjugación compleja:

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {B}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = {\ overline {\ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}}}$

Para la misma matriz,

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ mathrm {F}} \ geq 0 \ ,.}$

Norma de Frobenius

El producto interior induce la norma Frobenius.

${\ Displaystyle \ | \ mathbf {A} \ | _ {\ mathrm {F}} = {\ sqrt {\ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ mathrm {F}}}} \ ,.}$

Ejemplos de

Matrices de valor real

Para dos matrices de valor real, si

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 1 & -5 \ end {pmatrix}}}$

luego

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} & = 2 \ cdot 8 + 0 \ cdot (-3) +6 \ cdot 2 + 1 \ cdot 4 + (- 1) \ cdot 1 + 2 \ cdot (-5) \\ & = 21 \ end {alineado}}}$

Matrices de valores complejos

Para dos matrices de valores complejos, si

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} 1 + i & -2i \\ 3 & -5 \ end {pmatrix}} \ ,, \ quad \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} -2 & 3i \\ 4-3i y 6 \ end {pmatrix}}}$

luego

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} & = (1-i) \ cdot (-2) + (2i) \ cdot 3i + 3 \ cdot (4-3i) + (- 5) \ cdot 6 \\ & = - 26-7i \ end {alineado}}}$

tiempo

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ langle \ mathbf {B}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ mathrm {F}} & = (- 2) \ cdot (1 + i) + (- 3i) \ cdot (-2i) + (4 + 3i) \ cdot 3 + 6 \ cdot (-5) \\ & = - 26 + 7i \ end {alineado}}}$

Los productos internos de Frobenius de A consigo mismo, y B consigo mismo, son respectivamente

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {A} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40}$${\ Displaystyle \ qquad \ langle \ mathbf {B}, \ mathbf {B} \ rangle _ {\ mathrm {F}} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74}$

Ver también

• Producto Hadamard (matrices)
• Producto interior de Hilbert – Schmidt
• Producto Kronecker
• Análisis de matrices
• Multiplicación de matrices
• Norma de matriz
• Producto tensorial de los espacios de Hilbert : el producto interno de Frobenius es el caso especial en el que los espacios vectoriales son espacios vectoriales reales o complejos de dimensión finita con el producto interno euclidiano habitual.