Círculo de una esfera - Circle of a sphere

Pequeño círculo de una esfera.

${\ Displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2}}$ , donde C es el centro de la esfera, A es el centro del círculo pequeño y B es un punto en el límite del círculo pequeño. Por lo tanto, conociendo el radio de la esfera y la distancia desde el plano del círculo pequeño a C, el radio del círculo pequeño se puede determinar usando el teorema de Pitágoras.

Un círculo de una esfera es un círculo que se encuentra en una esfera . Tal círculo puede formarse como la intersección de una esfera y un plano , o de dos esferas. Un círculo en una esfera cuyo plano pasa por el centro de la esfera se llama círculo máximo ; de lo contrario, es un círculo pequeño . Los círculos de una esfera tienen un radio menor o igual que el radio de la esfera, con igualdad cuando el círculo es un círculo máximo.

En la tierra

En el sistema de coordenadas geográficas de un globo, los paralelos de latitud son círculos pequeños, siendo el Ecuador el único gran círculo. Por el contrario, todos los meridianos de longitud , emparejados con su meridiano opuesto en el otro hemisferio , forman grandes círculos.

Terminología relacionada

El diámetro de la esfera que pasa por el centro del círculo se denomina eje y los extremos de este diámetro se denominan polos . Un círculo de una esfera también se puede definir como el conjunto de puntos a una distancia angular dada de un polo dado.

Intersección esfera-plano

Cuando la intersección de una esfera y un plano no está vacía o no es un solo punto, es un círculo. Esto se puede ver de la siguiente manera:

Deje S ser una esfera con centro O , P un plano que intersecta S . Dibuje OE perpendicular a P y cumplir con P en E . Sean A y B dos puntos diferentes en la intersección. Entonces AOE y BOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y las hipotenusas AO y BO son iguales. Por lo tanto, los lados restantes AE y BE son iguales. Esto demuestra que todos los puntos en la intersección son la misma distancia desde el punto E en el plano P , en otras palabras, todos los puntos en la intersección se encuentran en un círculo C con el centro E . Esto demuestra que la intersección de P y S está contenido en C . Tenga en cuenta que OE es el eje del círculo.

Consideremos ahora un punto D del círculo C . Desde C mentiras en P , también lo hace D . Por otro lado, los triángulos AOE y DOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y los catetos EA y ED iguales. Por lo tanto, las hipotenusas AO y DO son iguales, e igual al radio de S , de modo que D mentiras en S . Esto demuestra que C está contenido en la intersección de P y S .

Como corolario, en una esfera hay exactamente un círculo que se puede dibujar a través de tres puntos dados.

La demostración se puede ampliar para mostrar que los puntos de un círculo están todos a una distancia angular común de uno de sus polos.

Intersección esfera-esfera

Para mostrar que una intersección no trivial de dos esferas es un círculo, suponga (sin pérdida de generalidad) que una esfera (con radio ) está centrada en el origen. Los puntos en esta esfera satisfacen ${\ Displaystyle R}$

${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}.}$

También sin pérdida de generalidad, suponga que la segunda esfera, con radio , está centrada en un punto del eje x positivo, a una distancia del origen. Sus puntos satisfacen ${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle a}$

${\ Displaystyle (xa) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}.}$

La intersección de las esferas es el conjunto de puntos que satisfacen ambas ecuaciones. Restar las ecuaciones da

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} (xa) ^ {2} -x ^ {2} & = r ^ {2} -R ^ {2} \\ a ^ {2} -2ax & = r ^ {2} -R ^ {2} \\ x & = {\ frac {a ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2}} {2a}}. \ End {alineado}}}$

En el caso singular , las esferas son concéntricas. Hay dos posibilidades: si las esferas coinciden y la intersección es toda la esfera; si , las esferas están separadas y la intersección está vacía. Cuando a es distinto de cero, la intersección se encuentra en un plano vertical con esta coordenada x, que puede intersecar ambas esferas, ser tangente a ambas esferas o externa a ambas esferas. El resultado se deriva de la demostración anterior de intersecciones esfera-plano. ${\ Displaystyle a = 0}$${\ Displaystyle R = r}$${\ Displaystyle R \ not = r}$

Ver también

• Intersección línea-plano
• Intersección línea-esfera

Referencias

• Hobbs, CA (1921). Geometría sólida . GH Kent. págs.  397 y sigs.

Otras lecturas

• Sykes, M .; Comstock, CE (1922). Geometría sólida . Rand McNally. págs.  81 y sigs.