Gran círculo -Great circle

Un gran círculo divide la esfera en dos hemisferios iguales.

En matemáticas , un círculo máximo u ortodrómetro es la intersección circular de una esfera y un plano que pasa por el punto central de la esfera .

Cualquier arco de un gran círculo es una geodésica de la esfera, por lo que los grandes círculos en geometría esférica son el análogo natural de las líneas rectas en el espacio euclidiano . Para cualquier par de puntos distintos no antípodas en la esfera, hay un gran círculo único que pasa por ambos. (Todo círculo máximo que pasa por cualquier punto también pasa por su punto antípoda, por lo que hay infinitos círculos máximos que pasan por dos puntos antípodas). El más corto de los dos arcos de círculo máximo entre dos puntos distintos de la esfera se llama arco menor , y es el camino de superficie más corto entre ellos. Su longitud de arco es la distancia de círculo máximo entre los puntos (la distancia intrínseca en una esfera), y es proporcional a la medida del ángulo central formado por los dos puntos y el centro de la esfera.

Un gran círculo es el círculo más grande que se puede dibujar en cualquier esfera dada. Cualquier diámetro de cualquier gran círculo coincide con un diámetro de la esfera y, por lo tanto, todo gran círculo es concéntrico con la esfera y comparte el mismo radio . Cualquier otro círculo de la esfera se llama círculo pequeño , y es la intersección de la esfera con un plano que no pasa por su centro. Los círculos pequeños son el análogo de geometría esférica de los círculos en el espacio euclidiano.

Cada círculo en el espacio tridimensional euclidiano es un gran círculo de exactamente una esfera.

El disco delimitado por un gran círculo se llama gran disco : es la intersección de una bola y un plano que pasa por su centro. En dimensiones superiores, los círculos máximos en la esfera n son la intersección de la esfera n con 2 planos que pasan por el origen en el espacio euclidiano R n + 1 .

Derivación de caminos más cortos

Para demostrar que el arco menor de un gran círculo es el camino más corto que conecta dos puntos en la superficie de una esfera, se le puede aplicar el cálculo de variaciones .

Considere la clase de todos los caminos regulares de un punto a otro punto . Introduce coordenadas esféricas de forma que coincida con el polo norte. Cualquier curva en la esfera que no se interseca con ninguno de los polos, excepto posiblemente en los puntos finales, se puede parametrizar mediante

siempre que permitamos tomar valores reales arbitrarios. La longitud de arco infinitesimal en estas coordenadas es

Entonces, la longitud de una curva de a es un funcional de la curva dada por

De acuerdo con la ecuación de Euler-Lagrange , se minimiza si y solo si

,

donde es una constante independiente, y

De la primera ecuación de estas dos, se puede obtener que

.

Integrando ambos lados y considerando la condición de contorno, la solución real de es cero. Por lo tanto, y puede ser cualquier valor entre 0 y , lo que indica que la curva debe estar en un meridiano de la esfera. En coordenadas cartesianas, esto es

que es un plano que pasa por el origen, es decir, el centro de la esfera.

Aplicaciones

Algunos ejemplos de grandes círculos en la esfera celeste incluyen el horizonte celeste , el ecuador celeste y la eclíptica . Los círculos máximos también se utilizan como aproximaciones bastante precisas de las geodésicas en la superficie de la Tierra para la navegación aérea o marítima (aunque no es una esfera perfecta ), así como en los cuerpos celestes esferoidales .

El ecuador de la tierra idealizada es un gran círculo y cualquier meridiano y su meridiano opuesto forman un gran círculo. Otro gran círculo es el que divide los hemisferios terrestre y acuático . Un círculo máximo divide la tierra en dos hemisferios y si un círculo máximo pasa por un punto, debe pasar por su punto antípoda .

La transformada de Funk integra una función a lo largo de todos los grandes círculos de la esfera.

Ver también

Referencias

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