Método Chakravala - Chakravala method

El método chakravala ( sánscrito : चक्रवाल विधि ) es un algoritmo cíclico para resolver ecuaciones cuadráticas indeterminadas , incluida la ecuación de Pell . Se atribuye comúnmente a Bhāskara II , (c. 1114-1185 d. C.) aunque algunos lo atribuyen a Jayadeva (c. 950 ~ 1000 d. C.). Jayadeva señaló que el enfoque de Brahmagupta para resolver ecuaciones de este tipo podría generalizarse, y luego describió este método general, que luego fue refinado por Bhāskara II en su tratado Bijaganita . Lo llamó el método Chakravala: chakra que significa "rueda" en sánscrito , una referencia a la naturaleza cíclica del algoritmo. CO. Selenius sostuvo que ninguna actuación europea en la época de Bhāskara, ni mucho después, excedió su maravilloso apogeo de complejidad matemática.

Este método también se conoce como método cíclico y contiene rastros de inducción matemática .

Historia

Chakra en sánscrito significa ciclo. Según la leyenda popular, Chakravala indica una cadena mítica de montañas que orbita alrededor de la tierra como una pared y no está limitada por la luz y la oscuridad.

Brahmagupta en 628 EC estudió ecuaciones cuadráticas indeterminadas, incluida la ecuación de Pell

${\ Displaystyle \, x ^ {2} = Ny ^ {2} +1,}$

para enteros mínimos x e y . Brahmagupta pudo resolverlo por varios N , pero no todos.

Jayadeva (siglo IX) y Bhaskara (siglo XII) ofrecieron la primera solución completa a la ecuación, utilizando el método chakravala para encontrar la solución. ${\ Displaystyle \, x ^ {2} = 61y ^ {2} +1,}$

${\ Displaystyle \, x = 1766319049, y = 226153980.}$

Este caso fue conocido por su dificultad y fue resuelto por primera vez en Europa por Brouncker en 1657–58 en respuesta a un desafío de Fermat , utilizando fracciones continuas. Un método para el problema general fue descrito por primera vez rigurosamente por Lagrange en 1766. El método de Lagrange, sin embargo, requiere el cálculo de 21 convergentes sucesivos de la fracción continua para la raíz cuadrada de 61, mientras que el método de chakravala es mucho más simple. Selenius, en su evaluación del método chakravala , afirma

"El método representa el mejor algoritmo de aproximación de longitud mínima que, debido a varias propiedades de minimización, con un esfuerzo mínimo y evitando grandes números produce automáticamente las mejores soluciones a la ecuación. El método chakravala se anticipó a los métodos europeos por más de mil años. Pero ninguna actuación europea en todo el campo del álgebra en una época mucho más tardía que la de Bhaskara, es más, casi igual a nuestra época, igualaba la maravillosa complejidad e ingenio de chakravala ".

Hermann Hankel llama al método chakravala

"Lo mejor logrado en la teoría de los números antes de Lagrange".

El método

De la identidad de Brahmagupta , observamos que para N dado ,

${\ Displaystyle (x_ {1} x_ {2} + Ny_ {1} y_ {2}) ^ {2} -N (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1}) ^ {2 } = (x_ {1} ^ {2} -Ny_ {1} ^ {2}) (x_ {2} ^ {2} -Ny_ {2} ^ {2})}$

Para la ecuación , esto permite la "composición" ( samāsa ) de dos triples de solución y en un nuevo triple ${\ Displaystyle x ^ {2} -Ny ^ {2} = k}$${\ Displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, k_ {1})}$${\ Displaystyle (x_ {2}, y_ {2}, k_ {2})}$

${\ Displaystyle (x_ {1} x_ {2} + Ny_ {1} y_ {2} \ ,, \, x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1} \ ,, \, k_ { 1} k_ {2}).}$

En el método general, la idea principal es que cualquier triple (es decir, uno que satisfaga ) se puede componer con el triple trivial para obtener el nuevo triple para cualquier m . Suponiendo que comenzamos con un triple para el cual , esto se puede reducir en k (este es el lema de Bhaskara ): ${\ Displaystyle (a, b, k)}$${\ Displaystyle a ^ {2} -Nb ^ {2} = k}$${\ Displaystyle (m, 1, m ^ {2} -N)}$${\ Displaystyle (am + Nb, a + bm, k (m ^ {2} -N))}$${\ Displaystyle \ gcd (a, b) = 1}$

${\ Displaystyle a ^ {2} -Nb ^ {2} = k \ Rightarrow \ left ({\ frac {am + Nb} {k}} \ right) ^ {2} -N \ left ({\ frac {a + bm} {k}} \ derecha) ^ {2} = {\ frac {m ^ {2} -N} {k}}}$

Dado que los signos dentro de los cuadrados no importan, son posibles las siguientes sustituciones:

${\ displaystyle a \ leftarrow {\ frac {am + Nb} {| k |}}, b \ leftarrow {\ frac {a + bm} {| k |}}, k \ leftarrow {\ frac {m ^ {2 } -N} {k}}}$

Cuando se elige un entero positivo m de modo que ( a  +  bm ) / k sea ​​un entero, también lo son los otros dos números del triple. Entre tales m , el método elige uno que minimiza el valor absoluto de m ²  -  N y, por tanto, el de ( m ²  -  N ) / k . Luego se aplican las relaciones de sustitución para m igual al valor elegido. Esto da como resultado un nuevo triple ( a , b , k ). El proceso se repite hasta encontrar un triple con . Este método siempre termina con una solución (probada por Lagrange en 1768). Opcionalmente, podemos detenernos cuando k es ± 1, ± 2 o ± 4, ya que el enfoque de Brahmagupta brinda una solución para esos casos. ${\ Displaystyle k = 1}$

Método de composición de Brahmagupta

En 628 d.C., Brahmagupta descubrió una forma general de encontrar y de cuándo se da , cuando k es ± 1, ± 2 o ± 4. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ displaystyle x ^ {2} = Ny ^ {2} +1,}$${\ Displaystyle a ^ {2} = Nb ^ {2} + k}$

k = -1

Usando la identidad de Brahmagupta , para componer el triple consigo mismo: ${\ Displaystyle (a, b, k)}$

${\ Displaystyle (a ^ {2} + Nb ^ {2}) ^ {2} -N (2ab) ^ {2} = k ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$ ${\ Displaystyle (2a ^ {2} -k) ^ {2} -N (2ab) ^ {2} = k ^ {2}}$

El nuevo triple se puede expresar como . Sustituyendo para obtener la solución: ${\ Displaystyle (2a ^ {2} -k, 2ab, k ^ {2})}$${\ Displaystyle k = -1}$

${\ Displaystyle x = a ^ {2} + 1, y = 2ab}$

k = ± 2

Nuevamente usando la ecuación, ${\ Displaystyle (2a ^ {2} -k) ^ {2} -N (2ab) ^ {2} = k ^ {2}}$${\ Displaystyle \ Rightarrow}$${\ Displaystyle ({\ frac {2a ^ {2} -k} {k}}) ^ {2} -N ({\ frac {2ab} {k}}) ^ {2} = 1}$

Sustituyendo , ${\ Displaystyle k = 2}$

${\ Displaystyle x = a ^ {2} -1, y = ab}$

Sustituyendo , ${\ Displaystyle k = -2}$

${\ Displaystyle x = a ^ {2} + 1, y = ab}$

k = 4

Sustituir en la ecuación crea el triple . ${\ Displaystyle k = 4}$${\ displaystyle ({\ frac {2a ^ {2} -4} {4}}) ^ {2} -N ({\ frac {2ab} {4}}) ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle ({\ frac {a ^ {2} -2} {2}}, {\ frac {ab} {2}}, 1)}$

Cuál es una solución si es par: ${\ Displaystyle a}$

${\ Displaystyle x = {\ frac {ab} {2}}, y = {\ frac {a ^ {2} -2} {2}}}$

Si a es impar, comience con las ecuaciones y . ${\ Displaystyle ({\ frac {a} {2}}) ^ {2} -N ({\ frac {b} {2}}) ^ {2} = 1}$${\ displaystyle ({\ frac {2a ^ {2} -4} {4}}) ^ {2} -N ({\ frac {2ab} {4}}) ^ {2} = 1}$

Conduciendo a los triples y . Componer los triples da${\ Displaystyle ({\ frac {a} {2}}, {\ frac {b} {2}}, 1)}$${\ Displaystyle ({\ frac {a ^ {2} -2} {2}}, {\ frac {ab} {2}}, 1)}$${\ Displaystyle ({\ frac {a} {2}} (a ^ {2} -3)) ^ {2} -N ({\ frac {b} {2}} (a ^ {2} -1) ) ^ {2} = 1}$

Cuando es extraño ${\ Displaystyle a}$

${\ Displaystyle x = {\ frac {a} {2}} (a ^ {2} -3)) ^ {2}, y = ({\ frac {b} {2}} (a ^ {2} - 1)) ^ {2}}$

k = -4

Cuando , entonces . Componer consigo mismo cede . ${\ Displaystyle k = -4}$${\ Displaystyle ({\ frac {a} {2}}) ^ {2} -N ({\ frac {b} {2}}) ^ {2} = - 1}$${\ Displaystyle ({\ frac {a ^ {2} + Nb ^ {2}} {4}}) ^ {2} -N ({\ frac {ab} {2}}) ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ Rightarrow}$${\ Displaystyle ({\ frac {a ^ {2} +2} {2}}) ^ {2} -N ({\ frac {ab} {2}}) ^ {2} = 1}$

De nuevo componerse rinde ${\ Displaystyle ({\ frac {(a ^ {2} +2) ^ {2} + Na ^ {2} b ^ {2})} {4}}) ^ {2} -N ({\ frac { ab (a ^ {2} +2)} {2}}) ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ Rightarrow}$ ${\ Displaystyle ({\ frac {a ^ {4} + 4a ^ {2} +2} {2}}) ^ {2} -N ({\ frac {ab (a ^ {2} +2)} { 2}}) ^ {2} = 1}$

Finalmente, a partir de las ecuaciones anteriores, componga los triples y , para obtener ${\ Displaystyle ({\ frac {a ^ {2} +2} {2}}, {\ frac {ab} {2}}, 1)}$${\ Displaystyle ({\ frac {a ^ {4} + 4a ^ {2} +2} {2}}, {\ frac {ab (a ^ {2} +2)} {2}}, 1)}$

${\ Displaystyle ({\ frac {(a ^ {2} +2) (a ^ {4} + 4a ^ {2} +2) + Na ^ {2} b ^ {2} (a ^ {2} + 2)} {4}}) ^ {2} -N ({\ frac {ab (a ^ {4} + 4a ^ {2} +3)} {2}}) ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ Rightarrow}$${\ Displaystyle ({\ frac {(a ^ {2} +2) (a ^ {4} + 4a ^ {2} +1)} {2}}) ^ {2} -N ({\ frac {ab (a ^ {2} +3) (a ^ {2} +1)} {2}}) ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ Rightarrow}$${\ Displaystyle ({\ frac {(a ^ {2} +2) [(a ^ {2} +1) (a ^ {2} +3) -2)]} {2}}) ^ {2} -N ({\ frac {ab (a ^ {2} +3) (a ^ {2} +1)} {2}}) ^ {2} = 1}$.

Esto nos da las soluciones

${\ Displaystyle x = {\ frac {(a ^ {2} +2) [(a ^ {2} +1) (a ^ {2} +3) -2)]} {2}} y = {\ frac {ab (a ^ {2} +3) (a ^ {2} +1)} {2}}}$

(Tenga en cuenta que es útil para encontrar una solución a la ecuación de Pell , pero no siempre es el par de enteros más pequeño. Por ejemplo, la ecuación le dará , que cuando se pone en la ecuación de Pell da como resultado , que funciona, pero también lo hace para . ${\ Displaystyle k = -4}$${\ displaystyle 36 ^ {2} -52 * 5 ^ {2} = - 4}$${\ Displaystyle x = 1093436498, y = 151632270}$${\ displaystyle 1195601955878350801-119560195587835080 = 1}$${\ Displaystyle x = 649, y = 90}$${\ Displaystyle N = 52}$

Ejemplos de

n = 61

El caso n  = 61 (que determina una solución entera satisfactoria ), presentado como un desafío por Fermat muchos siglos después, fue dado por Bhaskara como ejemplo. ${\ Displaystyle a ^ {2} -61b ^ {2} = 1}$

Comenzamos con una solución para cualquier k encontrado por cualquier medio. En este caso, podemos dejar que b sea ​​1, por lo tanto, ya que tenemos el triple . Componerlo con da el triple , que se reduce (o se usa directamente el lema de Bhaskara ) para obtener: ${\ Displaystyle a ^ {2} -61b ^ {2} = k}$${\ Displaystyle 8 ^ {2} -61 \ cdot 1 ^ {2} = 3}$${\ Displaystyle (a, b, k) = (8,1,3)}$${\ Displaystyle (m, 1, m ^ {2} -61)}$${\ Displaystyle (8 m + 61,8 + m, 3 (m ^ {2} -61))}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {8m + 61} {3}}, {\ frac {8 + m} {3}}, {\ frac {m ^ {2} -61} {3}} \ right ).}$

Para que 3 se divida y sea ​​mínimo, elegimos , para que tengamos el triple . Ahora que k es −4, podemos usar la idea de Brahmagupta: se puede reducir a la solución racional , que se compone de sí misma tres veces, respectivamente, cuando k se vuelve cuadrado y se puede aplicar la escala, esto da . Por último, tal procedimiento se puede repetir hasta que la solución se encuentra (que requiere 9 auto-composiciones adicionales y 4 cuadrados batiduras adicionales): . Esta es la solución de entero mínimo. ${\ Displaystyle 8 + m}$${\ Displaystyle | m ^ {2} -61 |}$${\ Displaystyle m = 7}$${\ displaystyle (39,5, -4)}$${\ Displaystyle (39 / 2,5 / 2, -1) \,}$${\ displaystyle m = {7,11,9}}$${\ displaystyle (1523/2195 / 2,1) \,}$${\ Displaystyle (1766319049, \, 226153980, \, 1)}$

n = 67

Supongamos que estamos a resolver para x e y . ${\ Displaystyle x ^ {2} -67y ^ {2} = 1}$

Comenzamos con una solución para cualquier k encontrado por cualquier medio; en este caso podemos hacer que b sea ​​1, produciendo así . En cada paso, encontramos un m  > 0 tal que k divide a  +  bm , y | m ²  - 67 | es mínimo. A continuación, actualizamos un , b y k a y , respectivamente. ${\ Displaystyle a ^ {2} -67b ^ {2} = k}$${\ Displaystyle 8 ^ {2} -67 \ cdot 1 ^ {2} = - 3}$${\ Displaystyle {\ frac {am + Nb} {| k |}}, {\ frac {a + bm} {| k |}}}$${\ Displaystyle {\ frac {m ^ {2} -N} {k}}}$

Primera iteración

Tenemos . Queremos un entero positivo m tal que k divida a  +  bm , es decir, 3 divida 8 + m, y | m ²  - 67 | es mínimo. La primera condición implica que m es de la forma 3 t + 1 (es decir, 1, 4, 7, 10,… etc.), y entre tales m , el valor mínimo se alcanza para m = 7. Reemplazando ( a ,  b ,  k ) con , obtenemos los nuevos valores . Es decir, tenemos la nueva solución: ${\ Displaystyle (a, b, k) = (8,1, -3)}$${\ Displaystyle \ left ({\ frac {am + Nb} {| k |}}, {\ frac {a + bm} {| k |}}, {\ frac {m ^ {2} -N} {k }}\derecho)}$${\ Displaystyle a = (8 \ cdot 7 + 67 \ cdot 1) / 3 = 41, b = (8 + 1 \ cdot 7) / 3 = 5, k = (7 ^ {2} -67) / (- 3) = 6}$

${\ displaystyle 41 ^ {2} -67 \ cdot (5) ^ {2} = 6.}$

En este punto, se completa una ronda del algoritmo cíclico.

Segunda iteración

Ahora repetimos el proceso. Tenemos . Queremos un m  > 0 tal que k divida a  +  bm , es decir, 6 divida 41 + 5 m , y | m ²  - 67 | es mínimo. La primera condición implica que m es de la forma 6 t  + 5 (es decir, 5, 11, 17,… etc.), y entre tales m , | m ²  - 67 | es mínimo para m  = 5. Esto conduce a la nueva solución a  = (41⋅5 + 67⋅5) / 6, etc .: ${\ Displaystyle (a, b, k) = (41,5,6)}$

${\ displaystyle 90 ^ {2} -67 \ cdot 11 ^ {2} = - 7.}$

Tercera iteración

Para que 7 divida 90 + 11 m , debemos tener m = 2 + 7 t (es decir, 2, 9, 16,… etc.) y entre tales m , elegimos m = 9.

${\ displaystyle 221 ^ {2} -67 \ cdot 27 ^ {2} = - 2.}$

Solución final

En este punto, podríamos continuar con el método cíclico (y terminaría, después de siete iteraciones), pero como el lado derecho está entre ± 1, ± 2, ± 4, también podemos usar la observación de Brahmagupta directamente. Al componer el triple (221, 27, −2) consigo mismo, obtenemos

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {221 ^ {2} +67 \ cdot 27 ^ {2}} {2}} \ right) ^ {2} -67 \ cdot (221 \ cdot 27) ^ {2} = 1,}$

es decir, tenemos la solución entera:

${\ displaystyle 48842 ^ {2} -67 \ cdot 5967 ^ {2} = 1.}$

Esta ecuación se aproxima como a dentro de un margen de alrededor . ${\ Displaystyle {\ sqrt {67}}}$${\ displaystyle {\ frac {48842} {5967}}}$${\ Displaystyle 2 \ times 10 ^ {- 9}}$

Notas

Referencias

• Florian Cajori (1918), Origen del nombre "Inducción matemática", The American Mathematical Monthly 25 (5), p. 197-201.
• George Gheverghese Joseph, La cresta del pavo real: raíces no europeas de las matemáticas (1975).
• GR Kaye, "Matemáticas indias", Isis 2 : 2 (1919), pág. 326–356.
• Clas-Olaf Selenius, "Justificación del proceso de chakravala de Jayadeva y Bhaskara II" , Historia Mathematica 2 (1975), pp. 167-184.
• Clas-Olaf Selenius, "Kettenbruchtheoretische Erklärung der zyklischen Methode zur Lösung der Bhaskara-Pell-Gleichung", Acta Acad. Abo. Matemáticas. Phys. 23 (10) (1963), págs. 1-44.
• Hoiberg, Dale y Ramchandani, Indu (2000). Estudiantes de Britannica India . Mumbai: Prakashan popular. ISBN  0-85229-760-2
• Goonatilake, Susantha (1998). Hacia una ciencia global: minar el conocimiento de las civilizaciones . Indiana: Prensa de la Universidad de Indiana. ISBN  0-253-33388-1 .
• Kumar, Narendra (2004). Ciencia en la India antigua . Delhi: Publicaciones Anmol Pvt Ltd. ISBN  81-261-2056-8
• Ploker, Kim (2007) "Matemáticas en India". Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India e Islam: un libro de consulta Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN  0-691-11485-4
• Edwards, Harold (1977). Último teorema de Fermat . Nueva York: Springer . ISBN 0-387-90230-9.

enlaces externos

• Introducción a chakravala